2021-2022学年山东省烟台市招远市七年级（上）期中数学试卷（五四学制）(word解析版)

2021-2022学年山东省烟台市招远市七年级第一学期期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分）
1．下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若一个三角形的两个内角的度数分别为30°和70°，则这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
3．如图，三角形ABC，∠BAC＝90°，AD是三角形ABC的高，图中相等的是（　　）
A．∠B＝∠C B．∠BAD＝∠B C．∠C＝∠BAD D．∠DAC＝∠C
4．对于下列说法：
（1）关于某一直线成轴对称的两个三角形全等；
（2）等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；
（3）一条线段的两个端点一定是关于经过该线段中点的直线的对称点；
（4）直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方．
其中正确的的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．如图，△ABC中，AB＞AC＞BC，边AB上存在一点P，使得PA+PC＝AB．下列描述正确的是（　　）
A．P是∠ACB的平分线与AB的交点
B．P是以点B为圆心，AC长为半径的弧与边AB的交点
C．P是AC的垂直平分线与AB的交点
D．P是BC的垂直平分线与AB的交点
6．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠D应分别是20°和30°．当∠BCD是下列哪个度数时，这个零件才有可能是合格的（　　）
A．150° B．140° C．130° D．120°
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90 ，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝25，则CD的长为（　　）
A．2.5 B．4 C．5 D．10
8．如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（　　）
A．77° B．64° C．26° D．87°
9．如图，在2×3的正方形网格中，有一个以格点为顶点的三角形，此网格中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝56°，则∠CAF的度数为（　　）
A．36° B．24° C．56° D．34°
11．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　）
A．3 B．9 C．16 D．25
12．如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N，将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A′处后，再将纸片沿着BA′对折一次，使得点C落在BN上的C′处，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，则原三角形的∠C的度数为（　　）
A．87° B．84° C．75° D．72°
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
13．如图，若AB＝DE，　 　，BE＝CF，则根据“SSS”可得△ABC≌△DEF．
14．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是　 　．
15．已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则以底边为边长的正方形的面积为　 　．
16．如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎祥变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值．这个定值为 　 　．
17．如图，直线a过正方形ABCD的顶点A，点B、D到直线a的距离分别为5、12，则正方形的周长为 　 　．
18．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝11，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于 　 　．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分.请在答题卡指定区域内作答.）
19．如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
20．在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，涂黑其中三个方格，使剩下的部分成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为涂黑部分）．
请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，并且画上对称轴）．
21．如图，AB＝CB，AD＝CD，AC，BD交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足为E，F．说明OE＝OF的理由．
22．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面3米，问：发生火灾的住户窗口距离地面BD有多高？
23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．
（1）△ABD和△ECB全等吗？请说明理由；
（2）若∠BDC＝65°，求∠ADB的度数．
24．课本33页“想一想”，“如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明和小颖想用绳子测量A，B两点间的距离，他们想出了这样一个办法：先在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB；连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A、B两点间的距离”．
