2021-2022学年安徽省宿州市埇桥区教育集团九年级（上）期中数学试卷(word解析版)

2021-2022学年安徽省宿州市埇桥区教育集团九年级第一学期期中数学试卷
一.选择题（每小题4分，共40分）
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）
A． B．（x﹣1）2＝（x+3）（x﹣2）+1
C．x＝x2 D．ax2+bx+c＝0
2．四条线段a，b，c，d成比例，其中a＝3cm，d＝4cm，c＝6cm，则b等于（　　）
A．8 cm B．cm C．cm D．2 cm
3．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为4：25，则△ABC与△DEF周长之比为（　　）
A．4：25 B．2：5 C．5：2 D．25：4
4．如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BCD＝50°，则∠OED的度数是（　　）
A．35° B．30° C．25° D．20°
5．在一个不透明的布袋中装有40个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.30左右，则布袋中黄球可能有（　　）
A．12个 B．14个 C．18个 D．28个
6．下列方程中，有两个相等实数根的是（　　）
A．x2+1＝2x B．x2+1＝0 C．x2﹣2x＝3 D．x2﹣2x＝0
7．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（　　）
A．36（1﹣x）2＝﹣25 B．36（1﹣2x）＝25
C．36（1﹣x）2＝25 D．36（1﹣x2）＝25
8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（　　）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）
9．宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为（　　）
A． B．4 C．5 D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．若＝3，则的值为　 　．
12．若实数x，y满足（x2+y2+1）（x2+y2﹣2）＝0，则x2+y2的值是 　 　．
13．如图，小颖在围棋盘上两个格子的格点上任意摆放黑、白两个棋子，且两个棋子不在同
一条网格线上，其中，恰好摆放成如图所示位置的概率是 　 　．
14．图（1）是一张矩形纸片，将其依次按图（2）、图（3）的方式折叠，AE与AD恰好重合．
（1）如图（3），折痕AM与EF交于点G，则∠AGD＝　 　．
（2）若△DFG的面积为S，则矩形ABCD的面积为 　 　．
三.解答题（本大题共2小题.每小题8分，共16分）
15．解方程：
①x2+3x+2＝0；
②2（x+3）2＝x（x+3）．
16．在△ABC中，a、b、c分别为它的三条边长，且a+b+c＝60，a：b：c＝3：4：5，求△ABC的面积．
四.解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A （1，2），B （3，1），C （2，3），以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′．
（1）在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′；（不要求写画法）
（2）△A′B′C′的面积是：　 　．
18．如表，方程1、方程2、方程3…是按照一定的规律排列的一列方程，解方程3，并将它的解填在表中的空白处．
序号 方程 方程的解
1 x2+2x﹣3＝0 x1＝1 x2＝﹣3
2 x2+4x﹣12＝0 x1＝2 x2＝﹣6
3 x2+6x﹣27＝0 x1＝　 　 x2＝　 　
… … … …
（1）请写出这列方程中第m个方程，并写出它的解；
（2）用你探究的规律求方程x2+20x﹣300＝0的解．
五.解答题（本大题共2小题，每题10分，共20分）
19．为了解某校落实新课改精神的情况，现以该校某班的同学参加课外活动的情况为样本，对其参加“球类”“绘画类”“舞蹈类”“音乐类”“棋类”活动的情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图．
（1）参加音乐类活动的学生人数为　 　人，参加球类活动的人数的百分比为　 　；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）若该校学生共1600人，那么参加棋类活动的大约有多少人？
（4）该班参加舞蹈类活动4位同学中，有1位男生（用E表示）和3位女生（分别F，G，H表示），现准备从中选取两名同学组成舞伴，请用列表或画树状的方法求恰好选中一男一女的概率．
20．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB的中点，CF∥AB交ED的延长线于点F，连接AF、CE．
（1）求证：四边形BCFE是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是菱形？并说明理由．
六、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
