2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.4第1课时圆周角定理同步练习（word解析版）

4　第1课时　圆周角定理
【基础练习】
知识点1　圆周角的认识
1.如图1所示,图中的角是圆周角的为(　　)
图1
知识点2　圆周角定理
2.如图2,点A,B,C在☉O上,∠ACB=36°,则∠AOB等于 (　　)
图2
A.28° B.54° C.36° D.72°
3.[2021·常州]如图3,BC是☉O的直径,AB是☉O的弦,若∠AOC=60°,则∠OAB的度数是(　　)
图3
A.20° B.25° C.30° D.35°
4.如图4,点A,B,C,D在☉O上,∠AOC=120°,B是的中点,则∠D的度数是 (　　)
图4
A.30° B.40° C.50° D.60°
5.如图5,点A,B,C在☉O上,AC∥OB,∠BAO=25°,则∠BOC的度数为(　　)
图5
A.25° B.50° C.60° D.80°
6.如图6,点A,B,C均在☉O上,且☉O的半径为2cm,若BC=2cm,则∠A的度数为(　　)
图6
A.30° B.25° C.15° D.10°
7.如图7,OA,OB,OC都是☉O的半径,∠AOB=2∠BOC.
(1)求证:∠ACB=2∠BAC;
(2)若AC平分∠OAB,求∠AOC的度数.
图7
知识点3　圆周角定理的推论1
8.如图8,A,B,C,D是☉O上的点,则图中与∠A相等的角是(　　)
图8
A.∠B B.∠C C.∠DEB D.∠D
9.如图9,在☉O中,=,∠DCB=28°,则∠ABC=　　　　°.
图9
10.如图10,☉O的直径AB过弦CD的中点E,若∠C=25°,则∠D=　　　　°.
图10
11.如图11,由边长均为1的小正方形构成的网格中,点A,B,C都在格点上,以AB为直径的圆经过点C,D,则sin∠ADC的值为 (　　)
图11
A. B. C. D.
12.如图12,☉O的弦AB,CD的延长线相交于点P,且AB=CD.求证:PA=PC.
图12
【能力提升】
13.[2020·眉山]如图13,四边形ABCD的外接圆为☉O,BC=CD,∠DAC=35°,∠ACD=45°,则∠ADB的度数为 (　　)
图13
A.55° B.60° C.65° D.70°
14.如图14,AB是☉O的直径,EF,EB是☉O的弦,且EF=EB,连接OF,若∠AOF=40°,则∠F的度数是 (　　)
图14
A.20° B.35° C.40° D.55°
15.点A,B,C(不重合)在半径为2cm的☉O上,若BC=2cm,则∠BAC的度数为　　　　　.
16.如图15,☉O的弦AB,CD的延长线相交于点M,若所对的圆心角为72°,所对的圆心角为18°,求∠M+∠AEC的大小.
图15
17.如图16,点A,B,C,D都在☉O上,OC⊥AB,∠ADC=30°.
(1)求∠BOC的度数;
(2)求证:四边形AOBC是菱形.
图16
18.如图17,在☉O中,B是☉O上一点,∠ABC=120°,弦AC=2,弦BM平分∠ABC交AC于点D,连接MA,MC.
(1)求☉O的半径;
(2)求证:AB+BC=BM.
图17
答案
1.C　[解析]只有C项满足圆周角定义的两个要素:顶点在圆上,角的两边与圆有交点.
2.D
3.C　[解析]∵∠AOC=60°,
∴∠B=∠AOC=30°.
∵OA=OB,∴∠OAB=∠B=30°.故选C.
4.A　[解析]连接OB,如图.
∵B是的中点,
∴∠AOB=∠COB=∠AOC=×120°=60°,
∴∠D=∠AOB=30°.故选A.
5.B　[解析]∵OA=OB,∠BAO=25°,∴∠B=25°.∵AC∥OB,∴∠B=∠CAB=25°,
∴∠BOC=2∠CAB=50°.
6.A　[解析]如图,连接OB,OC.
∵☉O的半径为2,BC=2,
∴OB=OC=BC,
∴△OBC为等边三角形,
∴∠BOC=60°,
∴∠A=∠BOC=30°.
