【课后练习】人教A版 选择性必修二 4.3 等比数列 强化练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 【课后练习】人教A版 选择性必修二 4.3 等比数列 强化练习（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 273.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-19 21:26:13 | ||
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文档简介
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4．3 等比数列
强化练习
一、选择题
1．已知等比数列{an}的公比q＝，a2＝8，则其前3项和S3的值为( )
A．24 B．28
C．32 D．16
2．已知数列{an}是等比数列，若a2＝2，a3＝－4，则a5＝( )
A．8 B．－8
C．16 D．－16
3．在正项等比数列{an}中，a3＝，a5＝8a7，则a10＝( )
A． B．
C． D．
4．在等比数列{an}中，已知a5a14＝5，则a3a4a15a16＝( )
A．10 B．25
C．50 D．75
5．已知数列{an}满足：＝且a2＝2，则a4＝( )
A．－ B．23
C．12 D．11
6．在等比数列{an}中，Sn是它的前n项和．若a2a3＝2a1且a4与2a7的等差中项为17，则S6＝( )
A． B．16
C．15 D．
7．设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an＋bn}的前n项和Sn＝n2－n＋2n－1(n∈N*)，则d＋q＝( )
A．2 B．－2
C．4 D．－4
8．在等比数列{an}中，若a2a5＝－，a2＋a3＋a4＋a5＝，则＋＋＋＝( )
A．1 B．－
C．－ D．－
9．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，衰分是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m(m>0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行衰分，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则衰分比与m的值分别为 ( )
A．20% 369 B．80% 369
C．40% 360 D．60% 365
10．(多选)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则下列结论正确的有( )
A．为等比数列
B．{an}的通项公式为an＝
C．{an}为递增数列
D．的前n项和Tn＝2n＋2－3n－4
二、填空题
11．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________．
12．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1－2an＝0，bn＝log2an，则an＝________，数列{bn}的前10项和等于________．
13．在14与之间插入n个数，组成所有项的和为的等比数列，则此数列的项数为________．
14．已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝________．
三、解答题
15．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝1，S10＝45.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝2－an，求数列{bn}的前n项和Tn.
16．等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.
17．(2020·新高考卷Ⅰ)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100.
18．已知数列{an}是首项a1＝，公比q＝的等比数列，设bn＋2＝3logan(n∈N*)，数列{cn}满足cn＝anbn.
(1)求证：数列{bn}为等差数列；
(2)求数列{cn}的前n项和Sn.
参考答案与解析
1.解析：选B.在等比数列{an}中，因为公比q＝，a2＝8，
所以a1＝＝＝16，
a3＝a2q＝8×＝4，
则S3＝a1＋a2＋a3＝16＋8＋4＝28.
2.解析：选D.设等比数列{an}的公比为q.因为a2＝2，a3＝－4，所以q＝＝－＝－2.由a2＝a1q，得a1＝－1.
则a5＝a1q4＝－1×(－2)4＝－16.故选D.
3.解析：选D.q2＝＝，即q＝，
所以a10＝a3·q7＝·＝.选D.
4.解析：选B.方法一：因为a3a16＝a4a15＝a5a14＝5，
所以a3a4a15a16＝52＝25.
方法二：由已知得a1q4·a1q13＝aq17＝5，
所以a3a4a15a16＝a1q2·a1q3·a1q14·a1q15＝a·q34＝(aq17)2＝25.
5.解析：选D.因为数列{an}满足：＝，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，即数列{an＋1}是公比为2的等比数列．则a4＋1＝22(a2＋1)＝12，解得a4＝11.
6.解析：选A.由等比数列的性质，
知a1a4＝a2a3＝2a1，得a4＝2.
因为a4＋2a7＝2×17＝34，
所以a7＝16.所以q3＝＝＝8，
即q＝2.由a4＝a1q3＝8a1＝2，
得a1＝，所以S6＝＝.故选A.
7.解析：选C.由题意可得S1＝a1＋b1＝1，当n≥2时，an＋bn＝Sn－Sn－1＝2n－2＋2n－1，易知当n＝1时也成立，则a1＋(n－1)d＋b1qn－1＝dn＋a1－d＋b1qn－1＝2n－2＋2n－1对任意正整数n恒成立，则d＝2，q＝2，d＋q＝4.
8.解析：选C.数列{an}是等比数列，
a2a5＝－＝a3a4，a2＋a3＋a4＋a5＝，
所以＋＋＋＝＋＝＝－.
8.解析：选C.数列{an}是等比数列，
a2a5＝－＝a3a4，a2＋a3＋a4＋a5＝，
所以＋＋＋＝＋＝＝－.
9.解析：选A.设衰分比为a，甲衰分得b石，
由题意得
解得b＝125，a＝20%，m＝369.
10.解析：选ABD.数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，整理得2an＋1＋3anan＋1＝an，
转换为＋3＝2，
故＝2(常数)，
所以是以＋3＝4为首项，2为公比的等比数列．
故＋3＝4·2n－1＝2n＋1，
整理得an＝.
