2022届艺考生高考数学中点弦问题 教案 （含答案解析）

2022届艺考生高考数学中点弦问题教案
中点弦问题（设而不求与点差法）
姓名：
若，是椭圆上不重合的两点，点为的中点，的值为定值么？
答题模版
第一步：若，是椭圆上不重合的两点，则，
第二步：两式相减得，
第三步：是直线的斜率，是线段的中点，化简可得
题型一：点差法求离心率
【例1】已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
【练1】已知斜率为的直线与双曲线交于，两点，若，的中点为，则双曲线的离心率为
【练2】已知椭圆：的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是_________.
【提升】在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，为椭圆的一条弦（不经过原点），直线经过弦的中点，与椭圆交于、两点，设直线的斜率为.
（1）若点的坐标为，求椭圆的方程；
（2）求证：为定值；
题型二：求中点弦直线斜率
【例2】已知椭圆C：的离心率为，直线l与椭圆C交于两点，且线段的中点为，则直线l的斜率为（　　）
A． B． C． D．1
【练1】双曲线与直线交于两点, 且线段中点为,为坐标原点,则直线的斜率是______．
【练2】设椭圆过点，离心率为
（1）求C的方程；
（2）求过点且以M点为中点的弦的方程．
【提升】已知椭圆的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于两点，如果的重心恰好为椭圆的右焦点，直线方程为________．
题型三：求曲线的标准方程
【例3】若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过F直线l与双曲线交于M，N两点，且MN的中点为，则双曲线的方程为　　
A． B． C． D．
【练1】已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点作斜率为－2的直线与椭圆交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则a的值是______.
【练2】已知椭圆的离心率为，点是椭圆上的两个点，点是线段的中点.求椭圆的标准方程；
【提升】已知椭圆中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于、两点，中点的横坐标为，则此椭圆的方程是（ ）
A． B． C． D．
当堂检测
1.已知椭圆，的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
2.如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
3.若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于，两点，且的中点为则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4.椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则 的值是(　　)
A． B． C． D．
5.已知椭圆的长轴长为，且短轴长是长轴长的一半．
（1）求椭圆的方程；
（2）经过点作直线，交椭圆于、两点．如果恰好是线段的中点，求直线的方程．
【提升练习】
1.直线交椭圆于两点，若线段中点的横坐标为1，则（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
2．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．证明：；
中点弦问题（设而不求与点差法）
姓名：
若，是椭圆上不重合的两点，点为的中点，的值为定值么？
答题模版
第一步：若，是椭圆上不重合的两点，则，
第二步：两式相减得，
第三步：是直线的斜率，是线段的中点，化简可得
题型一：点差法求离心率
【例1】已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【练1】已知斜率为的直线与双曲线交于，两点，若，的中点为，则双曲线的离心率为
【答案】
【练2】已知椭圆：的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是_________.
【答案】
【提升】在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，为椭圆的一条弦（不经过原点），直线经过弦的中点，与椭圆交于、两点，设直线的斜率为.
（1）若点的坐标为，求椭圆的方程；
（2）求证：为定值；
【答案】（1）；（2）证明见解析；
【详解】
由已知条件得，解得，因此，椭圆的方程为；
（2）设点、，则线段的中点坐标为，
，.
由题意可得，，，
由于点、都在椭圆上，则，
两式作差得，（定值）；
题型二：求中点弦直线斜率
【例2】已知椭圆C：的离心率为，直线l与椭圆C交于两点，且线段的中点为，则直线l的斜率为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】C
【练1】双曲线与直线交于两点, 且线段中点为,为坐标原点,则直线的斜率是______．
【答案】
【练2】设椭圆过点，离心率为
（1）求C的方程；
（2）求过点且以M点为中点的弦的方程．
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）将代入C的方程得，
∴=4，又 得，
即，∴，∴C的方程为．
（2）设直线与C的交点为A，B，代入椭圆方程得
，作差化简可得，即，又，
则，
以M点为中点的弦的方程: ,即：.
【提升】已知椭圆的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于两点，如果的重心恰好为椭圆的右焦点，直线方程为________．
【答案】
题型三：求曲线的标准方程
【例3】若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过F直线l与双曲线交于M，N两点，且MN的中点为，则双曲线的方程为　　
A． B． C． D．
【答案】D
【练1】已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点作斜率为－2的直线与椭圆交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则a的值是______.
【答案】2
【练2】已知椭圆的离心率为，点是椭圆上的两个点，点是线段的中点.求椭圆的标准方程；
【答案】
【详解】
由条件知，，，
所以，解得，
所以椭圆的标准方程为；
【提升】已知椭圆中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于、两点，中点的横坐标为，则此椭圆的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
当堂检测
1.已知椭圆，的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2.如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
3.若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于，两点，且的中点为则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
4.椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则 的值是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
5.已知椭圆的长轴长为，且短轴长是长轴长的一半．
（1）求椭圆的方程；
（2）经过点作直线，交椭圆于、两点．如果恰好是线段的中点，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）根据题意，椭圆的长轴长为，且短轴长是长轴长的一半．
即，则，，则，因此，椭圆的方程为；
（2）由（1）得椭圆的方程为，设点、，
由于点为线段的中点，则，得.
由于点、在椭圆上，则，两个等式相减得，
即，即，
所以，直线的斜率为.
因此，直线的方程为，即.
【提升练习】
1.直线交椭圆于两点，若线段中点的横坐标为1，则（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】A
2．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．证明：；
详解：设，，则，．
两式相减，并由得．
由题设知，，于是．
由题设得，故．