2021—2022学年华东师大版九年级数学下册第26章二次函数测试题（Word版含答案）

第26章　二次函数
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.下列函数中,函数图象是抛物线的是 (　　)
A.y= B.y=x C.y=3x+2 D.y=x2
2.某手机店为减少库存,对原价为3000元的某款智能手机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x,降价后的价格为y元,则y与x之间的函数关系式为 (　　)
A.y=3000(x-1) B.y=3000(1-x)
C.y=3000(1-x2) D.y=3000(1-x)2
3.抛物线y=-x2+2x+3与x轴的两交点间的距离是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.把抛物线y=-x2先向左平移1个单位,再向上平移3个单位,则平移后的抛物线所对应的函数关系式为 (　　)
A.y=-(x-1)2-3 B.y=-(x+1)2-3 C.y=-(x-1)2+3 D.y=-(x+1)2+3
5.对于二次函数y=-(x+1)2+3,有下列结论:①其图象开口向下;②其图象的对称轴为直线x=1;③其图象的顶点坐标为(-1,3);④当x>1时,y随x的增大而减小.其中正确结论的个数为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
6.用一根长为12 cm的细铁丝围成一个矩形,则围成的矩形的面积最大为 (　　)
A.7 cm2 B.8 cm2 C.9 cm2 D.10 cm2
7.已知二次函数y=x2+(m-1)x+1,当x>1时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是 (　　)
A.m=-1 B.m=3 C.m≤-1 D.m≥-1
8.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示,则下列结论中正确的有 (　　)
①abc<0;②2a+b=0;③b2-4ac<0;④9a+3b+c>0;⑤c+8a<0.
图1
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题5分,共25分)
9.二次函数y=2x2+bx-5的图象过点(-1,3),则b=　　　　.　
10.已知抛物线y=ax2+bx+c如图2所示,则其对应的函数关系式为　　　　　　　　.　
图2
11.抛物线y=x2+bx+4与x轴有且只有1个交点,则b=　　　　.
12.如图3是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象,观察图象可知,当y2≥y1时,x的取值范围是　　　　　　.
图3 图4
13.如图4,点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线y=a(x-m)2+n的顶点在线段AB上运动,与x轴交于C,D两点(点C在点D的左侧),点C的横坐标的最小值为-3,则点D的横坐标的最大值为　　　　.
三、解答题(共43分)
14.(14分)已知某抛物线的顶点坐标是(3,5),且经过点A(1,3).
(1)求此抛物线所对应的表达式;
(2)如果点A关于该抛物线对称轴对称的点是点B,且抛物线与y轴的交点是点C,求△ABC的面积.
15.(14分)为实现脱贫奔小康,老李在驻村干部的帮助下,利用网络平台进行“直播带货”,销售一批成本为每件30元的土特产,按销售单价不低于成本价,且不高于50元/件销售,经调查发现:该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间满足一次函数关系,部分数据如下表所示.
销售单价x(元/件) 30 40 45
销售量y(件) 100 80 70
(1)求该土特产每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的函数关系式(不要求写自变量的取值范围);
(2)当销售单价定为多少元/件时,才能使销售该土特产每天获得的利润w(元)最大 最大利润是多少元
16.(15分)如图5,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+2过B(-2,6),C(2,2)两点.
(1)试求该抛物线所对应的函数表达式;
(2)记抛物线的顶点为D,求△BCD的面积;
(3)若直线y=-x向上平移m(m>0)个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B,C)部分有两个交点,求m的取值范围.
图5
答案
1.D　2.D
3.D　[解析] 当y=0时,-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,所以抛物线与x轴的两交点的坐标分别为(-1,0),(3,0),所以抛物线y=-x2+2x+3与x轴的两交点间的距离为3-(-1)=4.故选D.
4.D　5.C
6.C　[解析] 设围成的矩形一边长为x cm,则与它相邻的一边长为(6-x)cm,所以矩形的面积S=x(6-x)=-(x-3)2+9,因此矩形的最大面积为9 cm2.
7.D　[解析] 抛物线的对称轴为直线x=-.因为当x>1时,y随x的增大而增大,
所以-≤1,解得m≥-1.
8.C　[解析] 因为图象的开口向下,与y轴的交点在y轴的正半轴上,对称轴是直线x=1,所以a<0,c>0,-=1,即2a+b=0,b>0,所以abc<0,故①②正确;
因为图象和x轴有两个交点,所以b2-4ac>0,故③错误;
因为图象的对称轴是直线x=1,和x轴的一个交点坐标是(-1,0),所以另一个交点坐标是(3,0),即当x=3时,y=a×32+b×3+c=9a+3b+c=0,故④错误;
因为2a+b=0,即b=-2a,代入表达式,得y=ax2-2ax+c,当x=3时,y=9a-6a+c=3a+c=0.
因为a<0,所以3a+c+5a=8a+c<0,故⑤正确.
即正确的有3个.故选C.
9.-6　10.y=-x2+2x+3
11.±4　[解析] 当抛物线y=x2+bx+4与x轴只有一个交点时,关于x的一元二次方程x2+bx+4=0的根的判别式Δ=0,即b2-4×4=0,解得b=±4.
12.-2≤x≤1　[解析] 从图象上可看出两个交点坐标分别为(-2,0),(1,3),所以当y2≥y1时,-2≤x≤1.
13.8　[解析] 当点C的横坐标为-3时,抛物线的顶点为A(1,4),对称轴为直线x=1,此时点D的横坐标为5,则CD=8.当抛物线的顶点为B(4,4)时,抛物线的对称轴为直线x=4,且CD=8,故此时有C(0,0),D(8,0).由于此时点D的横坐标最大,故点D的横坐标的最大值为8.
14.解:(1)设此抛物线所对应的表达式为y=a(x-3)2+5,
将点A(1,3)的坐标代入上式,得3=a(1-3)2+5,解得a=-,所以此抛物线所对应的表达式为y=-(x-3)2+5.
(2)因为A(1,3),抛物线的对称轴为直线x=3,
所以B(5,3).
令x=0,则y=-(x-3)2+5=,则C0,,
所以△ABC的面积=×(5-1)×=5.
15.解:(1)设该土特产每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的函数关系式为y=kx+b.
将(30,100),(40,80)代入一次函数关系式,得
解得
所以该土特产每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y=-2x+160.
(2)由题意,得
w=(x-30)(-2x+160)=-2(x-55)2+1250.
因为-2<0,所以抛物线开口向下,
所以当x<55时,w随x的增大而增大.
因为30≤x≤50,
所以当x=50时,w有最大值,此时w=-2(50-55)2+1250=1200.
所以当销售单价定为50元/件时,才能使销售该土特产每天获得的利润w(元)最大,最大利润是1200元.
16.解:(1)由题意,得解得
所以该抛物线所对应的函数表达式为y=x2-x+2.
(2)如图.因为y=x2-x+2=(x-1)2+,
所以顶点D的坐标为1,.
由题意可得直线BC的函数表达式为y=-x+4.
设抛物线的对称轴与直线BC的交点为H,则点H的坐标为(1,3),
所以S△BCD=S△BDH+S△DHC=××3+××1=3.
(3)由消去y,得x2-x+4-2m=0.
当Δ=b2-4ac=1-4(4-2m)=0时,直线与抛物线只有一个交点,解得m=;
当直线y=-x+m经过点C时,m=3;
当直线y=-x+m经过点B时,m=5.
因为直线y=-x向上平移m(m>0)个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B,C)部分有两个交点,所以