则{an}为递减数列．
进一步整理得＝2n＋1－3，
所以{}的前n项和Tn＝－3n＝2n＋2－3n－4.
故选ABD.
11.解析：因为S3＋3S2＝0，
所以＋＝0，
即(1－q)(q2＋4q＋4)＝0.
解得q＝－2或q＝1(舍去).
答案：－2
12.解析：在数列{an}中，a1＝2，an＋1－2an＝0，
即＝2，
所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列．
所以an＝2×2n－1＝2n.
所以bn＝log22n＝n.
所以数列{bn}的前10项和为1＋2＋…＋10＝55.
答案：2n 55
13.解析：设此数列的公比为q，则
解得故此数列的项数为5.
答案：5
14.解析：设数列{an}的公比为q，
因为{an}是等比数列且a2＝2，a5＝，
所以＝q3＝.所以q＝.
所以a1＝4.又{an}是等比数列，
所以{anan＋1}也是等比数列，
且首项为a1a2＝8，公比q′＝，所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－4－n).
答案：(1－4－n)
15.解：(1)因为等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝1，
S10＝45.所以
解得
所以an＝n－1.
(2)由(1)知bn＝2－an＝2－(n－1)＝，
所以数列{bn}是等比数列且首项b1＝1，公比q＝.
所以Tn＝＝2－.
16.解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，
解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
(2)若an＝(－2)n－1，
则Sn＝.
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．
若an＝2n－1，
则Sn＝2n－1.
由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.
综上所述，m＝6.
17.解：(1)设{an}的公比为q.
由题设得a1q＋a1q3＝20，a1q2 ＝8.
解得q＝(舍去)，q＝2.
由题设得a1＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2n.
(2)由题设及(1)知b1＝0，且当2n≤m<2n＋1时，bm＝n.
所以S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63) ＝480.
18.(1)证明：由已知可得an＝a1qn－1＝，
所以bn＋2＝3log＝3n.所以bn＝3n－2，
所以bn＋1－bn＝3，b1＝3×1－2＝1.
所以{bn}为等差数列，其中首项b1＝1，公差d＝3.
(2)解：cn＝anbn＝(3n－2)×，所以Sn＝1×＋4×＋7×＋…＋(3n－2)×，①
Sn＝1×＋4×＋…＋(3n－5)×＋(3n－2)×，②
①－②，得
Sn＝＋3[＋＋＋…＋]－(3n－2)×
＝＋3×－(3n－2)×
＝－(3n＋2)×，
所以Sn＝－.
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4．3 等比数列
强化练习
一、选择题
1．已知等比数列{an}的公比q＝，a2＝8，则其前3项和S3的值为( )
A．24 B．28
C．32 D．16
2．已知数列{an}是等比数列，若a2＝2，a3＝－4，则a5＝( )
A．8 B．－8
C．16 D．－16
3．在正项等比数列{an}中，a3＝，a5＝8a7，则a10＝( )
A． B．
C． D．
4．在等比数列{an}中，已知a5a14＝5，则a3a4a15a16＝( )
A．10 B．25
C．50 D．75
5．已知数列{an}满足：＝且a2＝2，则a4＝( )
A．－ B．23
C．12 D．11
6．在等比数列{an}中，Sn是它的前n项和．若a2a3＝2a1且a4与2a7的等差中项为17，则S6＝( )
A． B．16
C．15 D．
7．设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an＋bn}的前n项和Sn＝n2－n＋2n－1(n∈N*)，则d＋q＝( )
A．2 B．－2
C．4 D．－4
8．在等比数列{an}中，若a2a5＝－，a2＋a3＋a4＋a5＝，则＋＋＋＝( )
A．1 B．－
C．－ D．－
9．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，衰分是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m(m>0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行衰分，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则衰分比与m的值分别为 ( )
A．20% 369 B．80% 369
C．40% 360 D．60% 365
10．(多选)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则下列结论正确的有( )
A．为等比数列
B．{an}的通项公式为an＝
C．{an}为递增数列
D．的前n项和Tn＝2n＋2－3n－4
二、填空题
11．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________．
12．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1－2an＝0，bn＝log2an，则an＝________，数列{bn}的前10项和等于________．
13．在14与之间插入n个数，组成所有项的和为的等比数列，则此数列的项数为________．
14．已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝________．
三、解答题
15．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝1，S10＝45.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝2－an，求数列{bn}的前n项和Tn.
16．等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.
17．(2020·新高考卷Ⅰ)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100.
18．已知数列{an}是首项a1＝，公比q＝的等比数列，设bn＋2＝3logan(n∈N*)，数列{cn}满足cn＝anbn.
(1)求证：数列{bn}为等差数列；
(2)求数列{cn}的前n项和Sn.
参考答案与解析
1.解析：选B.在等比数列{an}中，因为公比q＝，a2＝8，
所以a1＝＝＝16，
a3＝a2q＝8×＝4，
则S3＝a1＋a2＋a3＝16＋8＋4＝28.
