沪科版数学七年级上册 3.4 二元一次方程组的应用 教案

二元一次方程组的应用
【课时安排】
2课时
【第一课时】
【教学目标】
1．会列二元一次方程组解决实际问题。
2．通过对列二元一次方程组解决应用题，培养学生灵活解决数学问题的能力。
【教学重难点】
1．理解列二元一次方程组解应用题的一般步骤。
2．会灵活运用列方程组解决实际问题。
【教学过程】
一、导入新课
我们学习了列一元一次方程解应用题的一般步骤，那么列方程分为哪几个基本步骤？学生积极回答：
（一）审题设未知数；
（二）找相等关系；
（三）列方程；
（四）解方程；
（五）检验，写出答案。
这一节我们来学习用二元一次方程组解决实际问题（板书课题）。
二、推进新课
（一）问题：某市举办中学生足球赛，规定胜一场得3分，平一场得1分。一球队共比赛11场，没输过一场，一共得27分。问该队胜几场，平几场？
分析题意（方法一）：
1．该队共进行比赛多少场，有没有输？（没有）
2．若假设胜了x场，则平多少场？（11－x）
3．胜一场得3分，胜x场得了多少分？（3x）
4．平一场得1分，平局共得多少分？（11－x）
5．该队共得27分。
6．你找到等量关系了吗？（胜场得分＋平局得分＝总分）
通过以上分析你有信心独立列出方程吗？
解：设该队胜x场，则平了（11－x）场。由题意可得：
3x＋(11－x)＝27；
解得x＝8。
11－x＝11－8＝3；
答：该队胜8场，平3场。
分析题意（方法二）：
1．若假设胜利了x场，平局为y场，共进行11场比赛。你能找到它们三者之间的等量关系吗？（胜利场数＋平局场数＝总场数）
2．胜利一场得3分，胜利x场共得了3x分，平一场得1分，平局y场共得y分，一共得27分，这3个得分间有什么等量关系呢？（胜利得分＋平局得分＝总分）
设两个未知数，就需要列二元一次方程组来解决，你能列出这个方程组吗？
解：设胜利x场，平局为y场，得方程组
教学策略：学生独立求解，并与方法一的结果做比较，进一步体会列一次方程（组）解应用题的方法。
（二）问题：交流总结
由例题可知，有些题目既可以引入一个未知数，建立一元一次方程，也可以引入两个未知数，建立二元一次方程组。这两种方法各有什么特点？
（三）问题：一列火车长300米，某人和火车同向而行，则整列火车经过人身边需20秒。若相向而行，则整列火车经过人身边需15秒。求火车和人的速度。
分析：
1．同向时，火车所行路程比人要多出多少？（多出一个车身的长度）
2．相向时，火车与人共同行了多少？（一个车身的长度）
教学策略：为了便于学生理解，制作多媒体课件，把两者的运动通过动画展示给学生，引起他们的极大兴趣，加深印象。
小组讨论：题目中的相等关系：
同向时：火车行的路程－人行的路程＝车长
相向时：火车行的路程＋人行的路程＝车长
解：设火车行驶的速度为x米/秒，人行走的速度为y米/秒，根据题意，得：
解得
答：火车行驶的速度为17.5米/秒，人行走的速度为2.5米/秒。
（四）问题：巩固训练
1．甲、乙两辆汽车分别从A，B两地同时出发相向而行，一个半小时后两车相遇，相遇后甲车还需2小时到达B地，若A，B两地相距210千米，求两车的速度。
2．课本练习。
三、本课小结
本节课我们学习了什么？同学们还有什么困惑？
【第二课时】
【教学目标】
1．学会利用二元一次方程组解决简单的实际问题，会归纳列方程组解决实际问题的一般步骤。
2．通过解决实际问题的教学，掌握使用方程去反映现实世界中的等量关系的方法与思想，体会代数方法的优越性，再次感受二元一次方程组与现实生活的联系和作用。
【教学重难点】
以方程组为工具分析、解决含有多个未知数的实际问题是重点，根据题意找出等量关系是难点。
【教学过程】
一、导入新课
导入方式一：
前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组。本节我们继续探究如何用方程组解决实际问题。
（说明：开门见山，直接提出本节学习目标，强化本章的中心问题。）
导入方式二：
出示问题：养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约用饲料675kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约用饲料940kg。饲养员李大叔估计每只大牛1天约需饲料18～20kg，每只小牛1天约需饲料7～8kg。你能否通过计算检验他的估计？
（说明：以学生身边的实际问题展开讨论，突出数学与现实的联系。）
二、推进新课
（一）探索新知
活动1．探索分析，解决问题
学生思考、讨论，判断李大叔的估计是否正确的方法有两种：
（1）先假设李大叔的估计正确，再根据问题中给定的数量关系来检验。
（2）根据问题中给定的数量关系求出平均每只大牛和每只小牛1天各约需用饲料量，再来判断李大叔的估计是否正确。