21．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．
（1）填表：（不需化简）
时间 第一个月 第二个月 清仓时
单价（元） 80 　 　 40
销售量（件） 200 　 　 　 　
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
22．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DC交BE于F，且AD＝AB，AE＝EC．求证：
（1）△DEF∽△CBF；
（2）DF BF＝EF CF．
七、解答题（本题满分14分）
23．如图1所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1．
（1）请你探究：，是否都成立？
（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断．
（3）如图2所示Rt△ABC中，∠ACB＝90 ，AC＝8，AB＝，E为AB上一点且AE＝5，CE交其内角角平分线AD于F．试求的值．
参考答案
一.选择题（每小题4分，共40分）
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）
A． B．（x﹣1）2＝（x+3）（x﹣2）+1
C．x＝x2 D．ax2+bx+c＝0
【分析】根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0，对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、是分式方程，故本选项错误；
B、整理以后是关于x的一元一次方程，故本选项错误；
C、是关于x的一元二次方程，故本选项正确；
D、a＝0时，是关于x的一元一次方程，故本选项错误．
故选：C．
2．四条线段a，b，c，d成比例，其中a＝3cm，d＝4cm，c＝6cm，则b等于（　　）
A．8 cm B．cm C．cm D．2 cm
【分析】四条线段a，b，c，d成比例，则＝，代入即可求得b的值．
解：∵四条线段a，b，c，d成比例，
∴＝，
∴b＝＝＝2（cm）．
故选：D．
3．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为4：25，则△ABC与△DEF周长之比为（　　）
A．4：25 B．2：5 C．5：2 D．25：4
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方先求出△ABC与△DEF的相似比，然后根据相似三角形的周长的比等于相似比解答即可．
解：∵相似三角形△ABC与△DEF面积的比为4：25，
∴它们的相似比为2：5，
∴△ABC与△DEF的周长比为2：5．
故选：B．
4．如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BCD＝50°，则∠OED的度数是（　　）
A．35° B．30° C．25° D．20°
【分析】根据直角三角形的斜边中线性质可得OE＝BO＝OD，根据菱形性质可得∠DBE＝∠ABC＝65°，从而得到∠OEB度数，再依据∠OED＝90°﹣∠OEB即可．
解：∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝50°，
∴O为BD中点，∠DBE＝∠ABC＝65°．
∵DE⊥BC，
∴在Rt△BDE中，OE＝OB＝OD，
∴∠OEB＝∠OBE＝65°．
∴∠OED＝90°﹣65°＝25°．
故选：C．
5．在一个不透明的布袋中装有40个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.30左右，则布袋中黄球可能有（　　）
A．12个 B．14个 C．18个 D．28个
【分析】利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为0.3，然后根据概率公式计算即可．
解：设袋子中黄球有x个，
根据题意，得：＝0.30，
解得：x＝12，
即布袋中黄球可能有12个，
故选：A．
6．下列方程中，有两个相等实数根的是（　　）
A．x2+1＝2x B．x2+1＝0 C．x2﹣2x＝3 D．x2﹣2x＝0
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．
解：A、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，有两个相等实数根；
B、Δ＝0﹣4＝﹣4＜0，没有实数根；
C、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，有两个不相等实数根；
D、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，有两个不相等实数根．
故选：A．
7．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（　　）
A．36（1﹣x）2＝﹣25 B．36（1﹣2x）＝25
C．36（1﹣x）2＝25 D．36（1﹣x2）＝25
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）＝25，把相应数值代入即可求解．
