2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册期末复习分类第二章 一元二次函数、方程和不等式 突破训练（Word含答案解析）

2021-2022高一数学期末复习分类突破训练——一元二次函数、方程和不等式
一、不等式和不等式性质
☆根据不等式性质和条件判断大小
1．（2021·湖南·长沙市明德中学高一期中）如果，那么下列不等式中，一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·河北·衡水市冀州区第一中学期中）已知，，满足，且，那么下列各式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
☆作差法或作商法比较大小
1．（2021·全国·高一课时练习）已知、，设，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不确定
2．（多选）（2021·福建·福州三中高三阶段练习）已知，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
☆不等式的证明与范围问题
1．（2021·河南南阳·高一阶段练习）的一个充分条件是（ ）
A．或 B．且 C．且 D．或
2．（多选）（2021·黑龙江·哈尔滨三中高一阶段练习）已知，则下列选项正确的有（ ）
A． B． C． D．
二、基本不等式
☆基本不等式的内容
1．（2021·全国·高一课时练习）三国时期赵爽 在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们可用该图证明（ ）
A．如果，，那么
B．如果，那么
C．对任意正实数a和b，，当且仅当时，等号成立
D．如果，那么
2．（多选）（2021·新疆·乌苏市第一中学高一期中）已知，且.则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
☆拼凑法求最值
1．（2021·上海奉贤区致远高级中学高一期中）已知，当取到最小值时，的值为__________.
2．（2021·山东·胶州市教育体育局教学研究室高一期中）已知，则的最大值为______．
☆常数代换法
1．（2021·重庆十八中两江实验中学高一期中）已知，则的最小值为（ ）
A．6 B．5 C． D．
2．（2021·浙江·海亮高级中学高一期中）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
☆商式最值问题
1．（2021·安徽·合肥市第六中学高一阶段练习）函数（）的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·江苏·常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知，且，则最大值为______．
☆基本不等式参数问题与应用
1．（2021·河南驻马店·高三阶段练习（理））若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·江苏张家港·高一期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则与分别为2万元和8.2万元．记两项费用之和为．
（1）求关于的解析式；
（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值．
三、二次函数、一元二次方程、不等式
☆一元二次不等式的解法
1．（2021·福建省长乐第七中学高三期中）不等式的解集是（ ）．
A． B． C．或 D．
2．（2021·全国·高一课时练习）与不等式同解的不等式是（ ）
A． B．
C． D．
☆含参数的一元二次不等式
·．（2021·全国·高一课时练习）关于x的不等式（）的解集为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
2．（多选）（2021·山东肥城·高一期中）已知关于的不等式的解集为，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
☆一元二次不等式恒成立问题
1．（2020·湖南·嘉禾县第一中学高一阶段练习）若不等式对恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·广东·高一期中）若不等式在上恒成立．则实数a的取值范围是______．
☆一元二次不等式的应用
1.（2021·云南·玉溪市江川区第二中学高一期中）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调査，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
巩固提升
一、单选题
1．设，，则有（ ）
A． B． C． D．
2．不等式的解集为（ ）
A． B．或 C．或 D．
3．若，都为正实数，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．一元二次不等式的解集是，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
5．若，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木 ”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（ ）
A．里 B．里 C．里 D．里
二、多选题
7．设，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．下列叙述中正确的是（ ）
A．，若二次方程无实根，则
B．“且”是“关于的不等式的解集是”的充要条件
C．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
D．“”是“”的充分不必要条件
9．已知，，则下列选项一定正确的是（ ）
A．
B．的最大值为
C．的最大值为2
D．
三、填空题
10．设，，则x－y的取值范围是______．
11．要制作一个容积为，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米40元，侧面造价是每平方米20元，则该容器的最低总造价是______元．
12．设，为实数，若对于满足的全体，，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．
四、解答题
13．（1）设，证明：.
（2）已知正实数满足，求证：.
14．某厂家拟在年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量（即该产品的年产量）（单位：万件）与年促销费（单位：万元）满足（为常数），如果不举行促销活动，该产品的年销售量是万件，已知年生产该产品的固定投入为万元，每生产万件该产品需要再投入万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.
（1）将年该产品的利润（单位：万元）表示为年促销费用的函数；
（2）该厂家年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？
15．已知.
（1）若不等式的解集为，求实数、的值；
（2）若时，对于任意的实数，都有，求的取值范围.
参考答案
一、不等式和不等式性质
☆根据不等式性质和条件判断大小
1．D
若，则由可得，，，
因为，，所以.
故选：D
2．A
因为，且，所以
所以，故A不成立
，，，故BCD成立
故选：A
☆作差法或作商法比较大小
1．B
解析：．
因为、，所以，，，所以，所以．
故选：B．
2．BC
对于A项：因为，所以，又，所以，A错；
对于B项：因为，所以，B对；
对于C项：，因为，，所以，又因为，所以，C对；
对于D项：，所以，D错.
故选：BC．
☆不等式的证明与范围问题
1．C
选项A，取，满足或，但，故充分性不成立；
选项B，取，满足且，但，故充分性不成立；
选项C，由不等式的性质，且能推出，故充分性成立
选项D，取，满足或，但，故充分性不成立；
故选：C
2．AD
因为，所以，故，故A正确；
因为，所以，因此，故B错误；
因为，所以，因此，故C错误；
因为，所以，故D正确，
故选：AD.
二、基本不等式
☆基本不等式的内容
1．C
可将直角三角形的两直角边记作a，b，
斜边长为c（，），
则外围的正方形的面积为，也就是．
四个直角三角形所在的阴影面积之和刚好为2ab．
故对任意正实数a和b，有，
当且仅当时，等号成立．
故选：C
2．AC
当时，，所以BD选项错误.
