北师大版八下数学1.1等腰三角形 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
1.1 等腰三角形
北师大版 数学八年级下册 第一章 三角形的证明
1.理解等边三角形的判别条件及其证明；并能利用定理解决一些简单的问题.
2.理解含有30 角的直角三角形性质及其证明，并能有意识渗透逆向思维的思想。
学习目标
②角: 等腰三角形的两个底角相等.
（等边对等角）
③轴对称性: 等腰三角形顶角的平分线、底边
上的中线、底边上的高线互相重合 .
1、等腰三角形的性质:
①从边来判定：有两边相等的三角形是等腰三角形.(定义)
（三线合一）
①边: 等腰三角形的两腰相等.
2、等腰三角形的判定:
②从角来判定： 有两个角相等的三角形是等腰三角形.（等角对等边）
回顾旧知
3、等边三角形的性质
①边：等边三角形的三边相等.
②角：等边三角形的三个角都相等, 并且每个角都等于60°.
③轴对称性：等边三角形每一条边上的高、中线和对角的平分线都三线合一.
等边三角形的判定？
一个三角形满足什么条件就是等边三角形
思考
探索新知
1、定义：三条边都相等的三角形是等边三角形
那么，三个角相等的三角形是等边三角形吗？
A
B
C
书写格式：
∵ ∠A= ∠B= ∠C
∴ AB=AC=BC
判定定理1：
三个角都相等的三角形是等边三角形。
一个等腰三角形满足什么条件就是等边三角形
思考
有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形
A
B
C
∵AB=AC，∠A= 60。
∴ AB=AC=BC
∵AB=AC，∠B= 60。
∴ AB=AC=BC
当顶角为60 时，
思考：
分类讨论
当底角为60 时，
判定2：
吗？
等边三角形的判定方法
边
角
边和角
三条边都相等的三角形是等边三角形
三个角都相等的三角形是等边三角形
有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形.
小结归纳
例1.如图，△ABC是等边三角形，点E是AC上一点，∠1＝∠2，BE＝CD.请判断△ADE的形状，并说明理由．
解：△ADE是等边三角形．
理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°
又∵∠1＝∠2，BE＝CD
∴△AEB≌△ADC（SAS）
∴AE＝AD，
∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△AED为等边三角形．
典例精析
用两个含有30 角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？
300
300
能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.
做一做：
300
300
300
300
探索新知
能证明你的结论吗？
猜想: 在直角三角形中, 30 角所对的直角边等于斜边的一半.
由刚才的拼图你想到，在直角三角形中，30 角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
猜一猜：
300
300
300
300
A
B
C
已知: 如图, 在Rt△ABC中,
∠ACB=90 ，∠A=30
求证: BC= AB.
求证: 在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
300
A
B
C
D
分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题
转 化
“线段相等”问题
延长BC至D, 使CD=BC, 连接AD
300
A
B
C
D
∵ ∠ACB=90 (已知)
∴∠ACD=90 (平角的定义)
在△ABC与△ADC中
∵BC=DC（作图）
　 ∠ACB=∠ACD（已证）
AC=AC（公共边）
∴△ABC≌△ADC（SAS）
∴ AB=AD
∵∠ACB=90 , ∠A=30 (已知),
∴∠B=60° (直角三角形两锐角互余).
∴△ABD是等边三角形 (有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)
∴BC= BD= AB(等式性质).
证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD
书写格式：
∵在Rt△ABC中, ∠A=30
∴BC= AB
(在直角三角形中， 30 角所对的直角边等于斜边的一半)
A
B
C
300
定理：在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
√
1）直角三角形中30 角所对的直角边等于另一
直角边的一半． 2）三角形中30 角所对的边等于最长边的一半。 3）直角三角形中最小的直角边是斜边的一半。 4）直角三角形的斜边是30 角所对直角边的2倍．
判 断
A
C
B
D
150
150
已知：如图，△ABC中，AB=AC，
∠B= 15 , CD是腰AB上的高
证明: ∵∠B=∠ACB=15 (已知),
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15 + 15 = 30 (三角形的一个外角,等于和不相邻的两内角的和).
例2. 求证: 如果等腰三角形的底角为15 , 那么腰上的高是腰长的一半.
求证: CD= AC
∴CD= AC (在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半).
典例精析
小结：等腰三角形中见15°则有30°，从而得到线段关系。
典例精析
小结：直角三角形中出现斜边上的高时，观察锐角之间关系。
例3. 如图,在△ABC中,∠BAC=90 ，
AD是高，∠B=30 ，
求证:DC= BC.
证明:∵∠BAC=90°,∠B=30°,∴AC= BC
∵∠BAC=90°,∠B=30°,∴∠C=60°
∵AD是高,∴∠ADC=90°.∴∠DAC=30°
∴DC= AC，即DC= AC = × BC= BC
C
B
A
拓展：
如图， ∠C=90 ，∠BAC=30 ，设BC=x,则AB=？AC=
x
小结：30°的直角三角形三条边长比值是固定的，只需已知一条边长即可求剩下两条边长。
命题:
在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半, 那么它所对的锐角等于30 . 是真命题吗
如果是, 请你证明它.
A
B
C
已知: 如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, BC=
求证: ∠A=30°.
逆向思维
探索新知
A
B
C
D
证明: 如图, 延长BC至D, 使CD=BC, 连接AD.
已知: 如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, BC= AB.
求证: ∠A=30°.
在△ABC和△ADC中,
∵BC=CD, ∠ACB=∠ACD= 90°, AC=AC
∴ △ABC≌△ADC(SAS) ,
∴ AB=AD
又∵BC= AB ，BC= BD
∴AB=BD
∴AB=BD=AD
∴△ABD是等边三角形.
∴∠B=60°
∴∠A=30°
1、等边三角形的判定方法:
（1）等边三角形的定义：三边相等的三角形是等边三角形
（2）定理: 三个角都相等的三角形是等边三角形.
（3）定理: 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
2、含有30 角的直角三角形的性质:
（1）定理: 在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
（2）逆定理: 在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半, 那么它所对的锐角等于30°.
课堂小结
谢谢！再见！