【课后练习】人教A版 选择性必修二 4.3 4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式（含解析）
文档属性
| 名称 | 【课后练习】人教A版 选择性必修二 4.3 4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 256.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-19 21:21:48 | ||
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文档简介
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4．3 等比数列
4．3.2 等比数列的前n项和公式
第1课时 等比数列的前n项和公式
1．在数列{an}中，已知an＋1＝2an且a1＝1，则数列{an}的前5项的和等于( )
A．－25 B．25
C．－31 D．31
2．(2021·浙江省温州市期中)已知数列{an}是单调递减的等比数列，Sn是{an}的前n项和，若a2＋a5＝18，a3a4＝32，则S5＝( )
A．62 B．48
C．36 D．31
3．(2021·辽宁省实验中学期中)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S20＝(210＋1)S10，则数列{an}的公比为( )
A．4 B．2
C．1 D．
4．已知数列{an}是首项为1的等比数列，Sn是数列{an}的前n项和且9S3＝S6，则数列的前5项和为( )
A．或5 B．或5
C． D．
5．(2021·江西省南昌市期中)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)为________．
6．(2021·广东广州高三月考)设数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，则a2＝________，S5＝________．
7．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为________．
8．记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an＋1，则S6＝________．
9．在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.
10．已知在等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.
(1)Sn为数列{an}的前n项和，求证：Sn＝；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．
11．(2020·高考全国卷Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman.若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
12．(多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项的和为Sn，前n项的积为Tn，并满足条件a1＞1，a2 019a2 020＞1，＜0，下列结论错误的是( )
A．S2 019＞S2 020
B．a2 019a2 021－1＞0
C．T2 020是数列{Tn}中的最大值
D．数列{Tn}无最小值
13．(2021·贵州贵阳一中高三月考)已知Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S6－3S3＝4，则S9－S6的最小值为________．
14．在数列{an}中，若an＝求数列{an}的前n项和．
15．设a，b≠0，数列{an}的前n项和Sn＝a(2n－1)－b[(n－2)×2n＋2]，n∈N*，则存在数列{bn}和{cn}使得( )
A．an＝bn＋cn，其中{bn}和{cn}都为等比数列
B．an＝bn＋cn，其中{bn}为等差数列，{cn}为等比数列
C．an＝bn·cn，其中{bn}和{cn}都为等比数列
D．an＝bn·cn，其中{bn}为等差数列，{cn}为等比数列
16．某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
(1)设n年内(本年度为第1年)的总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an与bn的表达式；
(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
参考答案与解析
1.解析：选D.因为an＋1＝2an且a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．
所以数列{an}的前5项的和为S5＝＝＝31.
2.解析：选A.设数列{an}的公比为q，因为数列{an}是单调递减的等比数列，所以a3a4＝a2a5＝32.
又a2＋a5＝18，
所以a2＝16，a5＝2，
所以＝＝q3＝，
故q＝，a1＝32，
所以S5＝＝62.
3.解析：选B.设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，且S20＝(210＋1)S10，可得q≠1，则有＝(210＋1)·，即1＋q10＝210＋1，解得q＝2.
4.解析：选C.设数列{an}的公比为q，由9S3＝S6，得q≠1，则＝，即1＋q3＝9，解得q＝2.所以数列是首项为1，公比为的等比数列，则数列的前5项和为T5＝＝，故选C.
5.解析：设每天植树的棵数构成的数列为{an}，
由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，
可得≥100，即2n≥51.
而25＝32，26＝64，n∈N*，
所以最少天数为n＝6.
答案：6
6.解析：由题意得
解得
当n≥2时，an＋1＝2Sn＋1，an＝2Sn－1＋1，
所以an＋1－an＝2an，所以＝3.
又＝3，所以{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以S5＝＝121.
答案：3 121
7.解析：由题意可知q＝2.设该数列为a1，a2，…，a2n，
则an＋an＋1＝24.
又a1＝1，所以qn－1＋qn＝24，
即2n－1＋2n＝24，
解得n＝4，故项数为8.