A，，当且仅当时，等号成立，A正确.
C，，，当且仅当时，等号成立，C正确.
故选：AC
☆拼凑法求最值
1．3
解：因为.
由题得.
当且仅当时等号成立.
故答案为：3
2．
当且仅当，即时等号成立
故答案为：
☆常数代换法
1．D
因为，所以，
所以
，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为，
故选：D.
2．C
由，得：，且，当且仅当，即时等号成立.
故选：C
☆商式最值问题
1．B
解：因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以函数（）的最小值为，
故选：B
2．
解：由且，可得，代入，
又，
当且仅当，即，
又，可得，时，不等式取等，
即的最大值为，
故答案为：．
☆基本不等式参数问题与应用
1．B
由题意，对任意有
当且仅当，即时，等号成立，即的最大值为﹒
又由对任意时，恒成立，，即的取值范围是.
故选：B.
2．
（1）
（2）这家公司应该把仓库建在距离车站5千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为8.2万元
（1）
∵每月土地占地费y1（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，
∴可设，
∵每月库存货物费y2（单位：万元）与（4x+1）成正比，
∴可设y2＝（4x+1）k2，
又∵在距离车站10km处建仓库，则y1与y2分别为2万元和8.2万元，
∴k1＝2×10＝20，，
∴，y2＝（4x+1）×0.2＝0.8x+0.2，
∴w＝y1+y2＝ （x＞0）．
（2）
∵≥，当且仅当，即x＝5时等号成立，
∴这家公司应该把仓库建在距离车站5千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为8.2万元．
三、二次函数、一元二次方程、不等式
☆一元二次不等式的解法
1．A
由题意知，，所以原不等式的解集为.
故选：A.
2．B
，即，解得，
A项：，解得，不正确；
B项：，解得，正确；
C项：，即，解得，不正确；
D项：，解得，不正确，
☆含参数的一元二次不等式
1．D
根据题意，由，得，
∵，∴.
故选：D．
2．ABD
因为关于的不等式解集为，
所以和是方程的两个实根，且，故A正确；
所以，，所以，
因为，又，所以，故B正确；
不等式可化为，因为，所以，故C错误；
不等式可化为，又，
所以，即，解得，故D正确.
故选：ABD.
☆一元二次不等式恒成立问题
1．A
当时，原不等式即为，不合题意，
∴，故，解得.
故选：A.
2．
设，
若，在上单调递减，而，所以满足题意；
若，不满足题意；
若，函数的对称轴，所以在上为减函数，
而，所以满足题意．
综上，a的取值范围是．
故答案为：
☆一元二次不等式的应用
1．每件定价最多为元．
设每件定价为元，依题意得，整理得
，解得：．
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元．
巩固提升
1．A
解：∵，
∴，
故选：A．
2．C
由得，即，
解得或.
故原不等式的解集为或.
故选：C.
3．D
因为，都为正实数，，
所以，
当且仅当，即时，取最大值.
故选：D
4．A
因为一元二次不等式的解集是，
所以，即，且，
所以不等式为，即，，．
故选：A．
5．B
因为，所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：B.
6．D
因为1里=300步，
则由图知步=4里，步=2.5里．
由题意，得，
则，
所以该小城的周长为，
当且仅当时等号成立.
故选:D．
7．BCD
解：A. ，当时，不等式不成立，所以该选项错误；
B. ，根据不等式的性质可判断该选项正确；
C. 根据不等式的性质得到，所以该选项正确；
D. 根据不等式的性质得到，所以该选项正确.
故选：BCD
8．AD
二次方程无实根，则，所以，故，A正确；关于的不等式的解集是，则当，时，满足题意，当且时，也满足题意，故“且”是“关于的不等式的解集是”的充分不必要条件，B错误；方程有一个正根和一个负根，则要满足，解得：，因为，但，故是“方程有一个正根和一个负根”的充分不必要条件，C错误；，解得：或，因为或，但或
故“”是“”的充分不必要条件，D选项正确
故选：AD
9．BD
，，，，
对于A，因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，故A错误；
对于B， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故B正确；
对于C，因为，所以，，，即，故C错误；
对于D，，当且仅当，即，时等号成立，，故D正确
故选：BD
10．
由，得，
因为，
所以，即，
故答案为：
11．320
设池底长和宽分别为am,bm,成本为y元.
∵长方形容器的容器为4m3,高为1m，故底面面积,
∴.
∵,故当时,y取最小值320，即该容器的最低总造价是320元.
故答案为：320.
12．或
∵，
∴，
∴，当且仅当取等号，
∴，又不等式恒成立，
∴，解得或.
故答案为：或.
13．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
证明：（1）
，
又，
而，
故，即.
（2）∵正数满足，
，
，当且仅当时取等号，
.
14．（1）；（2）促销费用投入万元时，厂家的利润最大.
（1）由题意可知：当时，（万件），，解得：，
，又每件产品的销售价格为，
年利润，
（2）当时，（当且仅当，即时取等号），
此时年利润（万元）；
该厂家年的促销费用投入万元时，厂家的利润最大，最大为万元.
15．（1）；（2）.
（1）因为的解集为，，
所以方程的两根为、，
故，解得，
经检验：当、时，不等式的解集为.
（2）当时，，
对于任意的实数，都有，
即对于任意的实数，都有，
令，
当时，恒成立；
当时，函数是增函数，即，解得；
当时，函数是减函数，即，解得，
综上所述，，的取值范围为.