【课后练习】人教A版 选择性必修二 5.2 5.2.2 导数的四则运算法则（含解析）
文档属性
| 名称 | 【课后练习】人教A版 选择性必修二 5.2 5.2.2 导数的四则运算法则（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 225.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-19 21:47:49 | ||
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文档简介
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5．2 导数的运算
5．2.2 导数的四则运算法则
1．函数y＝x2sinx的导数为( )
A.y′＝2x＋cos x B．y′＝x2cos x
C.y′＝2x cos x D．y′＝2x sin x＋x2cos x
2．(多选)下列运算中正确的是( )
A.(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′
B.(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′
C.′＝
D.(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′
3．函数f(x)＝ex cos x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( )
A.0 B．
C.1 D．
4．设f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0＝( )
A.e2 B．e
C. D．ln 2
5．(2021·黑龙江大庆市第十中学高二月考)若函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，且f′(x)是f(x)的导函数，则f′(1)＝( )
A.24 B．－24
C.10 D．－10
6．(2020·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝.若f′(1)＝，则a＝________．
7．(2020·高考全国卷Ⅰ)曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．
8．(2021·江苏省苏州中学高三阶段性考试)水波的半径以0.5 m/s的速度向外扩张，当半径为25 m时，水波面积的膨胀率是________．
9．若曲线y＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．
10．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.
(1)求a，b的值；
(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
11．已知曲线f(x)＝在点(1，f(1))处切线的倾斜角为，则实数a＝( )
A.1 B．－1
C.7 D．－7
12．(2021·河南省罗山县四校联考)已知函数f(x)＝＋x3，其导函数为f′(x)，则f(2 020)＋f(－2 020)＋f′(2 021)－f′(－2 021)＝( )
A.1 B．2
C.3 D．4
13．已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则切线方程为__________，a＝________．
14．曲线y＝x ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是________．
15．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝________．
16．(2021·安徽师范大学附属中学高三阶段测试)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式．
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．
参考答案与解析
1.解析：选D.y′＝(x2sin x)′＝(x2)′·sin x＋x2·(sin x)′＝2x sin x＋x2cos x．
2.解析：选AD.A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确；B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，故错误；C项中，′＝，故错误；D项中，(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′，故正确．
3.解析：选B.对函数f(x)求导得f′(x)＝ex(cos x－sin x)，所以f′(0)＝1，所以函数f(x)＝ex cos x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为.
4.解析：选B.因为f(x)＝x ln x，所以f′(x)＝ln x＋1(x＞0)，由f′(x0)＝2，得ln x0＋1＝2，即ln x0＝1，解得x0＝e.
5.解析：选A.因为f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，所以f′(x)＝(x－1)′[(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]＋(x－1)[(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′＝(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋(x－1)[(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′，所以f′(1)＝(1－2)×(1－3)×(1－4)×(1－5)＝24.故选A.
6.解析：由于f′(x)＝，故f′(1)＝＝，解得a＝1.
答案：1
7.解析：设切点坐标为(x0，ln x0＋x0＋1).由题意得y′＝＋1，则该切线的斜率k＝|x＝x0＝＋1＝2，解得x0＝1，所以切点坐标为(1，2)，所以该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
答案：y＝2x
8.解析：因为水波的半径扩张速度为0.5 m/s，
故水波面积为S＝πr2＝π(vt)2＝πt2，
故水波面积的膨胀率为S′＝πt.
当水波的半径为25 m时，由vt＝25，解得t＝50，
即可得S′＝π×50＝25π.
答案：25π
9.解：因为y＝x2－ax＋ln x，所以y′＝2x－a＋，
由题意可知，存在实数x＞0使得2x－a＋＝0，
即a＝2x＋成立，所以a＝2x＋≥2(当且仅当2x＝，即x＝时等号成立).
所以a的取值范围是[2，＋∞).
10.解：(1)f(x)＝x3＋ax＋b的导数为f′(x)＝3x2＋a.
