2021—2022学年北师大版九年级数学下册3.4圆周角定理的推论同步练习（word解析版）

3.4第2课时　圆周角定理的推论
知识点1　圆周角定理的推论2
1.如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上.若∠A=40°,则∠B的度数为 (　　)
A.80° B.60° C.50° D.40°
2.如图,BC是☉O的直径,A,D是☉O上的两点,连接AB,AD,BD,若∠ADB=70°,则∠ABC的度数是 (　　)
A.20° B.70° C.30° D.90°
3.如图,把三角尺的直角顶点O放在破损圆玻璃镜的圆周上,两直角边与圆弧分别交于点M,N,量得OM=8cm,ON=6cm,则该圆玻璃镜的半径是 (　　)
A.cm 　　B.5cm 　　C.6cm 　　D.10cm
4.如图1,☉O的直径AB的长为10,弦AC的长为5,∠ACB的平分线交☉O于点D,连接AD,BD.
(1)求∠ADC的度数;
(2)求弦BD的长.
图1
知识点2　圆的内接四边形
5.如图2,已知四边形ABCD内接于☉O,∠ABC=70°,则∠ADC的度数是 (　　)
图2
A.70° B.110° C.130° D.140°
6.如图3,在☉O中,点A在上,∠BOC=100°,则∠BAC=　　　　°.
图3
7.已知四边形ABCD内接于☉O,若∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则∠D=　　　　°.
8.如图4,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线,点D关于AC的对称点E在边BC上,连接AE.若∠ABC=64°,则∠BAE的度数为　　　　.
图4
9.如图5,四边形ABED是圆的内接四边形,延长AD,BE相交于点C,已知∠C=∠EDC.
(1)求证:AB=AC;
(2)若AB是四边形ABED外接圆的直径,求证:=.
图5
【能力提升】
10.如图6,AB是☉O的直径,点C,D,E在☉O上,若∠AED=20°,则∠BCD的度数为(　　)
图6
A.100° B.110° C.115° D.120°
11.如图7,半径为3的☉A经过原点O和点C(0,2),B是y轴左侧☉A优弧上一点,则tan∠OBC为 (　　)
图7
A. B.2 C. D.
12.如图8,点A,B,C,D都在☉O上,且四边形OABC是平行四边形,则∠D的度数为(　　)
图8
A.45° B.60° C.75° D.不能确定
13.如图9,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,AB=10,AC=6,连接OC,弦AD分别交OC,BC于点E,F,其中E是AD的中点.
(1)求证:∠CAD=∠CBA;
(2)求OE的长.
图9
14.如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径作☉O,交斜边AC于点D,E为OB的中点,连接CE并延长交☉O于点F,点F恰好落在的中点处,连接AF并延长交CB的延长线于点G,连接OF.
(1)求证:OF=BG;
(2)若AB=4,求DC的长.
15.如图,BC为☉O的直径,AD⊥BC于点D,P是弧AC上一动点,连接PB与AD,AC分别交于点E,F.
(1)当=时,求证:AE=BE;
(2)当点P在什么位置时,AF=EF 证明你的结论.
答案
1.C　[解析]因为AB是☉O的直径,所以∠C=90°,所以∠A+∠B=90°,所以∠B=90°-∠A=90°
-40°=50°.
2.A
3.B　[解析]连接MN.∵∠MON=90°,
∴MN为圆的直径.
∵OM=8cm,ON=6cm,
∴MN==10(cm),
∴圆玻璃镜的半径为5cm.故选B.
4.解:(1)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.
在Rt△ABC中,∵AB=10,AC=5,
∴sin∠ABC==,∴∠ABC=30°,
∴∠ADC=∠ABC=30°.
(2)∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD=45°,
∴∠ABD=∠BAD=45°,∴AD=BD.
又∵∠ADB=90°,AB=10,
∴BD=AB·sin∠BAD=5.
5.B　[解析]∵四边形ABCD内接于☉O,∠ABC=70°,
∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-70°=110°.
故选B.
6.130　[解析]如图,取优弧BMC上的一点D,连接BD,CD.
∵∠BOC=100°,∴∠D=50°,
∴∠BAC=180°-∠D=180°-50°=130°.
故答案为130.
7.90　[解析]设∠A=2x,则∠B=3x,∠C=4x.
∵四边形ABCD内接于☉O,
∴∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°,
∴2x+4x=180°,解得x=30°,
∴∠D=180°-3x=180°-90°=90°.
故答案为90.
8.52°
9.证明:(1)∵四边形ABED是圆的内接四边形,
∴∠B+∠ADE=180°.
又∵∠EDC+∠ADE=180°,∴∠EDC=∠B.
又∵∠EDC=∠C,∴∠B=∠C,∴AB=AC.
(2)如图,连接AE.
∵AB是四边形ABED外接圆的直径,
∴∠AEB=90°.
又∵AB=AC,∴AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠EAD,∴=.
10.B　[解析]连接EB.∵AB为☉O的直径,∴∠AEB=90°.∵∠AED=20°,∴∠DEB=90°-
20°=70°.∵四边形DEBC是☉O的内接四边形,∴∠BCD=180°-∠DEB=110°.
11.D　12.B
13.解:(1)证明:∵E是AD的中点,OC是☉O的半径,
∴=,∴∠CAD=∠CBA.
(2)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∵E是AD的中点,
∴OC⊥AD,∴∠AEC=90°,
∴∠AEC=∠ACB.
又∵∠CAE=∠CBA,
∴△AEC∽△BCA,
∴=,即=,∴CE=3.6.
∵OC=AB=5,
∴OE=OC-CE=5-3.6=1.4.
14.[解析](1)证明OF是△ABG的中位线即可;(2)连接BD.先证明△FOE≌△CBE,得BC=OF=AB=2,利用勾股定理得出AC的长,再证明△BDC∽△ABC,得出DC=.
解:(1)证明:∵以Rt△ABC的直角边AB为直径作☉O,点F恰好落在的中点处,
∴=,∴∠AOF=∠BOF.
∵∠AOF+∠BOF=180°,
∴∠AOF=∠BOF=90°.
∵∠ABC=90°,∴∠BOF=∠ABC,
∴OF∥CG.
∵AO=BO,∴AF=FG,
∴OF是△ABG的中位线,∴OF=BG.
(2)在△FOE和△CBE中,
∵∠FOE=∠CBE=90°,EO=EB,∠OEF=∠BEC,∴△FOE≌△CBE(ASA),
∴BC=OF=AB=2,
∴AC==2.
连接BD.∵AB为☉O的直径,
∴∠ADB=90°,∴∠BDC=∠ABC=90°.
又∵∠BCD=∠ACB,∴△BDC∽△ABC,
∴=,即=,解得DC=.
15.解:(1)证明:延长AD交☉O于点M,连接AB,BM.
∵BC为☉O的直径,AD⊥BC于点D,
∴=,∴∠BMD=∠BAD.
∵=,∴∠BMD=∠ABP,
∴∠BAD=∠ABP,∴AE=BE.
(2)当=时,AF=EF.
证明:∵=,∴∠PBC=∠ACB.
又∵∠AEF=∠BED=90°-∠PBC,∠EAF=90°-∠ACB,
∴∠AEF=∠EAF,∴AF=EF.