【课后练习】人教A版 选择性必修二 4.3　4.3.1　第1课时　等比数列的概念及通项公式（含解析）

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4．3　等比数列
4．3.1　等比数列的概念
第1课时　等比数列的概念及通项公式
1．在等比数列{an}中，a3＝2，a6＝16，则数列{an}的公比是(　　)
A．－2　　　　　　　　　 B．
C．2 D．4
2．“a，b，c成等比数列”是“a2，b2，c2成等比数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．若数列{an}是公比为的正项等比数列，则{·a2n}是(　　)
A．公比为2的等比数列
B．公比为的等比数列
C．公差为2的等差数列
D．公差为的等差数列
4．在各项都是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为(　　)
A． B．
C． D．或
5．等比数列{an}的公比为q，且|q|≠1，a1＝－1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m＝(　　)
A．9 B．10
C．11 D．12
6．给出下列数列：
①2，2，4，8，16，32，…；
②在数列{an}中，＝2，＝2；
③常数列c，c，c，…，c.
其中等比数列的个数为________．
7．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________．
8．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k＝________．
9．在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若an＝，求n.
10．在数列{an}中，若an>0，且an＋1＝2an＋3(n∈N*).
(1)证明：数列{an＋3}是等比数列．
(2)若a1＝1，求数列{an}的通项公式．
11．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－1，若an>513，则n的最小值是(　　)
A．9 B．10
C．11 D．12
12．(多选)已知数列{an}的前n项和Sn＝5n＋t(t∈R)，下列结论正确的是(　　)
A．t为任意实数时，{an}均是等比数列
B．当且仅当t＝－1时，{an}是等比数列
C．当t＝0时，{an}中＝5
D．当t＝－5时，{an}一定不是等比数列
13．已知等比数列{an}为递增数列且a＝a10，2(an＋an－2)＝5an－1，则数列{an}的公比q＝________，通项公式an＝________．
14．数列{an}的首项a1＝1，其前n项和Sn满足Sn＝an＋1－1(n∈N*)，则通项公式为an＝________．
15．已知在等比数列{an}中a1 010＝2，若数列{bn}满足b1＝，且an＝，则b2 020＝(　　)
A．22 017 B．22 018
C．22 019 D．22 020
16．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N*).
(1)求a2，a3的值；
(2)求证数列{an－2n}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式．
参考答案与解析
1.解析：选C.设公比为q，由题意得q3＝＝8，
解得q＝2.
2.解析：选A.若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，
此时a2c2＝(ac)2＝b4，则a2，b2，c2成等比数列，即充分性成立，
反之当a＝1，b＝1，c＝－1时满足a2，b2，c2成等比数列，但a，b，c不成等比数列，即必要性不成立，
即“a，b，c成等比数列”是“a2，b2，c2成等比数列”的充分不必要条件，故选A.
3.解析：选A.数列{an}是公比为的正项等比数列，则＝(n≥2)，
设bn＝·a2n，
则＝＝·()2＝2(n≥2)，
即{·a2n}是公比为2的等比数列．
4.解析：选B.设{an}的公比为q(q>0，q≠1)，
根据题意可知a3＝a2＋a1，
所以q2－q－1＝0，
解得q＝或q＝(舍去)，
则＝＝.故选B.
5.解析：选C.因为a1·a2·a3·a4·a5＝a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4＝a·q10＝－q10，
又因为am＝a1qm－1＝－qm－1，即－q10＝－qm－1，
所以10＝m－1，所以m＝11.
6.解析：①不是等比数列，因为≠.
②不一定是等比数列，因为不知道的值．事实上，
即使＝2，数列{an}也不一定是等比数列．
③不一定是等比数列，当c＝0时，不是等比数列．
答案：0
7.解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.因为a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，
所以解得
所以a2＝2，b2＝2.所以＝＝1.
答案：1
8.解析：因为an＝(n＋8)d，
又因为a＝a1·a2k，
所以[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，
解得k＝－2(舍去)或k＝4.
答案：4
9.解：(1)因为a5＝a1q4＝a3q2，
所以q2＝＝.
所以q＝±.
当q＝时，an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3qn－3＝32×＝28－n；
当q＝－时，an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3qn－3＝32×.
所以an＝28－n或an＝32×.
(2)当an＝时，即28－n＝或32×＝，
解得n＝9.
10.(1)证明：因为an>0，
所以an＋3>0.
又因为an＋1＝2an＋3，
所以＝＝＝2.
所以数列{an＋3}是首项为a1＋3，公比为2的等比数列．
(2)解：由(1)知an＋3＝(a1＋3)·2n－1，
又a1＝1，
所以an＋3＝4×2n－1＝2n＋1，
所以an＝2n＋1－3.
11.解析：选C.因为an＋1＝2an－1，
所以an＋1－1＝2(an－1)，即＝2，
所以数列{an－1}是以1为首项，2为公比的等比数列．
则an－1＝2n－1，即an＝2n－1＋1.
因为an>513，即2n－1＋1>513，
所以2n－1>512，
所以n>10.故选C.
12.解析：选BCD. a1＝S1＝5＋t，an＝Sn－Sn－1＝5n－5n－1＝4×5n－1(n＞1)，当且仅当a1＝4，即t＝－1时，{an}是等比数列. A错误，B正确. 当t＝0时，{an}中＝＝5，C正确. 当t＝－5时，a1＝0，{an}一定不是等比数列，D正确．
13.解析：设等比数列{an}的公比为q.
因为a＝a10，2(an＋an－2)＝5an－1，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a·q8＝a1·q9，①,2（q2＋1）＝5q，②))
由①得a1＝q；
由②得q＝2或q＝.
又数列{an}为递增数列，
所以a1＝q＝2，所以an＝2n.
答案：2　2n
14.解析：因为Sn＝an＋1－1，
所以Sn－1＝an－1(n≥2)，
两式相减得，an＝an＋1－an(n≥2)，
所以＝2(n≥2)，
又S1＝a2－1，a1＝1，
解得a2＝2，即＝2，
所以＝2(n∈N*)，
所以数列{an}是首项a1＝1，公比为2的等比数列，
所以an＝a1qn－1＝2n－1.
答案：2n－1
15.解析：选A.因为an＝，
所以a1·a2·a3·…·a2 018·a2 019＝···…··＝，
因为数列{an}为等比数列，且a1 010＝2，
所以a1·a2·a3·…·a2 018·a2 019＝(a1·a2 019)·(a2·a2 018)…(a1 009·a1 011)·a1 010
＝a·a…a·a1 010＝a＝22 019，
所以＝22 019，又因为b1＝，
所以b2 020＝22 017，故选A.
16.解：(1)由已知得a2＝3a1－4＋2＝3×－4＋2＝5，a3＝3a2－4×2＋2＝3×5－8＋2＝9.
(2)因为an＋1＝3an－4n＋2，所以an＋1－2n－2＝3an－6n，即an＋1－2(n＋1)＝3(an－2n).
由已知得，a1－2＝－2＝，
所以an－2n≠0，n∈N*.
所以＝3.
所以数列{an－2n}是首项为，公比为3的等比数列．
所以an－2n＝×3n－1，所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2＋2n.
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