5.2.1三角函数的概念 -2021-2022学年高一数学上学期同步课件(人教A版2019必修第一册)(共29张PPT)

(共29张PPT)
5.2.1三角函数的概念
问题引入
问题：匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表，在前面
的学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数
学模型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻
画呢？
问题引入
问题：匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表，在前面
的学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数
学模型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻
画呢？
任务：建立一个函数模型，刻画点P 的
位置变化情况
新课学习
如图，以单位圆的圆心O为坐标原点，以射线OA为x轴
的非负半轴，建立直角坐标系xOy，点A的坐标是(1 , 0)，点
P的坐标是(x , y).
点P从点A开始在单位圆上的运动.
问题1：这个圆周运动过程中有哪些变量？判断它们之间是
否具有函数关系，如果有，能否写出函数解析式？
M
追问1：如何研究一般性问题？
M
因为单位圆的半径不变，点P 的坐
标只与角α的大小有关.
当角α确定时，点P的坐标也唯一确定.
追问4：任意给定一个角α，观察角α的终边与单位圆的
交点P的坐标，有什么发现？能否运用函数的语言刻画这
种对应关系呢？
对任意角α，它的终边与单位圆的交点P的横、纵坐标x , y
都是唯一确定的. 这里有两个对应关系：
f :任意角α（弧度）对应于点的横坐标x ；①
g :任意角α（弧度）对应于点的纵坐标y. ②
任意给定一个角α ，它的终边OP与单位圆交点P的
坐标,无论是横坐标 x ，还是纵坐标 y，都是唯一确定的. 所
以，点P的横坐标 x 、纵坐标 y 都是角α的函数.
问题3：正弦函数，余弦函数、正切函数的对应关系各是什么？
追问1：任意角三角函数的定义是否符合高中函数的定义呢？
正弦函数、余弦函数、正切函数都是以角为自变量，以单位
圆上点的坐标或坐标比值为函数的函数.由于角的集合与实数集
之间可以建立一一对应关系，所以三角函数可以看成是自变量
为实数的函数.
按照函数的定义与常用的符号，通常将它们记为：
将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.
追问2：任意角三角函数的定义域分别是什么呢？
追问3：这个定义与锐角三角函数的定义有什么不同呢？
任意角的三角函数是通过角与单位圆交点的坐标定义的，
锐角三角函数是通过直角三角形边长的比值定义的，在
单位圆中直角三角形斜边为1，所以锐角三角函数也可用
角的终边与单位圆交点的坐标定义.此时终边上的点都在
第一象限，因此锐角三角函数值都是正数，而任意角的
三角函数值可以是负数.
追问4：“任意角三角函数”与“锐角三角函数”这两
个概念有什么异同？
例1 求 的正弦、余弦和正切.
例2 如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P （不与
O重合）的坐标为(x , y)，点P与原点的距离为r.
例2实际上给出了任意三角函数的另外一种定义，而且这种
定义与已有的定义是等价的，你能用严格的数学语言叙述这个
定义吗？
显然任意角α三角函数值不会随终
边上点P的位置的变化而变化.
x
y
o
( )
( )
( )
( )
sina
x
y
o
( )
( )
( )
( )
cosa
x
y
o
( )
( )
( )
( )
tana
探究活动：根据任意角的三角函数的定义，将这三个函数的值
在各个象限的符号填入下图中的括号里.
+
+
-
-
+
+
+
+
-
-
-
-
正弦上正下负,
余弦右正左负,
正切一三正二四负.
练习：确定下列各三角函数的符号.
解：
课堂小结
●三角函数是如何定义的？我们除了学习单位圆定义，
还有什么定义方法？
●三角函数是如何定义的？我们除了学习单位圆定义，
还有什么定义方法？