2021 ～ 2022 年度
湘鄂冀三省七校秋季期中联考
高二数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C B A A C D
二、选择题
题号 9 10 11 12
答案 ABC BCD AD CD
三、填空题
2
13．2 14．
3
15 5 1． 16． 37
2
四、解答题
2t t 3
17．解(1)设 P（t,t）,由 3 5……………………………………………………（2分）
5
得 t 1 5∴ t 4或 6 ……………………………………………………………………（4分）
∴P的坐标为 4, 4 或 6,6 ……………………………………………………………（5分）
（2）由 l2 // l3得 a 4………………………………………………………………………（7分）
∴ l2 : 2x y 3 0，l3 : 4x 2y 4 0即 2x y 2 0…………………………………（8分）
3 2
∴ l l
5
2与 3的距离 d ………………………………………………………（10分）
5 5
18．解（1） BC1 BB1 B1C1 BB A
1 1C1 A1B1 AA1 AC AB a c b…………（2分）
1 1
因为 a b | a | | b | cos BAA1 1 1 cos60 ，同理可得 a c b c ……………（4分）2 2
所以 BC1 (a c b)
2 a 2 c 2 b 2 2a c 2a b 2c b 1 1 1 1 1 1 2…
…………………………………………………………………………………………………（6分）
答案第 1页，共 6页
（2）因为 AB1 a b，所以 AB1 (a b)
2 a2 b 2 2a b 1 1 1 3………（8分）
AB
1 BC1 (a b ) (a
c b ) a 2 a c a b b a c b b 2 1 1 1 1 1 1 1………
2 2 2 2
………………………………………………………………………………………………（10分）
cos AB , BC AB1 BC 1 1 6所以 1 1 AB BC 2 3 6 ．1 1
6
所以异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为 ………………………………………（12分）
6
19．解（1）以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标
系，
A a,0,0 ,C 0,a,0 ,N a
a
则 ,0,a ，所以 AN ,0,a2 2
， AC a,a,0 ，
在正方体 ABCD A1B1C1D1中，因为DD1 面 ABCD， AC 面 ABCD，所以DD1 AC，
又因为 AC BD，DD1 BD D，所以 AC 面 BDD1B1，
所以 AC a,a,0 为面 BB1D1D的一个法向量，
设直线 AN与平面 BB1D1D所成角为 ，
a2
0 0
sin cos AN, AC A N AC
2 10
则 ，
AN AC 2 a
10
0 a2 a2 a2 0
2
10
所以直线 AN与平面 BB1D1D所成角的余弦值为 ……………………………………（6分）
10
（2）设平面 ANC的一个法向量为 n1 x, y, z ，
ax ay 0
n AC 0
则 1 ，即 a ，取 x 2，则 y 2, z 1，所以 n1 2, 2,1 ，
n1 AN 0 x az 0 2
因为 B1 a,a,a ,C 0,a, 0 ，所以 B1C a, 0, a ，
B1C n1 2a a
所以 B1到平面 ANC的距离 d a .…………………………………（12分）
n 31
答案第 2页，共 6页
a 2b,
20．解（1）由题意 2 1 解得 a 2，b 2，
1, a2 b2
x2 y2
所以椭圆的标准方程为 1．.……………………………………………………（5分）
4 2
（2）点 A(2,0)，右焦点 F 2,0 ，由题意知直线 l的斜率不为 0，
故设 l的方程为 x my 2，M x1, y1 ，N x2 , y2 ，
x2 y2
1，
联立方程得 4 2 消去 x，整理得 (m2 2)y2 2 2my 2 0 ，
x my 2，
∴ 16(m2 1) 0 y y 2 2m
2
， ， y1y2 1 2 2 ………………………………（7分）m2 2 m 2
2
2
y1 y2
2 y y 2 2 2m 8 16（1 m ) 1 2 4y1y2 2
m 2 m
2 2 2 2m 2
y y 4 m
2 1
1 2 m2 2
S 1 AMN 2 2 y y2 1 2
m2 2 2 - 2 12 2 2 - 2 1 1 2 2 ………………………（11分）m 2 m2 1
m2 1
当且仅当m 0时等号成立，此时 l： x 2
所以 AMN面积的最大值为 2 2………………………………………………………（12分）
21．解（1）连接ME， B1C
M ，E分别为 BB1， BC中点
ME为 B1BC的中位线
ME / /B1C
1
且ME B C
2 1
又N为 AD
1
1 中点，且 A1D/ /B1C ND/ /B1C且 ND BC2 1
ME/ /ND 四边形MNDE为平行四边形
MN / /DE，又MN 平面C1DE，DE 平面C1DE
答案第 3页，共 6页
MN / /平面C1DE…………………………………………………………………………（5分）
（2）设 AC BD O ， A1C1 B1D1 O1
由直四棱柱性质可知：OO1 平面 ABCD
四边形 ABCD为菱形 AC BD
则以O为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则：
3 1 A 3,0,0 ，M 0,1,2 ，A1 3,0, 4 ，D（0，-1,0）N , ,2
2 2
3 1
取 AB中点 F ，连接DF，则 F , ,02 2
四边形 ABCD为菱形且 BAD 60
BAD为等边三角形 DF AB
又 AA1 平面 ABCD，DF 平面 ABCD
DF AA1
∴DF 平面 ABB1A1，即DF 平面 AMA1
3 3
DF为平面 AMA1的一个法向量，且DF , ,02 2
3 3
设平面MA1N的法向量 n1 x, y, z ，又MA1 3, 1, 2 ，MN , ,02 2
n MA1 3x y 2z 0
3 3 ，令 x 3，则 y 1， z 1 n 3,1, 1
n MN x y 0
2 2
cos DF,n D F n 3 15
DF n 15 5 sin DF,n
10
5
10二面角 A MA1 N的正弦值为 …………………………………………………（12分）5
22．解(1) 由题可知，直线 AB斜率显然存在，设为 k，则直线 AB：y＝kx＋1.