（1）你能说明其中的道理吗？
（2）你还有别的不同的方法吗？（可以使用直角工具）请写出具体方法，并说明理由．
25．如图，△BEF和△AGE是等腰直角三角形．
（1）探究FG和AB的数量关系并说明理由；
（2）延长FG和AB交于点C，利用图2补全图形，求∠ACF的度数．
（3）当△BEF和△AGE如图3的位置时，请直接写出线段FG和AB的关系：　 　．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分）
1．下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此可得结论．
解：A．是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
2．若一个三角形的两个内角的度数分别为30°和70°，则这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【分析】求出三角形的第三个内角即可判断．
解：∵三角形的两个内角的度数分别为30°和70°，
∴这个三角形的第三个内角是180°﹣30°﹣70°＝80°，
∵三个内角都小于90°，
∴这个三角形是锐角三角形，
故选：A．
3．如图，三角形ABC，∠BAC＝90°，AD是三角形ABC的高，图中相等的是（　　）
A．∠B＝∠C B．∠BAD＝∠B C．∠C＝∠BAD D．∠DAC＝∠C
【分析】由三角形高的定义可得∠ADB＝∠ADC＝90°＝∠BAC，由三角形内角和定理和直角三角形的性质可求解．
解：∵AD是三角形ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°＝∠BAC，
∴∠B+∠C＝90°，∠BAD+∠B＝90°，∠C+∠CAD＝90°，
∴∠B＝∠DAC，∠C＝∠BAD，
故选：C．
4．对于下列说法：
（1）关于某一直线成轴对称的两个三角形全等；
（2）等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；
（3）一条线段的两个端点一定是关于经过该线段中点的直线的对称点；
（4）直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方．
其中正确的的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据轴对称图形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理进行判断，即可得出结论．
解：（1）关于某一直线成轴对称的两个三角形全等，说法正确；
（2）等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在直线，故原说法错误；
（3）一条线段的两个端点不一定是关于经过该线段中点的直线的对称点，故原说法错误；
（4）直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，故原说法错误．
∴正确的的个数为1，
故选：B．
5．如图，△ABC中，AB＞AC＞BC，边AB上存在一点P，使得PA+PC＝AB．下列描述正确的是（　　）
A．P是∠ACB的平分线与AB的交点
B．P是以点B为圆心，AC长为半径的弧与边AB的交点
C．P是AC的垂直平分线与AB的交点
D．P是BC的垂直平分线与AB的交点
【分析】根据题意得出PB＝PC，根据线段垂直平分线的判定定理解答即可．
解：∵PA+PC＝AB，PA+PB＝AB，
∴PB＝PC，
∴P是BC的垂直平分线与AB的交点，
故选：D．
6．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠D应分别是20°和30°．当∠BCD是下列哪个度数时，这个零件才有可能是合格的（　　）
A．150° B．140° C．130° D．120°
【分析】延长DC交AB于E，先根据三角形的外角性质求出∠DEB，再根据三角形的外角性质计算，判断即可．
解：延长DC交AB于E，
∵∠DEB是△ADE的外角，∠A＝90°，∠D＝30°，
∴∠DEB＝∠A+∠D＝90°+30°＝120°，
∴∠BCD＝∠DEB+∠B＝120°+20°＝140°，
故选：B．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90 ，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝25，则CD的长为（　　）
A．2.5 B．4 C．5 D．10
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质求出DE＝CD，根据三角形的面积求出DE，即可得出选项．
解：过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90 ，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∵AB＝10，S△ABD＝25，
∴10×DE＝25，
解得：DE＝5，
∴CD＝DE＝5，
故选：C．
8．如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（　　）
A．77° B．64° C．26° D．87°
【分析】依据平行线的性质，即可得到∠AEG的度数，再根据折叠的性质，即可得出∠α的度数．
解：∵矩形纸条ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEG＝∠BGD'＝26°，
∴∠DEG＝180°﹣26°＝154°，
由折叠可得，∠α＝∠DEG＝×154°＝77°，
故选：A．
9．如图，在2×3的正方形网格中，有一个以格点为顶点的三角形，此网格中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】因为对称图形是全等的，所以面积相等，据此连接矩形的对角线，观察得到的三角形即可解答．
解：如图，与△ABE成轴对称的格点三角形有△ABF、△BEF、△EBC共3个，
故选：C．
10．如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝56°，则∠CAF的度数为（　　）
A．36° B．24° C．56° D．34°
【分析】根据全等三角形的性质得出∠BCA＝∠ECD，求出∠BCE＝∠ACF，求出∠ACF＝56°，再根据直角三角形的两锐角互余得出即可．
解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠BCA＝∠ECD，