由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，
解得a＝1，b＝－16.
(2)因为切线与直线l：y＝－x＋3垂直，所以切线的斜率k＝4.
设切点坐标为(x0，y0)，由(1)可知f(x)＝x3＋x－16，所以f′(x)＝3x2＋1，则f′(x0)＝3x＋1＝4，所以x0＝±1.
由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14或y0＝－1－1－16＝－18，所以切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，
切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18，
即y＝4x－18或y＝4x－14.
11.解析：选C.因为f′(x)＝＝，又f′(1)＝tan ＝－1，即＝－1，所以a＝7.
12.解析：选C.f′(x)＝＋3x2，f′(－x)＝＋3(－x)2＝＋3x2＝f′(x)，
所以f′(x)为偶函数，所以f′(2 021)－f′(－2 021)＝0，
因为f(x)＋f(－x)＝＋x3＋－x3＝＋＝3，所以f(2 020)＋f(－2 020)＝3，
所以f(2 020)＋f(－2 020)＋f′(2 021)－f′(－2 021)＝3.
13.解析：由y＝x＋ln x，得y′＝1＋，
所以曲线在点(1，1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，
所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
此切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，所以
消去y，得ax2＋ax＋2＝0，
所以a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.
答案：y＝2x－1 8
14.解析：设曲线y＝x ln x在点(x0，y0)处的切线与直线x－y－2＝0平行．
因为y′＝ln x＋1，所以y′|x＝x0＝ln x0＋1＝1，解得x0＝1，所以y0＝0，即切点坐标为(1，0).
所以切点(1，0)到直线x－y－2＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝x ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是.
答案：
15.解析：因为f′(x)＝(x)′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.因为数列{an}为等比数列，所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8，所以f′(0)＝84＝212.
答案：212
16.(1)解：由7x－4y－12＝0，得y＝x－3.
当x＝2时，y＝，所以f(2)＝.①
又f′(x)＝a＋，所以f′(2)＝.②
由①②得解得故f(x)＝x－.
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x))) (x－x0)，即y－＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x))) (x－x0).
令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，从而切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0).
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
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5．2 导数的运算
5．2.2 导数的四则运算法则
1．函数y＝x2sinx的导数为( )
A.y′＝2x＋cos x B．y′＝x2cos x
C.y′＝2x cos x D．y′＝2x sin x＋x2cos x
2．(多选)下列运算中正确的是( )
A.(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′
B.(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′
C.′＝
D.(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′
3．函数f(x)＝ex cos x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( )
A.0 B．
C.1 D．
4．设f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0＝( )
A.e2 B．e
C. D．ln 2
5．(2021·黑龙江大庆市第十中学高二月考)若函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，且f′(x)是f(x)的导函数，则f′(1)＝( )
A.24 B．－24
C.10 D．－10
6．(2020·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝.若f′(1)＝，则a＝________．
7．(2020·高考全国卷Ⅰ)曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．
8．(2021·江苏省苏州中学高三阶段性考试)水波的半径以0.5 m/s的速度向外扩张，当半径为25 m时，水波面积的膨胀率是________．
9．若曲线y＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．
10．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.
(1)求a，b的值；
(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
11．已知曲线f(x)＝在点(1，f(1))处切线的倾斜角为，则实数a＝( )
A.1 B．－1
C.7 D．－7
12．(2021·河南省罗山县四校联考)已知函数f(x)＝＋x3，其导函数为f′(x)，则f(2 020)＋f(－2 020)＋f′(2 021)－f′(－2 021)＝( )
A.1 B．2
C.3 D．4
13．已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则切线方程为__________，a＝________．
14．曲线y＝x ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是________．
15．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝________．
16．(2021·安徽师范大学附属中学高三阶段测试)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式．
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．
参考答案与解析
1.解析：选D.y′＝(x2sin x)′＝(x2)′·sin x＋x2·(sin x)′＝2x sin x＋x2cos x．
2.解析：选AD.A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确；B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，故错误；C项中，′＝，故错误；D项中，(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′，故正确．
3.解析：选B.对函数f(x)求导得f′(x)＝ex(cos x－sin x)，所以f′(0)＝1，所以函数f(x)＝ex cos x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为.