学生在比较探究后发现用方法（2）较简便。
（说明：引导学生探寻解题思路，并对各种方法进行比较，方法（1）主要是估算的运用，而方法（2）是方程思想的应用。）
设问：如果选择方法（2），如何计算平均每只大牛和每只小牛1天各约需用饲料量？
（有前面几节的知识准备，学生可以回答）
列方程组求解。
主要思路：
学生先独立思考，然后师生共同讨论解题过程。
解：设平均每只大牛和每只小牛1天各约需用饲料x kg和y kg，根据题意可列方程组
解这个方程组，得
（说明：规范解题步骤，培养学生有条理地思考、表达的习惯。）
这就是说，平均每只大牛和每只小牛1天各约需用饲料20kg和5kg。饲养员李大叔对大牛的食量估计正确，对小牛的食量估计不正确。
（说明：让学生认识到检验的重要性，并学会正确作答。）
归纳：
活动2．拓广探索，比较分析
设问：以上问题还能列出不同的方程组吗？结果是否一致？
个别学生可能会列出如下方程组：
但结果一致。（说明：比较分析，加深对方程组的认识。）
活动3．归纳总结
列二元一次方程组解应用题的步骤可归纳如下：
（1）审题，弄清题意和题目中的数量关系；
（2）设未知数，用字母（如x，y）表示题目中的两个未知数，可以直接设，也可以间接设；
（3）找出能够表示实际问题全部含义的两个相等关系；
（4）根据这些相等关系列出需要的代数式，再列出方程并组成方程组；
（5）解这个方程组，求出未知数的值；
（6）检验方程组的解，看所求得的解是否符合题意，不符合题意的解应该舍去；
（7）写出答语（包括单位名称）。
（二）应用新知
例2据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶1.5。现要把一块长200m，宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物。怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4（结果取整数）？
1．探索分析，研究策略
如何解决这一实际问题呢？
学生自主探索，合作交流，整理思路：
（1）先明确有两种方法可分割长方形，即横向或纵向。
（2）确定分割线的位置，也就是确定面积比。
（3）面积比与总产量比及单位面积产量比之间有关。
（4）选取数学工具求解。
学生经讨论后发现列方程组求解较为方便。
2．合作交流，解决问题
总结学生的讨论结果：
种植方案一：如图，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和EBCF，设AE＝x m，EB＝y m，长方形土地的长为200m，所以x＋y＝200。①
总产量＝面积×单位面积产量。
设甲的单位面积产量为a，因为甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶1.5，所以乙的单位面积产量就是1.5a。
甲种作物的总产量为100xa，乙种作物的总产量为100y×1.5a，根据总产量比值是3∶4可以列出第二个方程(100xa)∶(100y×1.5a)＝3∶4。②
将①②两个方程联立就可以得到方程组
将方程②化简，得2x∶3y＝3∶4。
所以8x＝9y。③
由①，得y＝200－x。④
将④代入③，得8x＝9(200－x)。
所以x＝≈106。
把x＝106代入④，得y＝200－106＝94。
所以这种种植方案为：过长方形土地长边上离一端约106m处，把这块地分为两个长方形，较大一块地种甲种作物，较小一块地种乙种作物。
你能求出第二种种植方案吗？试试看。
（具体过程由学生写出。）
（三）拓展提升
1．学生在手工实践课中，遇到这样一个问题：要用20张白卡纸制作包装纸盒，每张白卡纸可以做盒身2个，或者做盒底盖3个。如果1个盒身和2个盒底盖可以做成一个包装纸盒，那么能否将这些白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套？请你设计一种分法。
按以下步骤展开问题的讨论：
（1）学生独立思考，选择数学模型。
（2）小组讨论达成共识，形成解题思路。
（3）学生板书交流。
（4）对方程组的解进行探究和讨论，从而得到实际问题的结果。
2．引申问题
（1）如果用1个盒身和1个盒底做成无盖的纸盒，这20张白卡纸如何分法才能使做成的盒身和盒底正好配套？
（2）针对这一问题背景，你能提出一个探索性问题吗？
（说明：安排开放题，以利于培养学生的探索精神和创新意识。）
三、本课小结
通过学习用二元一次方程组解决实际问题，同学们不仅要学会分析阅读材料，从给定问题中寻找等量关系，从而建立数学模型，还要了解同一数学问题并非只有一种方案，往往是多元化的，要从不同角度来观察问题、解决问题。
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