2021—2022学年北师大版九年级数学下册3.6　第2课时　切线的判定与三角形的内切圆 同步练习（Word版含答案）

6 第2课时　切线的判定与三角形的内切圆
【基础练习】
知识点1　切线的判定
1.下列说法正确的是 (　　)
A.与圆有公共点的直线是圆的切线
B.如果圆心到直线的距离等于半径,那么这条直线是圆的切线
C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D.过圆的半径外端的直线是圆的切线
2.如图5,△ABC的一边AB是☉O的直径,请你添加一个条件,使BC是☉O的切线,你所添加的条件为　　　　　　　.(填一个即可)
图5
3.在△ABO中,OA=OB=2cm,☉O的半径为1cm,当∠AOB=　　　　°时,直线AB与☉O相切.
4.如图6,AB是☉O的直径,下列条件中能判定直线AT是☉O的切线的有　　　.(填序号)
①AB=4,AT=3,BT=5;②∠B=45°,AB=AT;③∠B=55°,∠TAC=55°;④∠ATC=∠B.
图6
5.如图7,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=OB,C是AB的中点,以OC为半径作☉O.
(1)求证:AB是☉O的切线;
(2)若OC=2,求OA的长.
图7
知识点2　三角形的内切圆
6.三角形内切圆的圆心为 (　　)
A.三条边上的高的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条边的垂直平分线的交点
D.三条边上的中线的交点
7.如图8,已知△ABC的内切圆☉O与BC边相切于点D,连接OB,OD.若∠ABC=40°,则∠BOD的度数是　　　　.
图8
8.如图9,☉O为△ABC的内切圆,∠C=90°,AO的延长线交BC于点D,AC=4,CD=1,则☉O的半径等于　　　　.
图9
9.如图10,☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,∠ABC=60°,∠ACB=70°.
(1)求∠BOC的度数;
(2)求∠EDF的度数.
图10
【能力提升】
10.如图11,四边形ABCD内接于☉O,点I是△ABC的内心,∠AIC=124°,点E在AD的延长线上,则∠CDE的度数为 (　　)
图11
A.56° B.62° C.68° D.78°
11.如图12,AB是☉O的直径,BC交☉O于点D,DE⊥AC于点E.要使DE是☉O的切线,还需补充一个条件,则补充的条件不正确的是 (　　)
图12
A.DE=DO B.AB=AC C.CD=DB D.AC∥OD
12.如图13,已知AB是半圆O的直径,AD,BD是半圆的弦,∠PDA=∠PBD,∠BDE=60°,若PD=,则PA的长为　　　　.
　　图13
13.如图14所示,AB是☉O的直径,AD和BC分别切☉O于A,B两点,CD与☉O有公共点E,且AD=DE.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)若AB=12,BC=4,求AD的长.
图14
14.联想三角形内心的概念,我们可引入如下概念:
定义:到三角形的两边距离相等的点,叫做此三角形的准内心.
举例:如图15①所示,若PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点E,PD=PE,则点P为△ABC的准内心.
应用:如图②所示,BF为等边三角形ABC的角平分线,准内心P在BF上,PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点E,且PF=BP,求证:点P是△ABC的内心.
探究:如图③所示,已知△ABC为直角三角形,∠C=90°,准内心P在AC上,PD⊥AB.若PC=AP,求∠A的度数.
图15
答案
1.B
2.答案不唯一,如∠ABC=90°
3.120
4.①②③　[解析]①∵AB=4,AT=3,BT=5,∴AB2+AT2=BT2,∴∠BAT=90°,
∴直线AT是☉O的切线,故此项符合题意.
②∵∠B=45°,AB=AT,
∴∠T=45°,∴∠BAT=90°,
∴直线AT是☉O的切线,故此项符合题意.
③∵AB为☉O的直径,∴∠BCA=90°.
∵∠B=55°,∴∠BAC=35°.
∵∠TAC=55°,∴∠BAT=90°,
∴直线AT是☉O的切线,故此项符合题意.
④由∠ATC=∠B无法得出直线AT是☉O的切线,故此项不符合题意.
故答案为①②③.
5.解:(1)证明:∵OA=OB,C是AB的中点,
∴OC⊥AB.
∵OC为☉O的半径,
∴AB是☉O的切线.
(2)∵∠AOB=90°,OA=OB,
∴△AOB是等腰直角三角形.
∵C是AB的中点,∴AB=2OC=4.
∵OA·OB=AB·OC,
∴OA==2.
6.B　7.70°
8.　[解析]设☉O与AC的切点为M,☉O的半径为r.
如图,连接OM.
易得CM=OM=r.
∵OM⊥AC,∠C=90°,∠OAM=∠DAC,
∴△AOM∽△ADC,
∴OM∶CD=AM∶AC,
即r∶1=(4-r)∶4,
解得r=.
9.解:(1)∵☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,
∴BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,
∴∠OBC=∠ABC=30°,∠OCB=∠ACB=35°,
∴∠BOC=180°-30°-35°=115°.
(2)如图,连接OE,OF.
∵∠ABC=60°,∠ACB=70°,
∴∠A=180°-60°-70°=50°.
∵AB,AC是☉O的切线,
∴∠OFA=90°,∠OEA=90°,
∴∠A+∠EOF=180°,
∴∠EOF=180°-∠A=130°,
∴∠EDF=∠EOF=65°.
10.C　11.A　12.1
13.解:(1)证明:如图,连接OD,OE.
∵AD切☉O于点A,
∴∠DAB=90°.
在△ADO和△EDO中,
∵AD=ED,OA=OE,OD=OD,
∴△ADO≌△EDO(SSS),
∴∠OED=∠OAD=90°,即OE⊥CD.
又∵OE是☉O的半径,
∴CD是☉O的切线.
(2)如图,过点C作CH⊥AD于点H,连接OC,则∠CHA=∠CHD=90°.
∵AD和BC分别切☉O于A,B两点,
∴∠DAB=∠ABC=90°,
∴四边形ABCH是矩形,
∴CH=AB=12,AH=BC=4,
∴DH=AD-AH=AD-4.
在Rt△OEC和Rt△OBC中,
∵OB=OE,OC=OC,
∴Rt△OEC≌Rt△OBC(HL),
∴CB=CE=4,
∴CD=DE+CE=AD+4.
在Rt△CDH中,
∵CH2+DH2=CD2,
∴122+(AD-4)2=(AD+4)2,
∴AD=9.
14.解:应用:
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=60°.
∵BF为△ABC的角平分线,∴∠PBE=30°.
∵PE⊥BC,∴PE=BP.
∵PF=BP,∴PE=PF.
∵BF是等边三角形ABC的角平分线,
∴BF⊥AC.
∵点P在BF上,PD⊥AB,PE⊥BC,
∴PD=PE,∴PE=PD=PF,
∴点P是△ABC的内心.
探究:根据题意,得PD=PC=AP.
∵sinA===,∠A是锐角,
∴∠A=30°.