解：第一次降价后的价格为36×（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，
为36×（1﹣x）×（1﹣x），
则列出的方程是36×（1﹣x）2＝25．
故选：C．
8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（　　）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）
【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案．
解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴＝，
∵BG＝6，
∴AD＝BC＝2，
∵AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴＝，
∴＝，
解得：OA＝1，
∴OB＝3，
∴C点坐标为：（3，2），
故选：A．
9．宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF＝GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．
解：设正方形的边长为2，则CD＝2，CF＝1
在直角三角形DCF中，DF＝＝
∴FG＝
∴CG＝﹣1
∴＝
∴矩形DCGH为黄金矩形
故选：D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为（　　）
A． B．4 C．5 D．
【分析】取BC中点O，连接OE，OF，根据矩形的性质可求OC，CF的长，根据勾股定理可求OF的长，根据直角三角形的性质可求OE的长，根据三角形三边关系可求得当点O，点E，点F共线时，EF有最大值，即EF＝OE+OF．
解：如图，取BC中点O，连接OE，OF，
∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠C＝90°
∵点F是CD中点，点O是BC的中点
∴CF＝，CO＝2
∴OF＝＝
∵点O是Rt△BCE的斜边BC的中点
∴OE＝OC＝2
∵根据三角形三边关系可得：OE+OF≥EF
∴当点O，点E，点F共线时，EF最大值为OE+OF＝2+＝
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．若＝3，则的值为　4　．
【分析】根据＝3，得出y＝3x，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．
解：∵＝3，
∴y＝3x，
∴＝＝4；
故答案为：4．
12．若实数x，y满足（x2+y2+1）（x2+y2﹣2）＝0，则x2+y2的值是 　2　．
【分析】设x2+y2＝m，方程变形后用求根公式求解，再根据x2+y2≥0，这个条件确定最后结果．
解：（1）设x2+y2＝m，
原方程化为：（m+1）（m﹣2）＝0，
∴m+1＝0或m﹣2＝0，
解得m1＝﹣1，m2＝2，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2＝2．
故答案为：2．
13．如图，小颖在围棋盘上两个格子的格点上任意摆放黑、白两个棋子，且两个棋子不在同
一条网格线上，其中，恰好摆放成如图所示位置的概率是 　　．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
解：白球在网格上有6种摆放方法，两棋子不在同一条格线上的摆放方法共有12种，
∴恰好摆放成如图所示位置的概率是，
故答案为：．
14．图（1）是一张矩形纸片，将其依次按图（2）、图（3）的方式折叠，AE与AD恰好重合．
（1）如图（3），折痕AM与EF交于点G，则∠AGD＝　112.5°　．
（2）若△DFG的面积为S，则矩形ABCD的面积为 　（6+8）S　．
【分析】（1）由折叠的性质可得∠EAM＝∠DAM＝∠EAF＝22.5°，∠ADG＝∠AEG＝45°，由三角形的内角和定理即可求解；
（2）由折叠的性质可得DF＝GF，GE＝GD，则△DFG是等腰直角三角形，设DF＝GF＝a，则S＝，即可求AB＝EF＝GF+GF＝（+1）a，BC＝AD＝AF+FD＝EF+DF＝（2+）a，可得矩形ABCD的面积＝（+1）a （2+）a＝（3+4）a2＝（6+8）S．
解：（1）∵将△ABE折叠到△AFE，
∴AB＝AF，∠FAE＝∠BAE＝∠AEB＝∠AEF＝45°，∠B＝∠AFE＝90°，
∵折叠
∴∠EAM＝∠DAM＝∠EAF＝22.5°，∠ADG＝∠AEG＝45°，
∴∠AGD＝180°﹣∠DAM﹣∠ADG＝180°﹣22.5°﹣45°＝112.5°，
故答案为：112.5°；
（2）由折叠的性质，得DF＝GF，GE＝GD，∠B＝∠AFE＝90°，AB＝AF，∠ADG＝∠AEG＝45°，
∴△DFG是等腰直角三角形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠AFE＝90°，
∴四边形ABEF是正方形，
∴AB＝AF＝EF，
设DF＝GF＝a，则S＝，
∴AB＝EF＝GE+GF＝DG+GF＝GF+GF＝（+1）a，
BC＝AD＝AF+FD＝EF+DF＝（2+）a，
∴矩形ABCD的面积＝（+1）a （2+）a＝（3+4）a2＝（6+8）S．
故答案为：（6+8）S．
三.解答题（本大题共2小题.每小题8分，共16分）
15．解方程：
①x2+3x+2＝0；