故选A.
7.解:(1)证明:在☉O中,∠AOB=2∠ACB,
∠BOC=2∠BAC.
又∵∠AOB=2∠BOC,
∴∠ACB=2∠BAC.
(2)设∠BAC=x°.
∵AC平分∠OAB,
∴∠OAB=2∠BAC=2x°,
∴∠OBA=∠OAB=2x°.
∵∠AOB=2∠ACB,∠ACB=2∠BAC,
∠BOC=2∠BAC,
∴∠AOB=4∠BAC=4x°,∠BOC=2x°.
在△OAB中,∠AOB+∠OAB+∠OBA=180°,∴4x+2x+2x=180,解得x=22.5,
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=4x°+2x°=6x°=135°.
8.D　
9.28　
10.65　[解析]∵∠C=25°,
∴∠A=∠C=25°.
∵☉O的直径AB过弦CD的中点E,
∴AB⊥CD,
∴∠AED=90°,
∴∠D=90°-25°=65°.
故答案为65.
11.A　[解析]连接BC.
∵∠ADC和∠ABC所对的弧都是,
∴∠ADC=∠ABC.
∵AC=2,BC=3,
∴AB==,
∴sin∠ABC==,
∴sin∠ADC=.
故选A.
12.证明:如图,连接AC.
∵AB=CD,∴=,
∴+=+,即=,
∴∠C=∠A,
∴PA=PC.
13.C　[解析]∵BC=CD,
∴=,
∴∠BAC=∠DAC=35°,
∴∠BAD=70°.
∵∠ABD=∠ACD=45°,
∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=180°-70°-45°=65°.
故选C.
14.B　[解析]如图,连接FB.
∵∠AOF=40°,∴∠FOB=180°-40°=140°,
∴∠FEB=∠FOB=70°.
∵EF=EB,∴∠EFB=∠EBF=55°.
∵FO=BO,∴∠OFB=∠OBF=20°,
∴∠EFO=∠EFB-∠OFB=35°.
故选B.
15.60°或120°　[解析]过点O作OD⊥BC于点D,如图所示.
∵OD⊥BC,
∴BD=CD=BC=cm.
∵OB=2cm,
∴cos∠OBD=,
∴∠OBD=30°,∴∠BOD=60°,
∴∠BOC=120°,
∴∠BAC=60°或∠BA'C=120°.
故答案为60°或120°.
16.[解析]根据圆周角和圆心角的关系,可求得∠A=∠C=9°,∠ABC=36°,再利用三角形外角与内角的关系,求∠M+∠AEC的大小.
解:根据题意,得∠A=∠C=9°,∠ABC=36°.
∵∠AEC=∠A+∠ABC,
∴∠AEC=9°+36°=45°.
∵∠ABC=∠C+∠M,
∴∠M=∠ABC-∠C=36°-9°=27°,
∴∠M+∠AEC=27°+45°=72°.
17.解:(1)∵OC⊥AB,
∴=,∴∠AOC=∠BOC.
∵∠ADC=∠AOC=30°,∴∠AOC=60°,
∴∠BOC=60°.
(2)证明:∵OA=OC=OB,∠AOC=∠BOC=60°,
∴△AOC和△BOC都是等边三角形,
∴OA=AC=OC=OB=BC,
∴四边形AOBC是菱形.
18.解:(1)连接OA,OC,过点O作OH⊥AC于点H,如图①.
∵∠ABC=120°,BM平分∠ABC,
∴∠ACM=∠ABM=60°,∠CAM=∠CBM=60°,
∴∠AMC=60°,∴△AMC是等边三角形,
∴∠AOC=2∠AMC=120°,
∴∠AOH=∠AOC=60°.
∵AH=AC=,∴OA==2.
故☉O的半径为2.
(2)证明:在BM上截取BE=BC,连接CE,如图②.
∵∠MBC=60°,BE=BC,
∴△EBC是等边三角形,
∴CE=BC=BE,∠BCE=60°.
∵∠ACM=60°,∴∠ECM=∠BCD.
∵△AMC是等边三角形,∴AC=CM,
∴△ACB≌△MCE,∴AB=ME.
∵ME+EB=BM,∴AB+BC=BM.