河南省南阳市唐河县友兰实高2022届高三上学期11月第二次月考数学（理）试卷（Word版含答案）

唐河县友兰实验高中2022届高三上学期第二次月考
理科数学试卷
考试时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
1、 选择题：（本题共12小题，每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的,把正确答案填涂在答题卡上）
1．设， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
2．设i为虚数单位，复数（2﹣i）z=1+i，则z的共轭复数在复平面中对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3. 已知向量，若∥，则锐角为(　　)
（A) （B） （C） （D）
4．在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为＝(2，－2,1)，
已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
5．已知函数，若，则（ ）
A．－3 B．－1 C．0 D．3
6．已知，，＝(7,5，λ)，若，，
三个向量共面,则实数λ等于(　　)．
A. B. C. D.
7. 已知函数，则函数的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
8. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（　　）
A．2cm3 B． cm3 C．3cm3 D．3cm3
10．函数是偶函数的充要条件是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11. 设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．定义在上的函数，恒有成立，且，对任意的，则成立的充要条件是（）
A． B． C． D．
Ⅱ卷（非选择题　共90分）
二. 填空题 (本大题共4小题，每小题5分．)
13. 如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，
①.BD∥平面CB1D1 ②.AC1⊥BD ③.AC1⊥平面CB1D1
④.异面直线AD与CB1所成的角为60°.
以上结论错误的有_____.
14. 设是等差数列，且a1=3,a2+a5=36则的通项公式为___．
15. 曲线在点处的切线方程为__________．
16.已知三棱锥中， A、B、C三点均在球心为的球表面上，且AB=BC=1，，三棱锥的体积为，则球的表面积是___.
三．解答题： 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题12分） 设．
（1）求的单调区间；
（2）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若， ，求面积的最大值．
18.（本小题12分）等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
19. （本小题12分）如下图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分 别是AB，AD，CD的中点，
求：(1)·的值；
(2)线段EG的长；
(3)异面直线EG与AC所成角的大小．
20．（本小题12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD,E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，．
(1)求证：BE∥平面PAD；
(2)求证：平面PBC⊥平面PBD；
21. （本小题12分）已知函数．
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）设，若对任意，均存在，
使得，求实数的取值范围．
选考题：(10分)，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；
（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且，均异于原点，，求的值.
23.已知.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为实数集，求实数的取值范围.
高三年级第二次月考数学答案（理）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C D C C D D B C B A B B
13. ④ 14. an= 6n-3 15 .y=2x-2 16. 64
17. 解（1）由题意
，
由，可得，
由，可得，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是；
（2），，
由题意是锐角，所以；由余弦定理：，
可得，，且当时成立，
，面积最大值为．
18. 解：（1）设的公比为，由题设得.
由已知得，解得（舍去），或.
故或.
（2）若，则.由得，此方程没有正整数解. 若，则.由得，解得.综上，.
19 【解析】设＝，＝，＝，则||＝||＝||＝1，
〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝60°，＝＝－，
＝－，＝－．
(1)·＝(－)·(－)＝－·＋2＝－＋＝.
(2)＝＋＋＝＋(－)＋(－)
＝－＋＋＝－＋＋，
∴2＝(－＋＋)2＝(2＋2＋2－2·－2·＋2·)＝，
∴||＝，即EG的长为.
(3)由(2)知，·＝(－＋＋)·＝－·＋2＋·＝，
∴cos〈，〉＝＝＝.
故异面直线EG与AC所成的角为45°.
20
解:设PD中点为F，连接EF，
点E,F分别是棱PC,PD的中点，
,.
四边形FABE为平行四边形.
,平面,
平面
（2）在梯形中,过点作于,
在中，,.
又在中，,,
, .　　　　　　
面面,面面,,面,
面,　,　 ,平面,平面平面,平面,平面平面
21. 解：（1）由已知,，所以斜率，
又切点（1，2），所以切线方程为，即
故曲线在处的切线方程为． （4分）
（2）
①当时，由于，故，，所以的单调递增区间为． （6分）
②当时，由，得，在区间上，在区间上，所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是 （8分）
（3）由已知，转化为．，所以
由（2）知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意．
当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是，故的极大值也为最大值为，所以，解得．所以的取值范围为 （12分）
22.【答案】（1）的普通方程为.的直角坐标方程为；（2）.
（1）由曲线C1的参数方程消去参数能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为ρ2＝4ρsinθ，由此能求出C2的直角坐标方程．
（2）曲线C1化为极坐标方程为ρ＝4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），从而得到|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝|4sinα﹣4cosα|＝4|sin（）|＝4，进而sin（）＝±1，由此能求出结果．
【详解】解：（1）由消去参数，
得的普通方程为.
∵，又，
∴的直角坐标方程为.
（2）由（1）知曲线的普通方程为，
∴其极坐标方程为，
∴.
∴
又，∴.
23.【答案】（1）；（2）.
（1）当a＝﹣3时，f（x）＝x2+|2x﹣4|﹣3，通过对x的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式f（x）＞x2+|x|的解集；
（2）f（x）≥0的解集为实数集R a≥﹣x2﹣|2x﹣4|，通过对x的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，可求得﹣x2﹣|2x﹣4|的最大值为﹣3，从而可得实数a的取值范围．
【详解】解：（1）当时，.
∴.
或或
或或或.
∴当时，不等式的解集为.
（2）∵的解集为实数集对恒成立.
又，
∴.
∴.故的取值范围是.