②2（x+3）2＝x（x+3）．
【分析】①利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得；
②先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．
解：①∵x2+3x+2＝0，
∴（x+1）（x+2）＝0，
则x+1＝0或x+2＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣2；
②∵2（x+3）2＝x（x+3），
∴2（x+3）2﹣x（x+3）＝0，
则（x+3）（x+6）＝0，
∴x+3＝0或x+6＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝﹣6．
16．在△ABC中，a、b、c分别为它的三条边长，且a+b+c＝60，a：b：c＝3：4：5，求△ABC的面积．
【分析】设a＝3x，b＝4x，c＝5x，则3x+4x+5x＝60，解得x＝5，所以a＝15，b＝20，c＝25，再利用勾股定理的逆定理可证明△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，然后根据三角形面积公式求解．
解：∵a：b：c＝3：4：5，
∴设a＝3x，b＝4x，c＝5x，
∵a+b+c＝60，
∴3x+4x+5x＝60，
解得x＝5，
∴a＝15，b＝20，c＝25，
∵152+202＝252，
即a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，
∴△ABC的面积＝×a×b＝×15×20＝150．
四.解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A （1，2），B （3，1），C （2，3），以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′．
（1）在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′；（不要求写画法）
（2）△A′B′C′的面积是：　6　．
【分析】（1）延长OA到A′，使OA′＝2OA，同法得到其余点的对应点，顺次连接即可；
（2）把所求三角形的面积分割为矩形的面积减去若干直角三角形的面积即可．
解：（1）
；
（2）△A′B′C′的面积＝4×4﹣×2×2﹣×2×4﹣×2×4＝6，故答案为6．
18．如表，方程1、方程2、方程3…是按照一定的规律排列的一列方程，解方程3，并将它的解填在表中的空白处．
序号 方程 方程的解
1 x2+2x﹣3＝0 x1＝1 x2＝﹣3
2 x2+4x﹣12＝0 x1＝2 x2＝﹣6
3 x2+6x﹣27＝0 x1＝　3　 x2＝　﹣9　
… … … …
（1）请写出这列方程中第m个方程，并写出它的解；
（2）用你探究的规律求方程x2+20x﹣300＝0的解．
【分析】利用因式分解法将方程3变形为（x﹣3）（x+9）＝0，进而求解即可；
（1）观察图表，一次项系数为从2开始的连续偶数，常数项是从1开始的连续自然数的平方的3倍的相反数，然后写方程，再根据方程的第一个解是连续自然数，第二个解是3的倍数的相反数写出即可；
（2）利用因式分解法将方程变形为（x﹣10）（x+30）＝0，进而求解即可．
解：x2+6x﹣27＝0，
（x﹣3）（x+9）＝0，
所以x1＝3，x2＝﹣9．
填表如下：
序号　 方程　 方程的解　
　1 x2+2x﹣3＝0　 x1＝1　 x2＝﹣3　
2　 x2+4x﹣12＝0　 x1＝2　 x2＝﹣6　
3　 x2+6x﹣27＝0　 x1＝3 x2＝﹣9
… … … …
故答案为：3，﹣9；
（1）第n个方程为：x2+2nx﹣3n2＝0，
方程的解是x1＝n，x2＝﹣3n；
（2）∵x2+20x﹣300＝0可化为（x﹣10）（x+30）＝0，
∴方程的解是x1＝10，x2＝﹣30．
五.解答题（本大题共2小题，每题10分，共20分）
19．为了解某校落实新课改精神的情况，现以该校某班的同学参加课外活动的情况为样本，对其参加“球类”“绘画类”“舞蹈类”“音乐类”“棋类”活动的情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图．
（1）参加音乐类活动的学生人数为　7　人，参加球类活动的人数的百分比为　30%　；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）若该校学生共1600人，那么参加棋类活动的大约有多少人？
（4）该班参加舞蹈类活动4位同学中，有1位男生（用E表示）和3位女生（分别F，G，H表示），现准备从中选取两名同学组成舞伴，请用列表或画树状的方法求恰好选中一男一女的概率．
【分析】（1）先由绘画类人数及其所占百分比求出总人数，总人数乘以音乐类对应百分比求出其人数，用球类人数除以总人数可得其所占百分比；
（2）根据以上所求结果可补全图形；
（3）总人数乘以参棋类活动的人数所占比例即可得；
（4）利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．
解：（1）本次调查的总人数为10÷25%＝40（人），
∴参加音乐类活动的学生人数为40×17.5%＝7人，参加球类活动的人数的百分比为×100%＝30%，
故答案为：7、30%；
（2）补全条形图如下：
（3）该校学生共1600人，则参加棋类活动的人数约为1600×＝280，
故答案为：280；
