【课后练习】人教A版 选择性必修二 4.4　数学归纳法（含解析）

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4．4*　数学归纳法
1．(2021·吉林二中高二检测)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等式左边为(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
2．(2021·江西南昌二中高二月考)用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N*)时，第一步应验证不等式(　　)
A．1＋<2－ B．1＋＋<2－
C．1＋<2－ D．1＋＋<2－
3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋4＋…＋(2n－1)＋2n＝2n2＋n(n∈N*)，当n＝k＋1(k∈N*)时，等式左边应在n＝k时的基础上加的项是(　　)
A．2k＋1 B．2k＋2
C．(2k＋1)＋(2k＋2) D．1
4．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，利用归纳法假设证明n＝k＋1时，只需展开(　　)
A.(k＋3)3 B．(k＋2)3
C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3
5．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为(　　)
A．n＋1 B．2n
C． D．n2＋n＋1
6．用数学归纳法证明＋＋…＋>(n>1且n∈N*)，第一步要证明的不等式是____________．
7．用数学归纳法证明“当n∈N*时，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”，当n＝1时，原式为________，从k到k＋1时需增添的项是________．
8．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k＋1)－f(2k)＝________．
9．用数学归纳法证明等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·(n∈N*).
10．数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*).
(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
11．用数学归纳法证明2n≥n2(n≥4)时，第二步应假设(　　)
A．n＝k≥2时，2k≥k2 B．n＝k≥3时，2k≥k2
C．n＝k≥4时，2k≥k2 D．n＝k≥5时，2k≥k2
12．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋＝2时，若已假设当n＝k(k≥2，k为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证(　　)
A．n＝k＋1时等式成立　 B．n＝k＋2时等式成立
C．n＝2k＋2时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立
13．用数学归纳法证明关于n的不等式＋＋…＋>(n∈N*)，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边的变化为____________________．
14．已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N*.
(1)当n＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；
(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．
15．平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用f(n)表示这n个圆把平面分割的区域数，那么f(n＋1)与f(n)之间的关系为(　　)
A．f(n＋1)＝f(n)＋n
B．f(n＋1)＝f(n)＋2n
C．f(n＋1)＝f(n)＋n＋1
D．f(n＋1)＝f(n)＋n－1
16．(2021·河南洛阳高二测试)是否存在正整数m，使得对任意正整数n，f(n)＝(2n＋7)·3n＋m都能被36整除？若存在，求出m的最小值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1.解析：选C.因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故选C.
2.解析：选A.因为n≥2，所以第一步验证不等式应为n＝2时，1＋<2－.
3.解析：选C.等号左边加的项是
[1＋2＋3＋4＋…＋2k＋(2k＋1)＋(2k＋2)]－(1＋2＋3＋4＋…＋2k)，＝(2k＋1)＋(2k＋2)，故选C.
4.解析：选A.假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．
5.解析：选C.1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域．
6.解析：因为n>1，所以第一步应证明当n＝2时不等式成立，即＋＋＋>.
故答案为＋＋＋>．
答案：＋＋＋>
7.解析：因为当n＝1时，原式应加到25×1－1＝24，
所以原式为1＋2＋22＋23＋24.
从k到k＋1时需添上25k＋25k＋1＋…＋25(k＋1)－1.
答案：1＋2＋22＋23＋24　25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4
8.答案：＋＋…＋……
9.证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1，
右边＝(－1)0×＝1，左边＝右边，原等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1·.
那么，当n＝k＋1时，则有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k－1·＋(－1)k·(k＋1)2
＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)]
＝(－1)k.
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)知对任意n∈N*有12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.
10.(1)解：a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，
由此猜想an＝(n∈N*).
(2)证明：当n＝1时，a1＝1，结论成立；
假设当n＝k(k≥1，且k∈N*)时，
结论成立，即ak＝.
则当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，即2ak＋1＝2＋ak，
所以ak＋1＝＝＝，
这表明当n＝k＋1时，结论成立，
综上所述，an＝(n∈N*).
11.解析：选C.根据数学归纳法的证明步骤，可知第二步归纳假设正确写法为：假设n＝k≥4时，2k≥k2.故选C.
12.解析：选B.由数学归纳法的证明步骤可知，假设当n＝k(k≥2，k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证下一个偶数，即n＝k＋2时等式成立，不是n＝k＋1，因为k是偶数，k＋1是奇数，故选B.
13.答案：增加－
14.解：(1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，
所以f(1)＝g(1)；当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝，
所以f(2)＜g(2)；当n＝3时，f(3)＝，g(3)＝，
所以f(3)＜g(3).
(2)由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明．
①当n＝1，2，3时，不等式显然成立．
②假设当n＝k(k≥4，k∈N*)时不等式成立，即1＋＋＋＋…＋＜－.
那么，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋＜－＋.因为－
＝－＝＜0，
所以f(k＋1)＜－＝g(k＋1).
由①②可知，对一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立．
15.解析：选B.依题意得，由n个圆增加到n＋1个圆，增加了2n个交点，这2n个交点将新增的圆分成2n段弧，而每一段弧都将原来的一块区域分成了2块，故增加了2n块区域，因此f(n＋1)＝f(n)＋2n.故选B.
16.解：存在．由f(n)＝(2n＋7)·3n＋m，
得f(1)＝27＋m，f(2)＝99＋m，
f(3)＝13×27＋m，f(4)＝15×81＋m.
要使得f(n)＝(2n＋7)·3n＋m对n＝1，2，3，4都能被36整除，则最小的正整数m的值为9，
由此猜想最小的正整数m的值为9，
即f(n)＝(2n＋7)·3n＋9.
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，显然成立．
(2)假设当n＝k时，f(k)能被36整除，
即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除．
则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，由于3k－1－1是2的倍数，故18(3k－1－1)能被36整除．
这就是说，当n＝k＋1时，f(k＋1)也能被36整除．
由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除，m的最小值为9.
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