1
因为 O点到直线 AB的距离 d1＝ 2 ，k 1
答案第 4页，共 6页
2
AB
2
1
∴ 2
+ ＝4，
k 2 1
4k 2 3
∴AB＝2
k 2 1
2
2 4k 3 3 7由 ＝ 得 k2＝15.……………………………………………………………（2分）
k 2 1 2
1
因为直线 AB与直线 CD互相垂直，则直线 CD：y＝ x＋1，
k
2
1 1
k
∴M点到直线 CD的距离 d2＝ 2 ，
1 1
k
2
2 CD
2 1 1
1 4 4∴ ＝ － k
2 2
，CD＝2 1 2 ＝2 1 ＝ 3 .……………（6分）
k 1 15 1
1
1
k
1
(3)当直线 AB的斜率不存在时，△ABE的面积 S＝ ×4×2＝4…………………………（7分）
2
1
当直线 AB的斜率存在时，设为 k，则直线 AB：y＝kx＋1，k≠0，直线 CD：y＝－ x＋1.
k
2 1 1
k
由 2 <1得 k2>3， 所以 k∈(－∞，－ 3 )∪( 3，＋∞)．
1 1 k
2 2
AB 1 4k 24 AB 2 3因为 ＋ ＝ ，所以 ＝ .
2 k 2 1 k 2 1
2k 1 1 2k
因为 E点到直线 AB的距离即M点到直线 AB的距离 d＝ ＝ ……（10分）
1 k 2 1 k 2
1 4k 2 3 k 2
所以△ABE的面积 S＝ AB·d＝2 2 .2 1 k 2
2
t k 2 1 4 S 2 4t 5t 1 2 4 5 1
2
令 ，则 ＝
t 2 t t
t 4
0 1 1
t 4
答案第 5页，共 6页
3 5
S∈ , 4 .
2
3 5
综上，△ABE面积的取值范围是 , 4 .………………………………………………（12分）
2
答案第 6页，共 6页秘密★启用前
2021 ～ 2022年度
湘鄂冀三省七校秋季期中联考
高二 数学 试卷
本试题卷共 4页，22 题，全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在规
定位置。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用签字笔或钢笔
将答案写在答题卡上，请勿在答题卡上使用涂改液或修正带，写在本试卷上的答案无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知直线 l1 : ax y 3 0与 l2 : 2x (a 1)y a 1 0平行，则a （ ▲ ）
A． 1或 2 B．1 或 2 C．1 D． 1
2 x
2 y2
．椭圆
m2
2 1焦距为（ ▲ ） 12 m 4
A．8 B．4 2 C．4 D．2 2
3．直线 l : x 3y 2 0，若 l1 l，则 l1的倾斜角是（ ▲ ）
A．150 B．120 C．60 D．30°
4．已知空间向量 a，b，c满足 a b c 0， a 1， b 2， c 7，则 a与b的夹
角为（ ▲ ）
A．90 B．60 C．45 D． 30°
5．已知圆C与直线 x y 3 0相切，直线mx y 1 0始终平分圆C的面积，则圆
C方程为（ ▲ ）
A． x2 y2 2y 1 B． x2 y2 2y 2
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C． x2 y2 2y 1 D． x2 y2 2y 2
6．由直线 y x 1 2上的点向圆 x 3 y2 1作切线，则切线长的最小值为（ ▲ ）
A． 7 B．3 C．2 2 D．1
7．如图，在棱长均相等的四面体O ABC中，点D为 AB
的中点，CE
1
ED，设
2 OA a，OB b，OC c，则OE
（ ▲ ）
1 1 1 1 1 1
A． a b c B 6 6 3 ．
a b b
3 3 3
1 a 1 b 2 c 1 1
C D a b
1
c ． ．
6 6 3 6 6 3
8．设m R，过定点 A 的动直线 x my 1 0和过定点 B 的动直线mx y 2m 3 0
交于点P x, y ，则 PA PB的最大值（ ▲ ）
A． 2 5 B．3 2 C．3 D．6
二、选择题，本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求，全部选对得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对得 2分.
