【课后练习】人教A版 选择性必修二 5.1 第2课时 导数的几何意义（含解析）
文档属性
| 名称 | 【课后练习】人教A版 选择性必修二 5.1 第2课时 导数的几何意义（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 281.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-19 21:45:10 | ||
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文档简介
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5．1 导数的概念及其意义
第2课时 导数的几何意义
1．已知曲线y＝2x2上一点A(2，8)，则在点A处的切线的斜率为( )
A．4 B．16
C．8 D．2
2．曲线y＝f(x)在x＝1处的切线如图所示，则f′(1)－f(1)＝( )
A．0 B．－1
C．1 D．－
3．(2021·广东汕头市金山中学高三阶段检测)如果f′(x)是二次函数，且f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，)，那么曲线y＝f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是( )
A． B．
C． D．
4．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
5．(多选)下列各点中，在曲线y＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角为的是( )
A．(0，0) B．(1，－1)
C．(－1，1) D．(1，1)
6．已知曲线y＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则切点P的坐标为________．
7．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋bx2＋c相切于点M(1，2)，则实数b＝________．
8．设＝－2，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线的倾斜角是( )
A． B．
C． D．
9．已知曲线y＝上两点P(2，－1)，Q.
(1)求曲线在点P，Q处的切线的斜率；
(2)求曲线在点P，Q处的切线方程．
10．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求直线l2的方程．
11．(2021·广东广雅中学期中)已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是( )
A.a＜f′(2)＜f′(4) B．f′(2)＜a＜f′(4)
C．f′(4)＜f′(2)＜a D．f′(2)＜f′(4)＜a
12．(2021·安徽合肥一六八中学高三月考)已知函数f(x)＝x3－x，则曲线y＝f(x)过点(1，0)的切线条数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
13．已知函数y＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则a＝________，b＝________．
14．经测试，服药后人体血液中药物的质量浓度y(单位：μg/mL)是时间t(单位：min)的函数y＝f(t)，假设函数y＝f(t)在t＝10和t＝100处的导数分别为f′(10)＝1.5 和f′(100)＝－0.6，试解释它们的实际意义．
15．若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．
16．已知点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标．
参考答案与解析
1.解析：选C.k＝y′|x＝2＝ ＝8.
2.解析：选C.由直线经过点(0，－1)，(2，0)，可求出直线方程为：x－2y－2＝0，即y＝，
即y＝f(x)在x＝1处的切线．
所以f(1)＝＝－，f′(1)＝.
所以f′(1)－f(1)＝－＝1.
3.解析：选B.由题意可知，f′(x)＝a(x－1)2＋(a＞0).
设切点为(x0，y0)，所以切线的斜率k＝f′(x0)＝a(x0－1)2＋，所以k≥ ，所以tan α≥ .又α∈[0，π)，所以α∈.
4.解析：选A.设切点为(x0，y0)，
因为f′(x)＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x，
由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，
所以x0＝2.所以切点坐标为(2，4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故选A.
5.解析：选BC.设切点坐标为(x0，y0)，
则y′|x＝x0＝ eq \f(（x0＋Δx）3－2（x0＋Δx）－（x－2x0）,Δx)
＝3x－2＝tan ＝1，所以x0＝±1，当x0＝1时，y0＝－1.当x0＝－1时，y0＝1.所以该点为(1，－1)或(－1，1).
6.解析：设切点P的坐标为(x0，y0)，
由y′＝ ＝
＝ (4x＋2Δx)＝4x，得y′|x＝x0＝4x0.
根据题意得4x0＝8，解得x0＝2.
将x0＝2代入y＝2x2－7，得y0＝1.
故所求切点P的坐标为(2，1).
答案：(2，1)
7.解析：设y＝f(x)＝x3＋bx2＋c，则y′＝f′(x)
＝ ＝
＝
[3x2＋3xΔx＋(Δx)2＋2bx＋bΔx]＝3x2＋2bx，
由直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋bx2＋c相切于点M(1，2)，
则点M(1，2)满足直线y＝kx＋1的方程，即2＝k＋1，得k＝1，即y＝x＋1.由f′(x)＝3x2＋2bx，知f′(1)＝3＋2b＝1，解得b＝－1.
答案：－1
8.解析：选C.因为＝2f′(2)＝－2，所以f′(2)＝－1，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为－1，故所求切线的倾斜角为.
9.解：将点P(2，－1)代入y＝，
得t＝1，所以y＝.y′＝
＝
＝
＝ ＝.
(1)曲线在点P处的切线斜率为y′＝＝1；曲线在点Q处的切线斜率为y′＝＝.
(2)曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，
即x－y－3＝0；曲线在点Q处的切线方程为
y－＝[x－(－1)]，即x－4y＋3＝0.
