人教课标版（B版）高中数学必修5参考课件1-等差数列的前n项和(共18张PPT)

(共18张PPT)
2.2.2
等差数列的前n项和
如图堆放一堆钢管，最上一层放了4根，下面每一层比上一层多放一根，共8层，这堆钢管共有多少根？
这堆钢管从上到下的数量组成一个等差数列。
其中a1=4，公差d=1. 最下一层中a8=11。
即求4+5+6+……+11=
我们设想，在这堆钢管旁，如图所示堆放同样数量的钢管，这时每层都有钢管(4+11)根.
因此钢管的总数是(4+11) ×8÷2
=60(根)
这种算法对于等差数列前n项和的计算具有一般性。
等差数列的前n项和公式推导
等差数列{an}中，a1， a2 ， a3 ，…an ，…的公差为d.
Sn= a1＋a2 ＋ a3 ＋··· ＋an
=a1+(a1+d)+(a1+2d)+···+[a1+(n－1)d]
Sn= an＋an－1 ＋ an－2 ＋ ···＋ a1
=an+(an－d)+(an－2d)···+[an－(n－1)d]
两式相加得
即
这就是说，等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半。
公式中代入等差数列的通项公式
得到
例1．等差数列{an}的公差为2，第20项a20=29，求前20项的和S20.
解：因为29=a1+19×2，解得a1=－9，
所以
例2．已知数列{an}的前n项和公式为Sn=2n2－30n
（1）这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式；
（2）求使得Sn最小的序号n的值。
解：（1）将n－1代入到数列的前n项和公式，
得Sn－1=2(n－1)2－30(n－1)，
因此an=Sn－Sn－1=4n－32，(n≥2)，
当n=1时，a1=S1=2－30=－28，也适合上式，
所以这个数列的通项公式是an=4n－32。
（2）因为
又因为n是正整数，
所以当n=7或=8时，Sn最小，
最小值是－112.
对Sn的深入认识
n
an
O
an = 4n—14
已知一个等差数列
an = 4n—14
它是一个关于n的一次函数，它的图象是在一条直线上的若干点。
n
Sn
O
6
Sn = 2n2－12n
它的前n项和是
Sn = 2n2－12n
这是一个关于n的二次函数，且二次函数的常数项为0.
反之若一个数列{an}，它的前n项和的表达式是关于n的二次函数，且二次函数的常数项为0，则这个数列是等差数列
它的图象是抛物线上的若干点。
例3．李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”，从8月1日开始，每个月的1号都存入100元，存期三年：
（1）已知当年“教育储蓄”存款的月利率为2.7‰，问到期时，李先生一次可支取本息共多少元？
（2）已知当年同档期的“零存整取”储蓄的月利率是1.725‰，问李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元？
解：（1）100元“教育储蓄”存款的月利息是
100×2.7‰=0.27（元），
第1个100元存36个月，得利息0.27×36（元）;
第2个100元存35个月，得利息0.27×35（元）;
…………
第36个100元存1个月，得利息0.27×1（元），
此时李先生获得利息
0.27×(1+2+3+……+36)=179.82(元)，
本息和为3600+179.82=3779.82元；
（2）100元“零存整取”的月利息为
100×1.725‰=0.1725（元），
存3年的利息是
0.1725×(1+2+3+……+36)=114.885(元)，
因此李先生多收益
179.82－114.885×(1－20%)=87.912元.
答：李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益87.912元
1. 若数列的前n项和为
则数列（ ）
(1)是公差为2的等差数列
(2)是公差为5的等差数列
(3)是公差为10的等差数列
(4)是公差为－10的等差数列
C
练习：
2.在等差数列{an}中，a2+a4=p，a3+a5=q．则其前6项的和S6为( )
(A) 5 (p+q)/4 (B) 3(p+q)/2 (C) p+q (D) 2(p+q)
B
3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，
若a4=18－ a5，则S8等于（ ）
A.18 B.36 C.54 D.72
D
解法三：
设a1+a2+……+a10=A， a11+a12+……+a20=B，
a21+a22+……+a30=C，
则A，B，C成等差数列，
且A=10，A+B=30,
解得B=20，
所以C=30，
S30=A+B+C=60.