答案：8
8.解析：根据Sn＝2an＋1，
可得Sn＋1＝2an＋1＋1，
两式相减得an＋1＝2an＋1－2an，
即an＋1＝2an，
当n＝1时，S1＝a1＝2a1＋1，
解得a1＝－1，
所以数列{an}是以－1为首项，以2为公比的等比数列，
所以S6＝＝－63.
答案：－63
9.解：(1)设等比数列{an}的公比为q，
由题意得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，
解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.
由Sm＝63得，＝63，
即(－2)m＝－188，
此方程没有正整数解．
若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.
由Sm＝63得，2m－1＝63，
即2m＝64，解得m＝6.
综上，m＝6.
10.(1)证明：因为an＝×＝，
Sn＝＝，
所以Sn＝.
(2)解：bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an
＝－(1＋2＋…＋n)＝－.
所以数列{bn}的通项公式为bn＝－.
11.解析：选C.令m＝1，则由am＋n＝aman，得an＋1＝a1an，即＝a1＝2，所以数列{an}是首项为2、公比为2的等比数列，所以an＝2n，所以ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝ak(a1＋a2＋…＋a10)＝2k×＝2k＋1×(210－1)＝215－25＝25×(210－1)，解得k＝4，故选C.
12.解析：选ABC.因为a1＞1，a2 019a2 020＞1，＜0，
所以a2 019＞1，0＜a2 020＜1，
所以0＜q＜1.
在A中，因为a2 020＞0，
所以S2 019＜S2 020，故A错误；
在B中，a2 019a2 021＝a，0＜a2 020＜1，
所以0＜a＜1，
所以a2 019a2 021－1＜0，故B错误；
在C中，因为0＜a2 020＜1，
所以T2 019是数列{Tn}中的最大项，故C错误；
在D中，数列{Tn}无最小值，故D正确．
故选ABC.
13.解析：由等比数列的性质，知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列．
又S6－3S3＝4，
所以S9－S6＝＝＝4S3＋＋16≥2＋16＝32，
当且仅当S3＝2时，等号成立，
所以S9－S6的最小值为32.
答案：32
14.解：当n＝1时，S1＝a1＝1.
当n≥2时，若a＝0，有an＝
则Sn＝1＋(n－1)＝.
若a＝1，有an＝
则Sn＝1＋(n－1)＝.
若a≠0且a≠1，
则Sn＝1＋＋＋…＋
＝1＋(n－1)＋(a＋a2＋…＋an－1)
＝＋.
综上所述，
Sn＝
15.解析：选D.因为Sn＝a(2n－1)－b[(n－2)×2n＋2]＝(a＋2b－bn)·2n－(a＋2b)，
所以当n＝1时，有S1＝a1＝a≠0；
当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝(a－bn＋b)·2n－1，
又当n＝1时，a1＝(a－b＋b)·20＝a也适合上式．
所以an＝(a－bn＋b)·2n－1，
令bn＝a＋b－bn，cn＝2n－1，
则数列{bn}为等差数列，{cn}为等比数列，故an＝bncn，
其中数列{bn}为等差数列，{cn}为等比数列；
故C错，D正确；
因为an＝(a＋b)·2n－1－bn·2n－1，b≠0，
所以既不是等差数列，也不是等比数列，故AB错．故选D.
16.解：(1)第1年投入为800万元，
第2年投入为800万元，
…
第n年投入为800万元，
所以n年内的总投入为an＝800＋800＋…＋800＝4 000－4 000.
第1年旅游业收入为400万元，
第2年旅游业收入为400万元，
…，
第n年旅游业收入为400万元，
所以n年内的旅游业总收入为bn＝400＋400＋…＋400＝1 600×－1 600.
(2)设至少经过n年旅游业的总收入超过总投入，
即bn－an>0，
即1 600×－4 000×>0，
化简得5×＋2×－7>0.
设x＝，
代入上式并整理得5x2－7x＋2>0，
解此不等式，得x<或x>1(舍去)，
所以<.