2.解析：选D.设等比数列{an}的公比为q.因为a2＝2，a3＝－4，所以q＝＝－＝－2.由a2＝a1q，得a1＝－1.
则a5＝a1q4＝－1×(－2)4＝－16.故选D.
3.解析：选D.q2＝＝，即q＝，
所以a10＝a3·q7＝·＝.选D.
4.解析：选B.方法一：因为a3a16＝a4a15＝a5a14＝5，
所以a3a4a15a16＝52＝25.
方法二：由已知得a1q4·a1q13＝aq17＝5，
所以a3a4a15a16＝a1q2·a1q3·a1q14·a1q15＝a·q34＝(aq17)2＝25.
5.解析：选D.因为数列{an}满足：＝，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，即数列{an＋1}是公比为2的等比数列．则a4＋1＝22(a2＋1)＝12，解得a4＝11.
6.解析：选A.由等比数列的性质，
知a1a4＝a2a3＝2a1，得a4＝2.
因为a4＋2a7＝2×17＝34，
所以a7＝16.所以q3＝＝＝8，
即q＝2.由a4＝a1q3＝8a1＝2，
得a1＝，所以S6＝＝.故选A.
7.解析：选C.由题意可得S1＝a1＋b1＝1，当n≥2时，an＋bn＝Sn－Sn－1＝2n－2＋2n－1，易知当n＝1时也成立，则a1＋(n－1)d＋b1qn－1＝dn＋a1－d＋b1qn－1＝2n－2＋2n－1对任意正整数n恒成立，则d＝2，q＝2，d＋q＝4.
8.解析：选C.数列{an}是等比数列，
a2a5＝－＝a3a4，a2＋a3＋a4＋a5＝，
所以＋＋＋＝＋＝＝－.
8.解析：选C.数列{an}是等比数列，
a2a5＝－＝a3a4，a2＋a3＋a4＋a5＝，
所以＋＋＋＝＋＝＝－.
9.解析：选A.设衰分比为a，甲衰分得b石，
由题意得
解得b＝125，a＝20%，m＝369.
10.解析：选ABD.数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，整理得2an＋1＋3anan＋1＝an，
转换为＋3＝2，
故＝2(常数)，
所以是以＋3＝4为首项，2为公比的等比数列．
故＋3＝4·2n－1＝2n＋1，
整理得an＝.
则{an}为递减数列．
进一步整理得＝2n＋1－3，
所以{}的前n项和Tn＝－3n＝2n＋2－3n－4.
故选ABD.
11.解析：因为S3＋3S2＝0，
所以＋＝0，
即(1－q)(q2＋4q＋4)＝0.
解得q＝－2或q＝1(舍去).
答案：－2
12.解析：在数列{an}中，a1＝2，an＋1－2an＝0，
即＝2，
所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列．
所以an＝2×2n－1＝2n.
所以bn＝log22n＝n.
所以数列{bn}的前10项和为1＋2＋…＋10＝55.
答案：2n 55
13.解析：设此数列的公比为q，则
解得故此数列的项数为5.
答案：5
14.解析：设数列{an}的公比为q，
因为{an}是等比数列且a2＝2，a5＝，
所以＝q3＝.所以q＝.
所以a1＝4.又{an}是等比数列，
所以{anan＋1}也是等比数列，
且首项为a1a2＝8，公比q′＝，所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－4－n).
答案：(1－4－n)
15.解：(1)因为等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝1，
S10＝45.所以
解得
所以an＝n－1.
(2)由(1)知bn＝2－an＝2－(n－1)＝，
所以数列{bn}是等比数列且首项b1＝1，公比q＝.
所以Tn＝＝2－.
16.解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，
解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
(2)若an＝(－2)n－1，
则Sn＝.
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．
若an＝2n－1，
则Sn＝2n－1.
由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.
综上所述，m＝6.
17.解：(1)设{an}的公比为q.
由题设得a1q＋a1q3＝20，a1q2 ＝8.
解得q＝(舍去)，q＝2.
由题设得a1＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2n.
(2)由题设及(1)知b1＝0，且当2n≤m<2n＋1时，bm＝n.
所以S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63) ＝480.
18.(1)证明：由已知可得an＝a1qn－1＝，
所以bn＋2＝3log＝3n.所以bn＝3n－2，
所以bn＋1－bn＝3，b1＝3×1－2＝1.
所以{bn}为等差数列，其中首项b1＝1，公差d＝3.
(2)解：cn＝anbn＝(3n－2)×，所以Sn＝1×＋4×＋7×＋…＋(3n－2)×，①
Sn＝1×＋4×＋…＋(3n－5)×＋(3n－2)×，②
①－②，得
Sn＝＋3[＋＋＋…＋]－(3n－2)×
＝＋3×－(3n－2)×
＝－(3n＋2)×，
所以Sn＝－.
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