2021秋高一数学北师大版（2019）必修第一册第三章3.1指数函数的概念（课件）(共52张PPT)

(共52张PPT)
§3　指数函数
3.1　指数函数的概念
1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念.
2.掌握指数函数的图象及性质.
3.初步学会运用指数函数来解决问题.
课标要求
素养要求
通过学习本节课的内容，使学生感受指数函数性质的由来，提高学生数学抽象，直观想象的素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.指数函数的概念
y＝ax(a>0且a≠1)是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数.
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)具有以下基本性质：
(1)定义域是____，函数值大于0.
(2)图象过点____________.
R
(0，1)
2.对于函数y＝ax和y＝bx(a>b>1)
(1)当x<0时，0____ax____bx____1.
(2)当x＝0时，ax＝bx＝1.
(3)当x>0时，ax____bx____1.
<
<
<
>
>
3.对于函数y＝ax和y＝bx(0(1)当x<0时，ax____bx____1.
(2)当x＝0时，ax＝bx＝1.
(3)当x>0时，0____ax____bx____1.
>
>
<
<
<
点睛
(1)底数a的大小不仅影响指数函数的单调性，也影响函数值增大(或减小)的速度.
(2)当x>0，a>b>0时，ax>bx；
当x<0，a>b>0时，ax1.思考辨析，判断正误
(1)指数函数的图象一定在x轴上方.( )
(2)y＝3×2x，y＝2x－1都是指数函数.( )
提示　指数函数为y＝ax(a>0且a≠1).系数为1，底数为常数a，a>0且a≠1，指数上只有x.
(3)指数函数y＝ax中，a可以为负数.( )
提示　a>0且a≠1.
(4)y＝2x＋1的值域是(1，＋∞).( )
√
×
×
√
2.下列函数一定是指数函数的是(　　)
A.y＝2x＋1 B.y＝x3
C.y＝5×2x D.y＝3－x
D
3.若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝(　　)
A
4.已知0.3m>0.3n，则m，n的大小关系为________.
m课堂互动
题型剖析
2
题型一　指数函数的概念及应用
【例1】　(1)给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.4
B
解析　①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；
②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；
③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；
④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.
⑤中，底数－2＜0，不是指数函数.
125
1.指数函数的解析式必须具有三个特征：
(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.
2.求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件.
思维升华
【训练1】　(1)若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则(　　)
A.a＝1或－1 B.a＝1
C.a＝－1 D.a>0且a≠1
(2)已知指数函数f(x)的图象过点(3，π)，则函数f(x)的解析式为________.
C
【例2】　如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　)
题型二　指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的a对图象的影响
A.a＜b＜1＜c＜d B.b＜a＜1＜d＜c
C.1＜a＜b＜c＜d D.a＜b＜1＜d＜c
解析　法一　在y轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大.
由指数函数图象的升降，知c＞d＞1，b＜a＜1.
∴b＜a＜1＜d＜c.
B
法二　作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，由于x＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b＜a＜1＜d＜c.故选B.
解决指数函数图象问题的策略
无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，指数函数图象的规律：在第一象限内，图象由下到上，对应的底数越来越大，即“底大图高”，越来越靠近y轴.
思维升华
【训练2】　已知实数a，b满足等式2a＝5b，给出下列五个关系式：①0②aA.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
解析　在同一个坐标系中画出函数y＝2x与y＝5x的图象如图所示，结合图象可知：
若2a＝5b>1，如图(1)，则0若2a＝5b＝1，则0＝b＝a，⑤可能成立；
若2a＝5b<1，如图(2)，则a综上，可能成立的关系式有3个.
题型三　指数函数图象的变换
(1)指数型函数图象过定点的问题有两种方法，一是令指数为0，求出对应的y的值；二是利用图象的平移；
(2)在作指数型函数图象时，主要利用平移变换和对称变换.
思维升华
【训练3】　(1)函数y＝2|x|的图象是(　　)
B
(2)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A.a>1，b<0 B.a>1，b>0
C.00 D.0D
解析　从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有00，即b<0.
题型四　指数型函数的定义域、值域问题
【例4】　求下列函数的定义域和值域：
解　由x－4≠0，得x≠4，
解　由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0，
由0<2x≤1，得－1≤－2x<0，∴0≤1－2x<1，
(4)y＝4x－4·2x＋1.
解　函数的定义域为R.
记t＝2x>0，则y＝t2－4t＋1＝(t－2)2－3.
故当t＝2，即2x＝2，
得x＝1时，y取得最小值－3.
所以函数的值域为[－3，＋∞).
函数y＝af(x)的定义域与值域的求法
(1)形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域.
(2)形如y＝af(x)的值域，应先求出f(x)的值域；再由函数的单调性求出af(x)的值域.若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论.
(3)形如y＝f(ax)的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域.
思维升华
A.(－∞，1) B.(0，1)
C.(1，＋∞) D.(－∞，1)∪(1，＋∞)
解析　∵3x>0，∴3x＋1>1，∴f(x)∈(0，1)，故选B.
解　要使函数式有意义，则－|x|≥0，解得x＝0.
1.牢记一个概念
形如y＝ax(a>0且a≠1)的函数为指数函数，图象均过(0，1)点.
2.熟记两种图象
当a＞1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快，当0＜a＜1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快.
3.辨清一个易错点
当x>0时，a>b>0时，ax>bx；
当x<0时，a>b>0时，ax课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值是(　　)
A.4 B.1或3 C.3 D.1
C
2.已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　)
C
解析　由于03.函数y＝2x＋1的图象是(　　)
A
解析　当x＝0时，y＝2，且函数单调递增，故选A.
D
AC
二、填空题
[1，＋∞)
7.函数y＝ax－3＋3(a>0且a≠1)的图象过定点________.
(3，4)
解析　法一　因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函数的图象过定点(3，4).
法二　将原函数解析式变形，得y－3＝ax－3，把y－3看成x－3的指数函数，所以当x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3时，y＝4，所以原函数的图象过定点(3，4).
8.若k<4x＋1对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是_______________.
(－∞，1]
解析　k<4x＋1对一切实数x都成立，即k<(4x＋1)min，
∵4x>0，∴4x＋1>1，∴k≤1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域.
当x＝0时，函数取最大值2，故f(x)∈(0，2]，
故函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域为(1，3].
(1)在同一平面直角坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；
解　函数f(x)，g(x)的图象如图所示：
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称.
11.(多选题)若函数y＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有(　　)
A.a>1 B.00 D.b<0
AD
解析　因为函数y＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的图象经过一、三、四象限，其大致图象如图所示.
∴a>1，当x＝0时，y＝1＋b－1＝b<0，故选AD.
③④
13.已知函数f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1)的图象过点(2，0)和(0，－2).
(1)求a与b的值；
解　由已知可得点(2，0)，(0，－2)在函数f(x)的图象上，
(2)求x∈[－2，4]时，f(x)的最大值与最小值.
本节内容结束