又n∈N*，由此可得n≥5.
故至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入．
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4．3 等比数列
4．3.2 等比数列的前n项和公式
第1课时 等比数列的前n项和公式
1．在数列{an}中，已知an＋1＝2an且a1＝1，则数列{an}的前5项的和等于( )
A．－25 B．25
C．－31 D．31
2．(2021·浙江省温州市期中)已知数列{an}是单调递减的等比数列，Sn是{an}的前n项和，若a2＋a5＝18，a3a4＝32，则S5＝( )
A．62 B．48
C．36 D．31
3．(2021·辽宁省实验中学期中)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S20＝(210＋1)S10，则数列{an}的公比为( )
A．4 B．2
C．1 D．
4．已知数列{an}是首项为1的等比数列，Sn是数列{an}的前n项和且9S3＝S6，则数列的前5项和为( )
A．或5 B．或5
C． D．
5．(2021·江西省南昌市期中)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)为________．
6．(2021·广东广州高三月考)设数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，则a2＝________，S5＝________．
7．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为________．
8．记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an＋1，则S6＝________．
9．在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.
10．已知在等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.
(1)Sn为数列{an}的前n项和，求证：Sn＝；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．
11．(2020·高考全国卷Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman.若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
12．(多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项的和为Sn，前n项的积为Tn，并满足条件a1＞1，a2 019a2 020＞1，＜0，下列结论错误的是( )
A．S2 019＞S2 020
B．a2 019a2 021－1＞0
C．T2 020是数列{Tn}中的最大值
D．数列{Tn}无最小值
13．(2021·贵州贵阳一中高三月考)已知Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S6－3S3＝4，则S9－S6的最小值为________．
14．在数列{an}中，若an＝求数列{an}的前n项和．
15．设a，b≠0，数列{an}的前n项和Sn＝a(2n－1)－b[(n－2)×2n＋2]，n∈N*，则存在数列{bn}和{cn}使得( )
A．an＝bn＋cn，其中{bn}和{cn}都为等比数列
B．an＝bn＋cn，其中{bn}为等差数列，{cn}为等比数列
C．an＝bn·cn，其中{bn}和{cn}都为等比数列
D．an＝bn·cn，其中{bn}为等差数列，{cn}为等比数列
16．某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
(1)设n年内(本年度为第1年)的总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an与bn的表达式；
(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
参考答案与解析
1.解析：选D.因为an＋1＝2an且a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．
所以数列{an}的前5项的和为S5＝＝＝31.
2.解析：选A.设数列{an}的公比为q，因为数列{an}是单调递减的等比数列，所以a3a4＝a2a5＝32.
又a2＋a5＝18，
所以a2＝16，a5＝2，
所以＝＝q3＝，
故q＝，a1＝32，
所以S5＝＝62.
3.解析：选B.设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，且S20＝(210＋1)S10，可得q≠1，则有＝(210＋1)·，即1＋q10＝210＋1，解得q＝2.
4.解析：选C.设数列{an}的公比为q，由9S3＝S6，得q≠1，则＝，即1＋q3＝9，解得q＝2.所以数列是首项为1，公比为的等比数列，则数列的前5项和为T5＝＝，故选C.
5.解析：设每天植树的棵数构成的数列为{an}，
由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，
可得≥100，即2n≥51.
而25＝32，26＝64，n∈N*，
所以最少天数为n＝6.
答案：6
6.解析：由题意得
解得
当n≥2时，an＋1＝2Sn＋1，an＝2Sn－1＋1，
所以an＋1－an＝2an，所以＝3.
又＝3，所以{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以S5＝＝121.
答案：3 121
7.解析：由题意可知q＝2.设该数列为a1，a2，…，a2n，
则an＋an＋1＝24.
又a1＝1，所以qn－1＋qn＝24，
即2n－1＋2n＝24，
解得n＝4，故项数为8.
