2021—2022学年华东师大版九年级数学下册26.2.3求二次函数的表达式分层训练（word版含答案）

26.2.3　求二次函数的表达式
【基础练习】
知识点 1　一般式——已知抛物线上三个一般点的坐标
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(0,0),(-1,-1),(1,9)三点,利用待定系数法把这三点坐标代入函数表达式可得一个关于a,b,c的　　　　元一次方程组,解方程组得a=　　　　,b=　　　　,c=　　　　,则这个二次函数的表达式为　　　　　　.
2.经过点(-3,1),(1,1)和(0,-2)的抛物线所对应的函数表达式为 (　　)
A.y=x2+2x-2 B.y=x2-2x-2
C.y=x2-2x+2 D.y=-x2-x+
3.若抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,12),(0,5)和(2,-3),则a+b+c的值为　　　　.
4. 已知一个二次函数的图象经过A(0,-3),B(1,0),C(m,2m+3),D(-1,-2)四点,求这个函数的表达式以及点C的坐标.
知识点 2　顶点式——已知抛物线的顶点坐标或对称轴
5.抛物线y=-x2+bx+c如图1所示,则此抛物线所对应的二次函数表达式为 (　　)
图1
A.y=-x2+4x+20 B.y=-x2-4x+20 C.y=-x2+4x+12 D.y=-x2+4x-12
6.若当x=1时,某二次函数有最大值5,且该二次函数的图象与y轴交于点(0,2),则其表达式为　　　　　　　　　.
7.已知一个二次函数的图象的顶点坐标为(-1,2),且过点(1,-3).
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)写出该抛物线的开口方向、对称轴.
8.已知抛物线y=x2+bx+c过点C(-1,m),D(5,m)和A(4,-1),求这条抛物线所对应的函数表达式.
知识点 3　两点式——已知抛物线与x轴的交点
9.若二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(-1,0),B(2,0),C(0,-2)三点,根据A,B两点在x轴上,可设该函数的表达式为y=a(x　　　　1)(x　　　　2),将C(0,-2)代入表达式,解得a=　　　　,
则这个二次函数的表达式为　　　　　　.
10.抛物线y=-x2+bx+c如图2所示,则b+c的值等于 (　　)
图2
A.8　　　　　　 B.9 C.10　　　　　　D.11
【能力提升】
11.已知某二次函数的图象如图3所示,则这个二次函数的表达式为 (　　)
图3
A.y=-3(x-1)2+3 B.y=3(x-1)2+3 C.y=-3(x+1)2+3 D.y=3(x+1)2+3
12.某抛物线的形状、开口方向与抛物线y=x2-4x+3相同,顶点坐标为(-2,1),则该抛物线的函数关系式为 (　　)
A.y=(x-2)2+1 B.y=(x+2)2-1
C.y=(x+2)2+1 D.y=-(x+2)2+1
13.已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,n)和(4,n)两点,则n的值为 (　　)
A.-2 B.-4 C.2 D.4
14.已知二次函数y=ax2+bx+c中自变量x和函数值y的部分对应值如下表:
x … - -1 - 0 1 …
y … - -2 - -2 - 0 …
则该二次函数的表达式为　　　　　　　.
15.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点及点(-2,-2),且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4,那么该二次函数的表达式为　　　　　　　　　　　　　.
16.如图4,直线y=-x-2交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A,且经过点B.
(1)求该抛物线所对应的函数表达式;
(2)若点C在该抛物线上,求m的值.
图4
17.如图5,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(1,0),B(-3,0),C(0,-3).
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)在二次函数图象上存在一点P,使得△ABP的面积为10,求点P的坐标.
图5
18.如图6,抛物线y=x2+bx+c经过A(-,0),B(0,-3)两点,此抛物线的对称轴为直线l,顶点为C,且l与直线AB交于点D.
(1)求此抛物线所对应的函数表达式;
(2)直接写出此抛物线的对称轴和顶点坐标;
(3)连结BC,求证:BC=DC.