10.解：因为y′＝
＝＝2x＋1，
所以y′|x＝1＝3，
所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3，
设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点P(x0，x＋x0－2)，
则直线l2的方程为y－(x＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0).
因为l1⊥l2，所以2x0＋1＝－，x0＝－，
所以直线l2的方程为3x＋9y＋22＝0.
11.解析：选B.根据题意，如图所示，设M(2，f(2))，N(4，f(4))，则f′(2) 为曲线在点M处切线的斜率，f′(4)为曲线在点N处切线的斜率，kMN＝＝a，则a为直线MN的斜率，结合图象可得f′(2)＜a＜f′(4).
12.解析：选B.设切点为P(x0，x－x0)，
所以切线的斜率k＝f′(x0)＝
＝ eq \f([（x0＋Δx）3－（x0＋Δx）]－（x－x0）,Δx)
＝ (Δx2＋3x0Δx＋3x－1)＝3x－1，
所以曲线在点P(x0，x－x0)处的切线方程为y－x＋x0＝(3x－1)(x－x0)，即y＝(3x－1)x－2x.
因为切线过点(1，0)，所以3x－1－2x＝0，
即2x－2x－x＋1＝0，
所以2x(x0－1)－(x0－1)(x0＋1)＝0，
所以(x0－1)(2x－x0－1)＝0，
所以x0＝1或x0＝－，所以切线有2条．
13.解析：由题意知a＋b＝3，
又y′|x＝1＝ ＝2a＝2，
所以a＝1，b＝2.
答案：1 2
14.解：f′(10)＝1.5表示服药后10 min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 μg/(mL·min).也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min，血液中药物的质量浓度将上升1.5 μg/mL.f′(100)＝－0.6表示服药后100 min 时，血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 μg/(mL·min).也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min，血液中药物的质量浓度将下降0.6 μg/mL.
15.解析：由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2，设y＝f(x)＝x2，由导数的几何意义知y′＝f′(x)＝ ＝2x＝1，解得x＝，所以P，故点P到直线y＝x－2的最小距离为d＝＝.
答案：
16.解：设P(x0，y0)，则y0＝x＋1，
f′(x0)＝ eq \f(（x0＋Δx）2＋1－（x＋1）,Δx) ＝2x0，
所以曲线在点P处的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x＋1－x，
而此直线与曲线y＝－2x2－1相切，
所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x0x＋1－x，,y＝－2x2－1)) 得2x2＋2x0x＋2－x＝0，
则Δ＝4x－8(2－x)＝0，
解得x0＝±，则y0＝，
所以点P的坐标为或.
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5．1 导数的概念及其意义
第2课时 导数的几何意义
1．已知曲线y＝2x2上一点A(2，8)，则在点A处的切线的斜率为( )
A．4 B．16
C．8 D．2
2．曲线y＝f(x)在x＝1处的切线如图所示，则f′(1)－f(1)＝( )
A．0 B．－1
C．1 D．－
3．(2021·广东汕头市金山中学高三阶段检测)如果f′(x)是二次函数，且f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，)，那么曲线y＝f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是( )
A． B．
C． D．
4．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
5．(多选)下列各点中，在曲线y＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角为的是( )
A．(0，0) B．(1，－1)
C．(－1，1) D．(1，1)
6．已知曲线y＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则切点P的坐标为________．
7．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋bx2＋c相切于点M(1，2)，则实数b＝________．
8．设＝－2，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线的倾斜角是( )
A． B．
C． D．
9．已知曲线y＝上两点P(2，－1)，Q.
(1)求曲线在点P，Q处的切线的斜率；
(2)求曲线在点P，Q处的切线方程．
10．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求直线l2的方程．
11．(2021·广东广雅中学期中)已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是( )
A.a＜f′(2)＜f′(4) B．f′(2)＜a＜f′(4)
C．f′(4)＜f′(2)＜a D．f′(2)＜f′(4)＜a
12．(2021·安徽合肥一六八中学高三月考)已知函数f(x)＝x3－x，则曲线y＝f(x)过点(1，0)的切线条数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
13．已知函数y＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则a＝________，b＝________．
14．经测试，服药后人体血液中药物的质量浓度y(单位：μg/mL)是时间t(单位：min)的函数y＝f(t)，假设函数y＝f(t)在t＝10和t＝100处的导数分别为f′(10)＝1.5 和f′(100)＝－0.6，试解释它们的实际意义．
15．若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．
16．已知点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标．
参考答案与解析
1.解析：选C.k＝y′|x＝2＝ ＝8.
2.解析：选C.由直线经过点(0，－1)，(2，0)，可求出直线方程为：x－2y－2＝0，即y＝，
即y＝f(x)在x＝1处的切线．
所以f(1)＝＝－，f′(1)＝.
所以f′(1)－f(1)＝－＝1.