答案：8
8.解析：根据Sn＝2an＋1，
可得Sn＋1＝2an＋1＋1，
两式相减得an＋1＝2an＋1－2an，
即an＋1＝2an，
当n＝1时，S1＝a1＝2a1＋1，
解得a1＝－1，
所以数列{an}是以－1为首项，以2为公比的等比数列，
所以S6＝＝－63.
答案：－63
9.解：(1)设等比数列{an}的公比为q，
由题意得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，
解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.
由Sm＝63得，＝63，
即(－2)m＝－188，
此方程没有正整数解．
若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.
由Sm＝63得，2m－1＝63，
即2m＝64，解得m＝6.
综上，m＝6.
10.(1)证明：因为an＝×＝，
Sn＝＝，
所以Sn＝.
(2)解：bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an
＝－(1＋2＋…＋n)＝－.
所以数列{bn}的通项公式为bn＝－.
11.解析：选C.令m＝1，则由am＋n＝aman，得an＋1＝a1an，即＝a1＝2，所以数列{an}是首项为2、公比为2的等比数列，所以an＝2n，所以ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝ak(a1＋a2＋…＋a10)＝2k×＝2k＋1×(210－1)＝215－25＝25×(210－1)，解得k＝4，故选C.
12.解析：选ABC.因为a1＞1，a2 019a2 020＞1，＜0，
所以a2 019＞1，0＜a2 020＜1，
所以0＜q＜1.
在A中，因为a2 020＞0，
所以S2 019＜S2 020，故A错误；
在B中，a2 019a2 021＝a，0＜a2 020＜1，
所以0＜a＜1，
所以a2 019a2 021－1＜0，故B错误；
在C中，因为0＜a2 020＜1，
所以T2 019是数列{Tn}中的最大项，故C错误；
在D中，数列{Tn}无最小值，故D正确．
故选ABC.
13.解析：由等比数列的性质，知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列．
又S6－3S3＝4，
所以S9－S6＝＝＝4S3＋＋16≥2＋16＝32，
当且仅当S3＝2时，等号成立，
所以S9－S6的最小值为32.
答案：32
14.解：当n＝1时，S1＝a1＝1.
当n≥2时，若a＝0，有an＝
则Sn＝1＋(n－1)＝.
若a＝1，有an＝
则Sn＝1＋(n－1)＝.
若a≠0且a≠1，
则Sn＝1＋＋＋…＋
＝1＋(n－1)＋(a＋a2＋…＋an－1)
＝＋.
综上所述，
Sn＝
15.解析：选D.因为Sn＝a(2n－1)－b[(n－2)×2n＋2]＝(a＋2b－bn)·2n－(a＋2b)，
所以当n＝1时，有S1＝a1＝a≠0；
当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝(a－bn＋b)·2n－1，
又当n＝1时，a1＝(a－b＋b)·20＝a也适合上式．
所以an＝(a－bn＋b)·2n－1，
令bn＝a＋b－bn，cn＝2n－1，
则数列{bn}为等差数列，{cn}为等比数列，故an＝bncn，
其中数列{bn}为等差数列，{cn}为等比数列；
故C错，D正确；
因为an＝(a＋b)·2n－1－bn·2n－1，b≠0，
所以既不是等差数列，也不是等比数列，故AB错．故选D.
16.解：(1)第1年投入为800万元，
第2年投入为800万元，
…
第n年投入为800万元，
所以n年内的总投入为an＝800＋800＋…＋800＝4 000－4 000.
第1年旅游业收入为400万元，
第2年旅游业收入为400万元，
…，
第n年旅游业收入为400万元，
所以n年内的旅游业总收入为bn＝400＋400＋…＋400＝1 600×－1 600.
(2)设至少经过n年旅游业的总收入超过总投入，
即bn－an>0，
即1 600×－4 000×>0，
化简得5×＋2×－7>0.
设x＝，
代入上式并整理得5x2－7x＋2>0，
解此不等式，得x<或x>1(舍去)，
所以<.
又n∈N*，由此可得n≥5.
故至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入．
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