9．下列说法错误的是（ ▲ ）
A．“ a 1”是“直线a2x y 1 0与直线 x ay 2 0互相垂直”的充要条件
B．经过点 (1,1)且在 x轴和 y轴上截距都相等的直线方程为 x y 2 0
y y1 x xC 1．过 x1, y1 ， x2 , y2 两点的所有直线的方程为 y2 y1 x2 x1
3 D ．直线 xsin y 2 0的倾斜角 的取值范围是 0, , 4 4
10．下列说法不正确的是（ ▲ ）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面.
B．直线 l的方向向量a 0,1, 1 ，平面 的法向量n 1, 1, 1 ，则 l ；
C．已知直线 l经过点 A 2,3,1 ，B 0,1,0 P 3则 ,3,2 5 到 l的距离为
2 4
D．若 a b 0，则 a,b 是钝角；
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11．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近
一点 P变轨进入以月球球心 F为一个焦点的椭圆轨道 I 绕月飞行，之
后卫星在点 P第二次变轨进入仍以 F为一个焦点的椭圆轨道 II 绕月
飞行，最终卫星在点 P第三次变轨进入以 F为圆心的圆形轨道 III 绕
月飞行，若用 2c1和2c2分别表示椭圆轨道 I 和 II 的焦距，用2a1和 2a2分
别表示椭圆轨道 I 和 II 的长轴长，则下列式子正确的是（ ▲ ）
c c
A． a1 c1 a2 c B a c
1 2
2 ． 1 1 a2 c2 C． c a a ca a D． 1 2 1 21 2
12．如图四棱锥P ABCD，平面 PAD 平面 ABCD，侧面 PAD是边长为 2 6的正
三角形，底面 ABCD为矩形，CD 2 3，点Q是 PD的中点，则下列结论正确的是
（ ▲ ）
A．CQ 平面 PAD
B．三棱锥 B ACQ的体积为 6 2
C．PC与平面 AQC 2 2所成角的余弦值为
3
D．四棱锥Q ABCD外接球的内接正四面体的表面积为 24 3
三、填空题，本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.
13．已知向量a 2,1,3 ,b 1,2,1 a ，若 a b ，则实数 的值为 ▲ .
14．直线 l与两条直线 x y 7 0, y 1分别交于P、Q两点，线段 PQ的中点为
1，-1 ，则直线 l的斜率为 ▲ .
x2 y215．已知椭圆C : 2 2 1 a b 0 的左顶点为A，上顶点为 B，右焦点为 F，a b
若 ABF 90 ，则椭圆C的离心率为 ▲ .
16．“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容
是这样的：如图， ABC的三条边长分别为 BC a， AC b，
AB c .延长线段CA至点 A1，使得 AA1 a，以此类推得到点
A2 ,B1,B2 ,C1和C2，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆.已知
a 4,b 3,c 5，则由 ABC生成的康威圆的半径为 ▲ .
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四、解答题（17 题 10 分，其它各题 12 分）
17．已知直线 l1 : x y 0， l2 : 2x y 3 0， l3 :ax 2y 4 0 .
（1）若点 P在 l1上，且到直线 l2的距离为3 5，求点 P的坐标；
（2）若 l2// l3，求 l2与 l3的距离.
18．如图，三棱柱 ABC A1B1C1中，底面边长和侧棱长都等于 1， BAA1 CAA1 60 ．
（1）设 AA1 a
，AB b，AC c，用向量a，b，c表示BC1，并求出 BC1的长度；
（2）求异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值．
19．如图所示， ABCD A1B1C1D1是棱长为 a的正方体，M是棱长 A1B1的中点，N是
棱 A1D1的中点.
（1）求直线 AN 与平面 BB1D1D所成角的正弦值；
（2）求B1到平面 ANC 的距离.
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x2 y2
20．已知椭圆C： 2 2 1(a b 0)的长轴长是短轴长的 2倍，且经过点 2,1 .a b
（1）求C的标准方程；
（2）C的右顶点为A，过C右焦点的直线 l与C交于不同的两点M ，N ，求 AMN
面积的最大值.
21．如图，直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，
E，M，N分别是 BC，BB1，A1D 的中点．
（1）证明：MN∥平面 C1DE；
（2）求二面角 A-MA1-N 的正弦值．
22．在平面直角坐标系 xOy 中，过点P 0,1 且互相垂直的两条直线分别与圆
O : x 2 2 2 y2 4 交于点 A，B，与圆M : x 2 y 1 1交于点 C，D．
3 7
（1）若 AB＝ ，求 CD 的长；
2
（2）若 CD 的中点为 E，求 ABE面积的取值范围．
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