2021-2022学年高一数学人A版（2019）数学-选择性必修第三册-第六章 计数原理-§3.2 二项式系数的性质(共24张PPT)

(共24张PPT)
6.3.2 二项式系数的性质
1.二项式定理是什么？二项展开式有哪些基本特征？
(3) 各项的二项式系数依次为且与a，b无关.
（1）共有n+1项.（2）各项里a的指数从n起依次减小1，直到0为止；b的指数从0起依次增加1，直到n为止.每一项里a、b的指数和均为n.
二项展开式有以下特征：
2.二项展开式的通项是什么？
3.组合数有哪两个基本性质？
4
1.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用．
2.理解和初步掌握赋值法及其应用.
1.通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的素养.
2.借助二项式系数的性质解题，提升数学运算的素养.
课标要求
素养要求
展开式的二项式系数
有很多有趣的性质，而且我们可以从不同角度进行研究.
探究点1 二项式系数的性质
计算展开式的二项式系数并填入下表
二项式系数:
通过计算、填表、你发现了什么规律？
n 的展开式的二项式系数
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
将上表写成如下形式：
(a+b)2
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
(a+b)1
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
(a+b)6
思考：通过上表和上图，能发现什么规律？
展开式的二项式系数
我们还可以从函数的角度分析它们。可看成是以为自变量的函数，
其定义域是
我们还可以画出它的图像.
例如，当时，
函数()的图像是7个离散的点，如图所示.
1 1
1 4 6 4 1
1 2 1
1 3 3 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
性质1：对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
可直接由公式 得到．
n为偶数时，正中间的一项最大
n为奇数时，正中间的两项最大
1 1
1 4 6 4 1
1 2 1
1 3 3 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
性质2：增减性与最大值
二项式系数是逐渐增大的，
由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，即先增后减，
所以在中间项取得最大值.
所以，当 时，
性质2：增减性与最大值
∵二项展开式共有n+1项，
∴当n为偶数时，正中间一项的二项式系数 最大；
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 相等，
且同时取得最大值
（赋值法）令a=1，b=1，则
同时由于 ，上式还可以写成：
性质3：各二项式系数的和
例1 求证：在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
分析 由(a+b)n的展开式可知，
奇数项的二项式系数的和为
偶数项的二项式系数的和为
由于
因此，我们可以通过对a，b适当赋值来得到上述两个系数和.
证明
即在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。
即
17
C
18
D
19
1
20
8
书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔.
——惠普尔