图6
26.2.3　求二次函数的表达式
1.三　4　5　0　y=4x2+5x　2.A
3.0　
4.解:设这个函数的表达式为y=ax2+bx+c.
把点A(0,-3),B(1,0),D(-1,-2)的坐标代入,得
解得
所以这个函数的表达式为y=2x2+x-3.
因为点C(m,2m+3)在这个二次函数的图象上,
所以2m2+m-3=2m+3,
解得m1=-,m2=2.
当m=-时,2m+3=0;当m=2时,2m+3=7,
所以点C的坐标为或(2,7).
5.C　
6.y=-3x2+6x+2　
7.解:(1)设这个二次函数的表达式为y=a(x-h)2+k,把顶点(-1,2)和点(1,-3)的坐标代入表达式,得a=-,h=-1,k=2,所以这个二次函数的表达式为y=-(x+1)2+2.
(2)由(1)中的函数表达式可得:该抛物线的开口向下,对称轴为直线x=-1.
8.解:因为抛物线y=x2+bx+c过点C(-1,m)和D(5,m),
所以对称轴是直线x==2,
即-=2,
解得b=-,
即y=x2-x+c.
因为抛物线过点A(4,-1),
所以-1=×42-×4+c,
解得c=-1,
所以这条抛物线所对应的函数表达式是y=x2-x-1.
9.+　-　1　y=(x+1)(x-2)或y=x2-x-2
10.B　[解析] 由图象可知,抛物线与x轴交于点(-1,0)和(5,0),
所以解得
则b+c=9.
11.A　12.C　13.B　
14.y=x2+x-2　
15.y=x2+2x或y=-x2+x
16.解:(1)由直线y=-x-2,
令x=0,则y=-2,所以点B的坐标为(0,-2).
令y=0,则x=-2,所以点A的坐标为(-2,0).
设抛物线所对应的函数表达式为y=a(x-h)2+k.
因为抛物线的顶点为A,
所以y=a(x+2)2.
因为抛物线经过点B,所以-2=4a,
解得a=-,
所以抛物线所对应的函数表达式为y=-(x+2)2,
即y=-x2-2x-2.
(2)方法1:因为点C在抛物线y=-(x+2)2上,
所以-(m+2)2=-,
解得m1=1,m2=-5.
即m的值为1或-5.
方法2:因为点C在抛物线y=-x2-2x-2上,所以-m2-2m-2=-,
所以m2+4m-5=0,解得m1=1,m2=-5.
即m的值为1或-5.
17.解:(1)设这个二次函数的表达式为y=a(x-1)(x+3).把点C(0,-3)的坐标代入,得a·(-1)·3=-3,解得a=1,
故这个二次函数的表达式为y=(x-1)(x+3),即y=x2+2x-3.
(2)因为A(1,0),B(-3,0),
所以AB=4.
设点P的坐标为(m,n).
因为△ABP的面积为10,
所以AB·|n|=10,
解得n=±5.
当n=5时,m2+2m-3=5,
解得m=-4或m=2,
所以点P的坐标为(-4,5)或(2,5);
当n=-5时,m2+2m-3=-5,即m2+2m+2=0,
因为Δ=b2-4ac=22-4×1×2=-4<0,
所以方程m2+2m+2=0无解,故n=-5不合题意,舍去.
综上,点P的坐标为(-4,5)或(2,5).
18.解:(1)因为抛物线y=x2+bx+c经过A(-,0),B(0,-3)两点,
所以
解得
所以此抛物线所对应的函数表达式为y=x2-x-3.
(2)此抛物线的对称轴为直线x=,顶点坐标为(,-4).
(3)证明:设过A,B两点的直线所对应的函数表达式为y=kx+b1,将A,B两点的坐标分别代入,得
解得
故直线AB所对应的函数表达式为y=-x-3,所以当x=时,y=-6,所以点D的纵坐标为-6,所以DC=-=2.
过点B作BE⊥l于点E,则BE=,CE=4-3=1.由勾股定理得BC==2,
所以BC=DC.