人教A版 选择性必修二 4.5　数列 章末复习

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数列 章末复习
一、逻辑推理
本章中，逻辑推理主要体现在在数列通项公式的探求、等差(比)数列的判断与证明和数学归纳法的应用中．
题型一　通项公式的探求
例 (1)在数列{an}中，a1＝，前n项和Sn＝n2an，则an＝(　　)
A．　　　　　 B．
C． D．
(2)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an＋，则an＝________．
(3)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－3Sn－1＋2＝0(n≥2)，a1＝2，则an＝________．
【解析】　(1)因为Sn＝n2an，
所以Sn－1＝(n－1)2an－1(n≥2)，
两式相减得an＝n2an－(n－1)2an－1，
所以(n2－1)an＝(n－1)2an－1，
即(n＋1)an＝(n－1)an－1，
所以＝，所以＝··…·＝···…·＝，
所以an＝a1＝(n≥2).
当n＝1时，上式也成立．故an＝.
(2)由已知得an＋1－an＝＝＝－，
分别将n＝1，2，3，…，(n－1)代入上式得(n－1)个等式，累加，得(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝＋＋＋…＋，即an－a1＝1－.
因为a1＝，所以an＝＋1－＝－.
(3)Sn－3Sn－1＋2＝0(n≥2)，所以Sn＋1－3Sn＋2＝0，
两式相减得an＋1－3an＝0，即an＋1＝3an，
又a1＝2，a1＋a2－3a1＋2＝0，
解得a2＝2，所以a2≠3a1，
所以an＝
【答案】　(1)B　(2)－　(3)
题型二　等差数列、等比数列的证明
例 已知数列{an}满足a1＝，且当n>1，n∈N*时，有＝.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．
(1)【证明】　当n≥2时，由＝得an－1－an＝4an－1an，
两边同除以an－1an，得－＝4.
所以数列是首项为＝5，公差d＝4的等差数列．
(2)【解】　由(1)得＝＋(n－1)d＝4n＋1，
所以an＝.所以a1a2＝×＝.
假设a1a2是数列{an}中的第t项，
则at＝＝，解得t＝11∈N*，
所以a1a2是数列{an}中的项，是第11项．
例 (2021·浙江省余姚中学高一检测)已知数列{an}满足a1＝6，a2＝12，a3＝72，bn＝an＋1＋2an(n∈N*)，且{bn}是等比数列．
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)求证：为等比数列．
(1)【解】　因为a1＝6，a2＝12，a3＝72，
所以b1＝a2＋2a1＝24，b2＝a3＋2a2＝96.
因为{bn}是等比数列，
所以公比q＝＝4，
所以bn＝24·4n－1＝6·4n.
(2)【证明】　因为an＋1＋2an＝6·4n，
所以＋·＝，
所以－1＝－.
又－1＝，
所以是首项为，
公比为－的等比数列．
题型三　数学归纳法
例 (2021·深圳市耀华实验学校高二联考)已知数列{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，对于一切n∈N*均有an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项．
(1)计算a1，a2，a3，并由此猜想数列{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明(1)中你的猜想．
(1)【解】　由＝得Sn＝，
由Sn可求得a1＝2，a2＝6，a3＝10，
由此猜想{an}的通项公式an＝4n－2，n∈N*.
(2)【证明】　①当n＝1时，a1＝2，等式成立；
②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即ak＝4k－2，
所以ak＋1＝Sk＋1－Sk＝－，
所以(ak＋1＋ak)(ak＋1－ak－4)＝0.
又ak＋1＋ak≠0，所以ak＋1－ak－4＝0，
所以ak＋1＝ak＋4＝4k－2＋4＝4(k＋1)－2，
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由①②可知，an＝4n－2对任何n∈N*都成立．
二、数学运算
本章数学运算主要体现在数列基本量的计算及数列求和问题中．
题型四　数列基本量的计算
例 (1)在等差数列{an}中，a2＋a3＋a4＝12，a7＝8，则a1＝(　　)
A．－1　　　　　　　 B．－2
C．1 D．2
(2)设公比为－2的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝，则a4＝(　　)
A．8 B．4
C．－4 D．－8
【解析】　(1)设数列{an}的公差为d，
因为a2＋a3＋a4＝3a3＝12，
所以a3＝4.又a7＝8，所以4d＝a7－a3＝4，
解得d＝1，所以a1＝a7－6d＝2.
(2)设首项为a1，由于q＝－2，S5＝，
所以S5＝＝，
解得a1＝，所以a4＝a1q3＝×(－2)3＝－4.
【答案】　(1)D　(2)C
题型五　数列求和
例 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋an(n∈N*).
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解】　(1)由已知条件可知，对任意的n∈N*，an>0.
当n＝1时，a＋a1＝2S1＝2a1，解得a1＝1；
当n≥2时，由2Sn＝a＋an可得2Sn－1＝a＋an－1，
上述两式作差得2an＝a－a＋an－an－1，即a－a－an－an－1＝0，
即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，
由已知条件可知an＋an－1>0，所以an－an－1＝1，
所以，数列{an}是等差数列，且首项为1，公差也为1，因此，an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)由(1)可知Sn＝，则bn＝＝＝(－1)n，
因此，Tn＝－＋－＋…＋(－1)n＝－2＋.
三、数学建模
数学建模主要体现在利用数列求解实际问题
题型六　数列在实际问题中的应用
例 某企业投资1千万元于一个高科技项目，每年可获利25%.由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金100万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设经过n年后该项目的资金为an万元．
(1)写出数列{an}的前三项a1，a2，a3，并由此猜想通项公式an(不要求证明)；
(2)求经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过2千万元．
【解】　(1)依题意a1＝103×－100＝1 150，
a2＝a1×－100＝103×－100×＝1 337.5，
a3＝a2×－100＝103×－100×
＝1 571.875.
猜想an＝103×－100×
＝103×－100×＝600×＋400.
(2)由an≥2 000，得600×＋400≥2 000，
所以≥.
因为y＝在(－∞，＋∞)上单调递增，
<，>，所以n≥5.
即经过5年后，该项目的资金超过2千万元．
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