（4）画树状图如下：
共有12种情况，选中一男一女的有6种，
则P（选中一男一女）＝＝．
20．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB的中点，CF∥AB交ED的延长线于点F，连接AF、CE．
（1）求证：四边形BCFE是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是菱形？并说明理由．
【分析】（1）由三角形中位线定理可得DE∥BC，BC＝2DE，且CF∥AB，即可证四边形BCFE是平行四边形；
（2）首先证明四边形AECF是平行四边形，且AC⊥EF，可得四边形AECF是菱形．
【解答】证明：（1）∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE∥BC，BC＝2DE
∵DE∥BC，CF∥AB
∴四边形BCFE是平行四边形；
（2）当∠ABC＝90°时，四边形AECF是菱形
∵DE∥BC
∴∠ADE＝∠ACB＝90°
∴AC⊥EF
∵点E是AB中点，
∴AE＝BE，
∵四边形BCFE是平行四边形
∴CF∥AB，CF＝BE
∴CF＝AE
∴四边形CFAE是平行四边形，且AC⊥EF
∴四边形AECF是菱形
六、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
21．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．
（1）填表：（不需化简）
时间 第一个月 第二个月 清仓时
单价（元） 80 　 　 40
销售量（件） 200 　 　 　 　
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
【分析】（1）根据题意直接用含x的代数式表示即可；
（2）利用“获利9000元”，即销售额﹣进价＝利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍．
解：（1）
时间 第一个月 第二个月 清仓时
单价（元） 80 80﹣x 40
销售量（件） 200 200+10x 800﹣200﹣（200+10x）
（2）根据题意，得
200×（80﹣50）+（200+10x）×（80﹣x﹣50）+（400﹣10x）（40﹣50）＝9000
整理得10x2﹣200x+1000＝0，
即x2﹣20x+100＝0，
解得x1＝x2＝10
当x＝10时，80﹣x＝70＞50
答：第二个月的单价应是70元．
22．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DC交BE于F，且AD＝AB，AE＝EC．求证：
（1）△DEF∽△CBF；
（2）DF BF＝EF CF．
【分析】（1）由两对边的比值和其夹角对应相等的两个三角形相似即可证明△DEF∽△CBF；
（2）由（1）可知△DEF∽△CBF，根据相似三角形的性质即可证明DF BF＝EF CF．
【解答】证明（1）∵AD＝AB，AE＝EC，∠A＝∠A，
∴＝，＝，
∴，
∴DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF；
（2）∵△DEF∽△CBF，
∴，
∴DF BF＝EF CF．
七、解答题（本题满分14分）
23．如图1所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1．
（1）请你探究：，是否都成立？
（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断．
（3）如图2所示Rt△ABC中，∠ACB＝90 ，AC＝8，AB＝，E为AB上一点且AE＝5，CE交其内角角平分线AD于F．试求的值．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AD垂直平分BC，∠CAD＝∠BAD＝30°，AB＝AC，则DB＝CD，易得＝；由于∠C1AB1＝60°，得∠B1＝30°，则AB1＝2AC1，同理可得到DB1＝2DC1，易得＝；
（2）过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠E＝∠CAD＝∠BAD，则BE＝AB，并且根据相似三角形的判定得△EBD∽△ACD，得到＝，而BE＝AB，于是有＝，这实际是三角形的角平分线定理；
（3）AD为△ABC的内角角平分线，由（2）的结论得到＝＝＝，＝＝，又＝＝，则有＝，得到DE∥AC，根据相似三角形的判定得△DEF∽△ACF，即有
∴＝＝．
解：（1）两个等式都成立．理由如下：
∵△ABC为等边三角形，AD为角平分线，
∴AD垂直平分BC，∠CAD＝∠BAD＝30°，AB＝AC，
∴DB＝CD，
∴＝；
∵∠C1AB1＝60°，
∴∠B1＝30°，
∴AB1＝2AC1，
又∵∠DAB1＝30°，
∴DA＝DB1，
而DA＝2DC1，
∴DB1＝2DC1，
∴＝；
（2）结论仍然成立，理由如下：
如右图所示，△ABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，
∴∠E＝∠CAD＝∠BAD，
∴BE＝AB，
∵BE∥AC，
∴△EBD∽△ACD，
∴＝
而BE＝AB，
∴＝；
（3）如图，连DE，
∵AD为△ABC的内角角平分线
∴＝＝＝，＝＝，
又∵＝＝，
∴＝，
∴DE∥AC，
∴△DEF∽△ACF，
∴＝＝．