∴∠BCA﹣∠ECA＝∠ECD﹣∠ECA，
即∠BCE＝∠ACF，
∵∠BCE＝56°，
∴∠ACF＝56°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣∠ACF＝＝34°，
故选：D．
11．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　）
A．3 B．9 C．16 D．25
【分析】根据勾股定理求出CD2，进而求出AB2，得到答案．
解：由勾股定理得：CD2＝52﹣42＝25﹣16＝9，
则AB2＝CD2＝9，
∴阴影部分面积为9，
故选：B．
12．如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N，将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A′处后，再将纸片沿着BA′对折一次，使得点C落在BN上的C′处，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，则原三角形的∠C的度数为（　　）
A．87° B．84° C．75° D．72°
【分析】已知∠A＝18°，欲求∠C，需求∠ABC．如图，由题意得：△ABN≌△A′BN，△C′BN≌△CBM，得∠1＝∠2＝∠3，∠CMB＝∠C′MB＝68°，则需求∠3．根据三角形内角和定理，得∠3+∠C＝112°，∠ABC+∠C+18°＝180°，即3∠3+∠C＝162°，故求得∠3＝25°．
解：如图，
由题意得：△ABN≌△A′BN，△C′BN≌△CBM．
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CMB＝∠C′MB＝68°．
∴∠1＝∠2＝∠3．
∴∠ABC＝3∠3．
又∵∠3+∠C+∠CMB＝180°，
∴∠3+∠C＝180°﹣∠CMB＝180°﹣68°＝112°．
又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴18°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°．
∴18°+2∠3+112°＝180°．
∴∠3＝25°．
∴∠C＝112°﹣∠3＝112°﹣25°＝87°．
故选：A．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
13．如图，若AB＝DE，　AC＝DF　，BE＝CF，则根据“SSS”可得△ABC≌△DEF．
【分析】由BE＝CF可得到BC＝EF，结合条件可再加一组边相等即可证明三角形全等．
解：可添加AC＝DF，利用SSS来证明三角形全等，
理由如下：∵BE＝CF，
∴BC＝EF，且AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
故答案是：AC＝DF．
14．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是　75°　．
【分析】根据三角板的度数以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠1的度数，再根据直角等于90°计算即可得解．
解：如图，∠1＝45°﹣30°＝15°，
∠α＝90°﹣∠1＝90°﹣15°＝75°．
故答案为：75°
15．已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则以底边为边长的正方形的面积为　10或90　．
【分析】根据题意作出图形分为高线在三角形内和高线在三角形外两种情况，然后根据勾股定理计算求解即可．
解：由题意可作图．
如图1，AC＝5，CD＝3，CD⊥AB，根据勾股定理可知：AD＝＝4，
∴BD＝1．
∴BC2＝12+32＝10．
如图2，AC＝5，CD＝3，CD⊥AB，根据勾股定理可知：AD＝＝4，
∴BD＝9，
∴BC2＝92+32＝90．
故答案是：10或90．
16．如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎祥变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值．这个定值为 　135°　．
【分析】利用三角形内角和定理和直角三角形的性质求解即可．
解：∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵AD平分∠CAB，EB平分ABC，
∴∠FAB＝∠CAB，∠FBA＝∠CBA，
∴∠FAB+∠FBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，
∴∠AFB＝180°﹣45°＝135°．
故答案为：135°．
17．如图，直线a过正方形ABCD的顶点A，点B、D到直线a的距离分别为5、12，则正方形的周长为 　52　．
【分析】先证Rt△AFD≌Rt△BEA（AAS），得DF＝AE＝12，AF＝BE＝5，再由勾股定理求出AB＝13，即可求出正方形的周长．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，∠BAD＝90°，
∵点B、D到直线a的距离分别为5、12，
∴DF⊥AF，BE⊥AE，BE＝5，DF＝12，
∴∠AFD＝∠BEA＝90°，∠ADF+∠DAF＝90°，
∵∠DAF+∠BAE＝90°，
∴∠ADF＝∠BAE，
在Rt△AFD和Rt△BEA中，
，
∴Rt△AFD≌Rt△BEA（AAS），
∴DF＝AE＝12，AF＝BE＝5，
在Rt△BEA中，由勾股定理得：AB＝＝＝13，
∴正方形ABCD的周长＝4AB＝52，
故答案为：52．
18．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝11，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于 　57　．
【分析】根据勾股定理得到MB2＝BD2+MD2，MC2＝CD2+MD2，求出MC2﹣MB2＝CD2﹣BD2，在根据勾股定理计算，得到答案．
解：在Rt△BDM中，MB2＝BD2+MD2，
在Rt△CDM中，MC2＝CD2+MD2，
∴MC2﹣MB2＝（CD2+MD2）﹣（BD2+MD2）＝CD2﹣BD2，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝64+AD2，
在Rt△ACD中，CD2＝AC2+AD2＝121+AD2，
