【课后练习】人教A版 选择性必修二 5.2　5.2.1　基本初等函数的导数（含解析）

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5．2　导数的运算
5．2.1　基本初等函数的导数
1．(多选)下列命题正确的是(　　)
A．(logax)′＝　　　　　 B．(logax)′＝
C．(3x)′＝3x ln 3 D．(ln x)′＝
2．若函数f(x)＝cos x，则f′＋f的值为(　　)
A．0 B．－1
C．1 D．2
3．已知f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，若f′(－1)＝－4，则α的值为(　　)
A．4 B．－4
C．5 D．－5
4．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为(　　)
A． B．－
C．－e D．e
5．若幂函数f(x)＝mxα的图象经过点A，则它在点A处的切线方程是(　　)
A．2x－y＝0 B．2x＋y＝0
C．4x－4y＋1＝0 D．4x＋4y＋1＝0
6．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时，P点的坐标为________．
7．已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，则c＝________．
8．若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值为________，切线方程为______________．
9．已知抛物线y＝x2，求过点且与抛物线相切的直线方程．
10．求曲线y＝与y＝x2在它们交点处的两曲线的切线与x轴所围成的三角形的面积．
11．(多选)直线y＝x＋b能作为下列函数图象的切线的有(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝x4
C．f(x)＝sin x D．f(x)＝ex
12．若曲线y＝xα＋1(α∈Q，且α≠0)在点(1，2)处的切线经过原点，则α＝________．
13．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 024(x)＝________．
14．求证：双曲线xy＝1上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．
15．函数y＝x2(x＞0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．
16．已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
参考答案与解析
1.解析：选CD.根据基本初等函数的导数公式知，(logax)′＝，(3x)′＝3x ln 3，(ln x)′＝.所以A，B均不正确，C，D正确．
2.解析：选A.因为f(x)＝cos x，所以f′(x)＝－sin x.
所以f′＋f＝－sin ＋cos ＝0.
3.解析：选A.f′(x)＝αxα－1，
f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4.
当α＝4时，α－1＝3，则f′(－1)＝－4成立．
当α＝－4时，f′(－1)＝4，与题意不符．
同理，α＝5和－5时，与题意也不符．
4.解析：选D.因为y′＝(ex)′＝ex，设切点坐标为(x0，y0)，所以k＝＝＝e x0，得x0＝1，所以k＝e.
5.解析：选C.因为函数f(x)＝mxα为幂函数，所以m＝1.又幂函数f(x)＝xα的图象经过点A，所以α＝，所以f(x)＝x，f′(x)＝，f′＝1，所以f(x)的图象在点A处的切线方程为y－＝x－，即4x－4y＋1＝0.
6.解析：y′＝3x2，因为k＝3，所以3x2＝3，所以x＝±1，则P点坐标为(－1，－1)或(1，1).
答案：(－1，－1)或(1，1)
7.解析：设切点为(x0，ln x0)，由y＝ln x得y′＝.
因为曲线y＝ln x在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，其斜率为1.所以y′|x＝x0＝＝1，
即x0＝1，所以切点为(1，0).
所以1－0＋c＝0，所以c＝－1.
答案：－1
8.解析：因为y′＝，所以切线方程为y－＝(x－a).令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝－a.由题意知··a＝2，所以a＝4.所以切线方程为y－2＝(x－4)，即x－4y＋4＝0.
答案：4　x－4y＋4＝0
9.解：设直线的斜率为k，直线与抛物线相切的切点坐标为(x0，y0)，则直线方程为y＋2＝k，
因为y′＝2x，所以k＝2x0，
又点(x0，x)在切线上，
所以x＋2＝2x0，
所以x0＝1或x0＝－2，则k＝2或k＝－4，
所以直线方程为y＋2＝2或y＋2＝－4，即2x－y－1＝0或4x＋y＋4＝0.
10.解：联立两条曲线方程
解得故交点坐标为(1，1).
因为k1＝＝2，
所以两条切线的方程分别为x＋y－2＝0，
2x－y－1＝0，与x轴所围成的图形如图(阴影部分)所示．
因为两条切线与x轴的交点分别为(2，0)，.
所以三角形的面积S＝××1＝.
11.解析：选BCD.函数f(x)＝，可得f′(x)＝－＝不成立，所以A不正确；
f(x)＝x4，f′(x)＝4x3＝可以成立，所以B正确；
f(x)＝sin x，f′(x)＝cos x＝可以成立，所以C正确；
f(x)＝ex，f′(x)＝ex＝可以成立，所以D正确；
故直线y＝x＋b能作为B，C，D中函数图象的切线，
故选BCD.
12.解析：由题知，y′＝αxα－1，所以y′|x＝1＝α，所以切线方程为y－2＝α(x－1)，即y＝αx－α＋2，因为该直线过点(0，0)，所以α＝2.
答案：2
13.解析：由已知得，f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f2 024(x)＝f4(x)＝sin x．
答案：sin x
14.证明：设P(x0，y0)为双曲线y＝上任一点，
因为y′＝＝－，
所以在点P处的切线方程为y－y0＝－) (x－x0).
令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝2x0.
则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝··|2x0|＝2.
即双曲线xy＝1上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2.
15.解析：因为y′＝2x，所以y＝x2(x＞0)的图象在点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak).
又该切线与x轴的交点坐标为(ak＋1，0)，
所以ak＋1＝ak，即数列{ak}是首项为a1＝16，公比为q＝的等比数列，所以a3＝4，a5＝1，所以a1＋a3＋a5＝21.
答案：21
16.解：不存在．理由如下：由于y1＝sin x，y2＝cos x，
设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，
所以两条曲线在P(x0，y0)处切线的斜率分别为k1＝y′1|x＝x0＝cos x0，k2＝y′2|x＝x0＝－sin x0.
若使两条切线互相垂直，
必须使cos x0·(－sin x0)＝－1，
即sin x0·cos x0＝1，
也就是sin 2x0＝2，
这是不可能的，所以不存在两条曲线的公共点，使在这一点处的两条曲线的切线互相垂直．
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