3.解析：选B.由题意可知，f′(x)＝a(x－1)2＋(a＞0).
设切点为(x0，y0)，所以切线的斜率k＝f′(x0)＝a(x0－1)2＋，所以k≥ ，所以tan α≥ .又α∈[0，π)，所以α∈.
4.解析：选A.设切点为(x0，y0)，
因为f′(x)＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x，
由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，
所以x0＝2.所以切点坐标为(2，4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故选A.
5.解析：选BC.设切点坐标为(x0，y0)，
则y′|x＝x0＝ eq \f(（x0＋Δx）3－2（x0＋Δx）－（x－2x0）,Δx)
＝3x－2＝tan ＝1，所以x0＝±1，当x0＝1时，y0＝－1.当x0＝－1时，y0＝1.所以该点为(1，－1)或(－1，1).
6.解析：设切点P的坐标为(x0，y0)，
由y′＝ ＝
＝ (4x＋2Δx)＝4x，得y′|x＝x0＝4x0.
根据题意得4x0＝8，解得x0＝2.
将x0＝2代入y＝2x2－7，得y0＝1.
故所求切点P的坐标为(2，1).
答案：(2，1)
7.解析：设y＝f(x)＝x3＋bx2＋c，则y′＝f′(x)
＝ ＝
＝
[3x2＋3xΔx＋(Δx)2＋2bx＋bΔx]＝3x2＋2bx，
由直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋bx2＋c相切于点M(1，2)，
则点M(1，2)满足直线y＝kx＋1的方程，即2＝k＋1，得k＝1，即y＝x＋1.由f′(x)＝3x2＋2bx，知f′(1)＝3＋2b＝1，解得b＝－1.
答案：－1
8.解析：选C.因为＝2f′(2)＝－2，所以f′(2)＝－1，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为－1，故所求切线的倾斜角为.
9.解：将点P(2，－1)代入y＝，
得t＝1，所以y＝.y′＝
＝
＝
＝ ＝.
(1)曲线在点P处的切线斜率为y′＝＝1；曲线在点Q处的切线斜率为y′＝＝.
(2)曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，
即x－y－3＝0；曲线在点Q处的切线方程为
y－＝[x－(－1)]，即x－4y＋3＝0.
10.解：因为y′＝
＝＝2x＋1，
所以y′|x＝1＝3，
所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3，
设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点P(x0，x＋x0－2)，
则直线l2的方程为y－(x＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0).
因为l1⊥l2，所以2x0＋1＝－，x0＝－，
所以直线l2的方程为3x＋9y＋22＝0.
11.解析：选B.根据题意，如图所示，设M(2，f(2))，N(4，f(4))，则f′(2) 为曲线在点M处切线的斜率，f′(4)为曲线在点N处切线的斜率，kMN＝＝a，则a为直线MN的斜率，结合图象可得f′(2)＜a＜f′(4).
12.解析：选B.设切点为P(x0，x－x0)，
所以切线的斜率k＝f′(x0)＝
＝ eq \f([（x0＋Δx）3－（x0＋Δx）]－（x－x0）,Δx)
＝ (Δx2＋3x0Δx＋3x－1)＝3x－1，
所以曲线在点P(x0，x－x0)处的切线方程为y－x＋x0＝(3x－1)(x－x0)，即y＝(3x－1)x－2x.
因为切线过点(1，0)，所以3x－1－2x＝0，
即2x－2x－x＋1＝0，
所以2x(x0－1)－(x0－1)(x0＋1)＝0，
所以(x0－1)(2x－x0－1)＝0，
所以x0＝1或x0＝－，所以切线有2条．
13.解析：由题意知a＋b＝3，
又y′|x＝1＝ ＝2a＝2，
所以a＝1，b＝2.
答案：1 2
14.解：f′(10)＝1.5表示服药后10 min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 μg/(mL·min).也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min，血液中药物的质量浓度将上升1.5 μg/mL.f′(100)＝－0.6表示服药后100 min 时，血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 μg/(mL·min).也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min，血液中药物的质量浓度将下降0.6 μg/mL.
15.解析：由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2，设y＝f(x)＝x2，由导数的几何意义知y′＝f′(x)＝ ＝2x＝1，解得x＝，所以P，故点P到直线y＝x－2的最小距离为d＝＝.
答案：
16.解：设P(x0，y0)，则y0＝x＋1，
f′(x0)＝ eq \f(（x0＋Δx）2＋1－（x＋1）,Δx) ＝2x0，
所以曲线在点P处的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x＋1－x，
而此直线与曲线y＝－2x2－1相切，
所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x0x＋1－x，,y＝－2x2－1)) 得2x2＋2x0x＋2－x＝0，
则Δ＝4x－8(2－x)＝0，
解得x0＝±，则y0＝，
所以点P的坐标为或.
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