【课后练习】人教A版 选择性必修二 5.2　5.2.3　简单复合函数的导数（含解析）

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5．2　导数的运算
5．2.3　简单复合函数的导数
1．(多选)下列函数是复合函数的是(　　)
A．y＝－x3－＋1　　　　
B．y＝cos
C．y＝
D．y＝(2x＋3)4
2．(2021·甘肃省临夏中学高二月考)函数y＝cos 2x＋sin 的导数为(　　)
A．－2sin 2x＋
B．2sin 2x＋
C．－2sin 2x＋
D．2sin 2x－
3．已知f(x)＝，则f′＝(　　)
A．－2－ln 2 B．－2＋ln 2
C．2－ln 2 D．2＋ln 2
4．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln (x＋a)相切，则a的值为(　　)
A．1 B．2
C．－1 D．－2
5．曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　)
A． B．
C． D．1
6．若y＝f(x)＝(2x＋a)2且f′(2)＝20，则a＝________．
7．函数y＝xe1－2x的导数为________．
8．点P是f(x)＝(x＋1)2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是________，此时点P的坐标为________．
9．质点M按规律s(t)＝(2t＋1)2做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在t＝2时的瞬时速度为____________m/s.
10．曲线y＝esin x在点(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
11．(多选)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值可以是(　　)
A． B．
C． D．
12．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝600·2－，则铯137含量M在t＝30时的瞬时变化率为(　　)
A．－10ln 2太贝克/年
B．300ln 2太贝克/年
C．－300ln 2太贝克/年
D．300太贝克/年
13．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝f′sin 3x＋cos 3x，则f′＝________．
14．已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln (－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．
15．若曲线y＝sin 2x＋cos2x在A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处的切线互相垂直，则|x1－x2|的最小值为(　　)
A．　　　　　　　 B．
C． D．π
16．已知线段AB的长为10米，在它的两个端点处各有一个光源，线段AB上的点P距光源A为x米，若点P受两个光源的总光照度I(x)＝＋，其单位为：勒克斯．
(1)当x从5变到8时，求点P处的总光照度关于点P与光源A的距离x的平均变化率，它代表什么实际意义？
(2)求I′(5)，并解释它的实际意义．
参考答案与解析
1.解析：选BCD.A中的函数是一个多项式函数；B中的函数可看作函数u＝x＋，y＝cos u的复合函数；C中的函数可看作函数u＝ln x，y＝的复合函数；D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数，故选BCD.
2.解析：选A.y′＝(cos 2x)′＋(sin )′＝－2sin 2x＋·cos .
3.解析：选D.方法一：依题意有f′(x)
＝
＝，
故f′＝＝2＋ln 2.
方法二：因为f(x)＝＝·，
所以f′(x)＝·，
所以f′＝·＝2＋ln 2.
4.解析：选B.设切点坐标为(x0，x0＋1)，依题意有解得x0＝－1，a＝2.
5.解析：选A.依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2，所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y＝－2x＋2.当y＝0时，x＝1.
由解得x＝y＝，所以A，
所以围成的三角形的面积为××1＝.
6.解析：令u＝2x＋a，则y′x＝y′u·u′x＝(u2)′(2x＋a)′＝4(2x＋a)，则f′(2)＝4(2×2＋a)＝20，所以a＝1.
答案：1
7.解析：y′＝x′·e1－2x＋x·(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x·(1－2x)′＝e1－2x－2xe1－2x＝(1－2x)e1－2x.
答案：y′＝(1－2x)e1－2x
8.解析：与直线y＝x－1平行的f(x)＝(x＋1)2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最短．
设切点为P(x0，y0)，
则f′(x0)＝2(x0＋1)＝1，
所以x0＝－，y0＝.
即P到直线y＝x－1的距离最短．
所以d＝＝.
答案：　
9.解析：因为s(t)＝(2t＋1)2，所以s′(t)＝2(2t＋1)·2＝8t＋4，则质点M在t＝2时的瞬时速度为s′(2)＝8×2＋4＝20(m/s).
答案：20
10.解：因为y＝esin x，
所以y′＝esin xcos x，
所以y′|x＝0＝1.
所以曲线y＝esin x在点(0，1)处的切线方程为
y－1＝x，即x－y＋1＝0.
又直线l与x－y＋1＝0平行，
故直线l可设为x－y＋m＝0.
由＝得m＝－1或m＝3.
所以直线l的方程为x－y－1＝0或x－y＋3＝0.
11.解析：选CD.因为y＝，
所以y′＝＝＝.
因为ex＞0，所以ex＋≥2(当且仅当x＝0时取等号)，
所以y′∈[－1，0)，
所以tan α∈[－1，0).
又因为α∈[0，π)，
所以α∈，选CD.
12.解析：选A.依题意，M(t)＝600·2－，
所以M′(t)＝－×600×2－ln 2＝－20×2－ln 2，
所以铯137含量M在t＝30时的瞬间变化率为M′(30)＝－20×2－1ln 2＝－10 ln 2太贝克/年，故选A.
13.解析：因为f(x)＝f′sin 3x＋cos 3x，
所以f′(x)＝f′·3cos 3x－3sin 3x，
令x＝可得f′＝f′×3cos －3sin
＝f′－3×，解得f′＝3.
答案：3
14.解析：设x>0，则－x<0，f(－x)＝ln x－3x，
又f(x)为偶函数，
所以当x>0时，f(x)＝ln x－3x，
f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，
所以切线方程为y＝－2x－1.
答案：y＝－2x－1
15.解析：选B.因为y＝sin 2x＋cos2x＝sin2x＋×＝sin ＋，
所以y′＝cos .
所以曲线的切线斜率在[－1，1]范围内，又曲线在两点处的切线互相垂直，
故在A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处的切线斜率必须一个是1，一个是－1.
不妨设在A点处切线的斜率为1，
则有2x1＋＝2k1π(k1∈Z)，
2x2＋＝2k2π＋π(k2∈Z)，
则可得x1－x2＝(k1－k2)π－
＝kπ－(k∈Z)，
所以|x1－x2|min＝，故选B.
16.解：(1)当x从5变到8时，点P处的总光照度关于点P与光源A的距离x的平均变化率为
＝＝＝0.005(勒克斯/米)，
它表示点P与光源A的距离从5米增加到8米的过程中，距离每增加1米，光照度平均增强0.005勒克斯．
(2)由I(x)＝＋，
得I′(x)＝8×(－2·x－3)＋(－2)×(10－x)－3×(－1)＝－＋.
从而I′(5)＝－＋＝－＝－0.112(勒克斯/米).
它表示点P与光源A距离5米时，点P受两个光源总光照度减弱的瞬时速度为0.112勒克斯/米．
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