2021-2022学年高一数学人A版（2019）数学-选择性必修第三册-第七章 随机变量及其分布-§3.2 离散型随机变量的方差(共22张PPT)

(共22张PPT)
7.3.2 离散型随机变量的方差
1.离散型随机变量的数学期望
2.数学期望的性质
数学期望是反映离散型随机变量的平均水平
E(aX+b)=aE(X)+b
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
,i=1,2,3,…n.
设在一组数据x1,x2,…,xn中,是它们是它们的平均数,那么
3.样本方差
叫做这组数据的方差.
随机变量的均值是一个重要的数字特征,它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”.
因为随机变量的取值围绕其均值波动,而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小.
所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征.
1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差.
1.通过离散型随机变量的方差的学习，体会数学抽象的素养．
2.助方差解决实际问题，提升数学运算的素养.
课标要求
素养要求
如何评价这两名同学的射击水平？
因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.
1.问题2.从两名同学中挑选出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录,甲、乙两名同学击中目标靶的环数X 和Y 的分布列为
6 7 8 9 10
0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
6 7 8 9 10
0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
两个均值相等
探究点1 离散型随机变量的方差
比较两个图形,哪一名同学的射击成绩更稳定
除平均中靶环数以外,还要考虑稳定性,即击中环数的离散程度.
乙同学的射击成绩更稳定
下图分别是X 和Y 的概率分布图.
Y
P
10
9
8
7
0
6
X
P
10
9
8
7
0
6
2.思考:怎样定量刻画随机变量的离散程度？
(1).样本的离散程度是用哪个量刻画的？
样本方差
(2).能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量的稳定性呢？
随机变量 X 的方差
3.离散型随机变量方差
设离散型随机变量X 的概率分布为：
我们称
为随机变量X 的方差.有时也记为Var (X ),并称为随机变量X 的标准差.记为σ(X).
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
随机变量的方差和标准差都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量.
它们的值越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小,即越集中于均值;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.
6 7 8 9 10
0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
6 7 8 9 10
0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
D(X)>D(Y)，即乙同学的射击成绩相对更稳定
下面用两名同学射击成绩的的方差和标准差来刻画他们射击成绩的稳定性
在方差计算中,利用下面的结论可以使计算简化
离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样变化？离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？
离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，即
D(X+b)= D(X)
而离散型随机变量X乘以一个常数a,其方差变为原方差的a2倍，即
D(aX)=a2D(X)
因此，D(aX+b)=a2D(X)
探究点2 离散型随机变量方差的性质
例1 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差.
例2 投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表二所示：
收益X/元 -1 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
收益X/元 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
表1
表2
（1）投资哪种股票的期望收益大？（2）投资哪种股票的风险较高？
解：(1)股票A和股票B投资收益的期望分别为
E(X)=(-1)x0.1+0x0.3+2x0.6=1.1,
E(Y)=0x0.3+1x0.4+2x0.3=1.
因为E(X)>E(Y),所以投资股票A的期望收益较大。
解 （2)股票A和股票B投资收益的方差分别为
D(X)=(-1)2x0.1+02x0.3+22x0.6-1.12=1.29,
D(Y)=02x0.3+12x0.4+22x0.3-12=0.6.
因为E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y),所以资股票A比投资股票B的风险高。
1．给出下列四个命题：
①离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均值；
②离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；
③离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平；
④离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值偏离于均值的平均程度．
则正确命题应该是(　　)
A．①④　 B．②③ C．①② D．③④
D
A
B
1.离散型随机变量取值的方差、标准差
2.D(aX+b)=a2D(X)
3.求离散型随机变量X 的方差、标准差的一般步骤：
①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值;
②求X取各个值的概率，写出分布列；
③根据分布列，由期望的定义求出 E(X )；
4.若 X 服从两点分布，则D(X)=P(1-P)
④根据方差、标准差的定义求出D(X)、δ(x)
要到书林中徜徉.中外古今的文明成果，我们都应有分析、有鉴别、有批判地加以继承和发扬.