∴CD2﹣BD2＝（121+AD2）﹣（64+AD2）＝57，
∴MC2﹣MB2＝57，
故答案为：57．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分.请在答题卡指定区域内作答.）
19．如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可．
解：如图，点M即为所求，
20．在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，涂黑其中三个方格，使剩下的部分成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为涂黑部分）．
请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，并且画上对称轴）．
【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的图形．
解：如图所示：
．
21．如图，AB＝CB，AD＝CD，AC，BD交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足为E，F．说明OE＝OF的理由．
【分析】欲证明OE＝OF，只需推知BD平分∠ABC，所以通过全等三角形△ABD≌△CBD（SSS）的对应角相等得到∠ABD＝∠CBD，问题就迎刃而解了．
【解答】证明：在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD平分∠ABC．
又∵OE⊥AB，OF⊥CB，
∴OE＝OF．
22．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面3米，问：发生火灾的住户窗口距离地面BD有多高？
【分析】根据AB和AC的长度，构造直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边BC的长．
解：过点A作AC⊥BD，垂足为C，
由题意可知：AE＝CD＝3米，AC＝9米，AB＝15米；
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC2+BC2＝AB2，
即，BC2+92＝152，BC2＝152﹣92＝144，
∴BC＝12（米），
∴BD＝BC+CD＝12+3＝15（米）；
答：发生火灾的住户窗口距离地面15米．
23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．
（1）△ABD和△ECB全等吗？请说明理由；
（2）若∠BDC＝65°，求∠ADB的度数．
【分析】（1）由ASA证明△ABD≌△ECB即可；
（2）由全等三角形的性质得BD＝BC，则∠BDC＝∠BCD＝65°，再由三角形内角和定理得∠DBC＝50°，然后由平行线的性质即可求解．
解：（1）△ABD≌△ECB，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠EBC，
在△ABD和△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（ASA）；
（2）∵△ABD≌△ECB，
∴BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝65°，
∴∠DBC＝180°﹣∠BDC﹣∠BCD＝50°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝50°．
24．课本33页“想一想”，“如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明和小颖想用绳子测量A，B两点间的距离，他们想出了这样一个办法：先在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB；连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A、B两点间的距离”．
（1）你能说明其中的道理吗？
（2）你还有别的不同的方法吗？（可以使用直角工具）请写出具体方法，并说明理由．
【分析】（1）由题意知AC＝DC，BC＝EC，根据∠ACB＝∠DCE即可证明△ABC≌△DEC，即可得到AB＝DE；
（2）根据三角形的中位线定理即可得到结论．
解：（1）在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝DE，
即DE的长度就是A，B两点间的距离；
（2）先在地上确定点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长，则A，B两点间的距离为2DE．
如图，
25．如图，△BEF和△AGE是等腰直角三角形．
（1）探究FG和AB的数量关系并说明理由；
（2）延长FG和AB交于点C，利用图2补全图形，求∠ACF的度数．
（3）当△BEF和△AGE如图3的位置时，请直接写出线段FG和AB的关系：　FG＝AB，FG⊥AB　．
【分析】（1）结论：FG＝AB．证明△FEG≌△BEA（SAS），可得结论；
（2）利用全等三角形的性质，以及三角形内角和定理，即可证明；
（3）线段FG和AB的关系：FG＝AB且FG⊥AB．证明△FEG≌△BEA（SAS），可得结论．
解：（1）结论：FG＝AB．
理由：∵△BEF和△AGE是等腰直角三角形，
∴EF＝EB，EA＝EG，∠FEB＝∠AEG＝90°，
∴∠FEB﹣∠BEG＝∠AEG﹣∠BEG，
即∠FEG＝∠BEA，
在△FEG和△BEA中，
，
∴△FEG≌△BEA（SAS），
∴FG＝AB；
（2）如图2中，即为补全的图形，
由（1）知△FEG≌△BEA，
∴∠EFG＝∠EBA，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴∠EFB＝∠EBF＝45°，
∴∠CFB+∠CBF＝∠CFB+∠EBF+∠CBE＝∠EFB+∠EBF＝90°，
∴∠BCF＝108°﹣（∠CFB+∠CBF）＝90°，
∴∠ACF＝90°；
（3）线段FG和AB的关系：FG＝AB且FG⊥AB．
理由：如图3中，设AB交FG于点J，BE交FG于点O．
∵△BEF和△AGE是等腰直角三角形，
∴EF＝EB，EA＝EG，∠FEB＝∠AEG＝90°，
∴∠FEB+∠BEG＝∠AEG+∠BEG，
即∠FEG＝∠BEA，
在△FEG和△BEA中，
，
∴△FEG≌△BEA（SAS），
∴FG＝AB，∠EFO＝∠OBJ，
∵∠EOF＝∠BOJ，
∴∠OJB＝∠FEO＝90°，
即FG⊥AB．