4.解析：选B.因为f(x)＝x ln x，所以f′(x)＝ln x＋1(x＞0)，由f′(x0)＝2，得ln x0＋1＝2，即ln x0＝1，解得x0＝e.
5.解析：选A.因为f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，所以f′(x)＝(x－1)′[(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]＋(x－1)[(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′＝(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋(x－1)[(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′，所以f′(1)＝(1－2)×(1－3)×(1－4)×(1－5)＝24.故选A.
6.解析：由于f′(x)＝，故f′(1)＝＝，解得a＝1.
答案：1
7.解析：设切点坐标为(x0，ln x0＋x0＋1).由题意得y′＝＋1，则该切线的斜率k＝|x＝x0＝＋1＝2，解得x0＝1，所以切点坐标为(1，2)，所以该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
答案：y＝2x
8.解析：因为水波的半径扩张速度为0.5 m/s，
故水波面积为S＝πr2＝π(vt)2＝πt2，
故水波面积的膨胀率为S′＝πt.
当水波的半径为25 m时，由vt＝25，解得t＝50，
即可得S′＝π×50＝25π.
答案：25π
9.解：因为y＝x2－ax＋ln x，所以y′＝2x－a＋，
由题意可知，存在实数x＞0使得2x－a＋＝0，
即a＝2x＋成立，所以a＝2x＋≥2(当且仅当2x＝，即x＝时等号成立).
所以a的取值范围是[2，＋∞).
10.解：(1)f(x)＝x3＋ax＋b的导数为f′(x)＝3x2＋a.
由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，
解得a＝1，b＝－16.
(2)因为切线与直线l：y＝－x＋3垂直，所以切线的斜率k＝4.
设切点坐标为(x0，y0)，由(1)可知f(x)＝x3＋x－16，所以f′(x)＝3x2＋1，则f′(x0)＝3x＋1＝4，所以x0＝±1.
由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14或y0＝－1－1－16＝－18，所以切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，
切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18，
即y＝4x－18或y＝4x－14.
11.解析：选C.因为f′(x)＝＝，又f′(1)＝tan ＝－1，即＝－1，所以a＝7.
12.解析：选C.f′(x)＝＋3x2，f′(－x)＝＋3(－x)2＝＋3x2＝f′(x)，
所以f′(x)为偶函数，所以f′(2 021)－f′(－2 021)＝0，
因为f(x)＋f(－x)＝＋x3＋－x3＝＋＝3，所以f(2 020)＋f(－2 020)＝3，
所以f(2 020)＋f(－2 020)＋f′(2 021)－f′(－2 021)＝3.
13.解析：由y＝x＋ln x，得y′＝1＋，
所以曲线在点(1，1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，
所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
此切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，所以
消去y，得ax2＋ax＋2＝0，
所以a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.
答案：y＝2x－1 8
14.解析：设曲线y＝x ln x在点(x0，y0)处的切线与直线x－y－2＝0平行．
因为y′＝ln x＋1，所以y′|x＝x0＝ln x0＋1＝1，解得x0＝1，所以y0＝0，即切点坐标为(1，0).
所以切点(1，0)到直线x－y－2＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝x ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是.
答案：
15.解析：因为f′(x)＝(x)′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.因为数列{an}为等比数列，所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8，所以f′(0)＝84＝212.
答案：212
16.(1)解：由7x－4y－12＝0，得y＝x－3.
当x＝2时，y＝，所以f(2)＝.①
又f′(x)＝a＋，所以f′(2)＝.②
由①②得解得故f(x)＝x－.
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x))) (x－x0)，即y－＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x))) (x－x0).
令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，从而切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0).
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
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