【课后练习】人教A版 选择性必修二 5.3　5.3.1　函数的单调性（含解析）

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5．3　导数在研究函数中的应用
5．3.1　函数的单调性
1．(2021·重庆一中高二月考)已知函数f(x)＝，则f(x)(　　)
A．在(0，1)上单调递增
B．在(1，2)上单调递增
C．在(－∞，1)上单调递减
D．在(0，＋∞)上单调递减
2．(2021·金安高二检测)函数f(x)＝x－2sin x＋1在(0，π)上的单调递增区间是(　　)
A． B．
C． D．
3．若函数y＝a(x3－x)在上单调递减，则a的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．(－1，0)
C．(1，＋∞) D．(0，1)
4．已知函数y＝f(x)在[－4，6]内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为(　　)
A．∪
B．[－3，0]∪
C．∪
D．[－4，－3]∪[0，1]∪[5，6]
5．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0，1)上单调递减，函数g(x)＝x2－a ln x在(1，2)上单调递增，则a＝(　　)
A．1 B．2
C．0 D．
6．已知函数f(x)＝kex－1－x＋x2(k为常数)，曲线y＝f(x) 在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，则f(x)的单调递增区间为________．
7．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a为常数)在区间(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，且在区间(0，2)上单调递减，则a的值为________．
8．若函数f(x)＝(x2＋mx)ex的单调递减区间是，则实数m的值为________，函数f(x)的单调递增区间是________．
9．试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间．
10．(2021·张家界民族中学高二月考)已知函数f(x)＝x＋2a ln x.
(1)若f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线与直线2x＋y－1＝0垂直，求实数a的值；
(2)若g(x)＝＋f(x)在[1，2]上单调递减，求实数a的取值范围．
11．(2021·福建省福州华侨中学期中)若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．
C．[1，2) D．
12．(多选)若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中具有M性质的为(　　)
A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－x
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝x2＋2
13．若函数f(x)＝kx－ln x＋在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是____________．
14．(2021·山东省实验中学高三诊断)已知函数f(x)＝ax＋＋(1－a)ln x.
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)若a≤0，讨论函数f(x)的单调性．
15．(多选)已知f(x)为(0，＋∞)上的可导函数，且(x＋1)·f′(x)>f(x)，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．3f(4)<4f(3) B．4f(4)>5f(3)
C．3f(3)<4f(2) D．3f(3)>4f(2)
16．已知函数f(x)＝ln x－.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)求证：当x>1时，f(x)参考答案与解析
1.解析：选A.f′(x)＝，
令f′(x)＝0得x＝1，
所以f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故选A.
2.解析：选D.f(x)＝x－2sin x＋1，
令f′(x)＝1－2cos x>0，
即cos x<，因为x∈(0，π)，所以故f(x)在(0，π)上的单调递增区间为.
3.解析：选A.y′＝a(3x2－1)＝3a，
当－要使y＝a(x3－x)在上单调递减，
只需y′<0(y′＝0即a＝0，显然不符合题意)，故a>0.
4.解析：选A.不等式f′(x)≤0的解集即函数y＝f(x)的单调递减区间，由题图知y＝f(x)的单调递减区间为，，故f′(x)≤0的解集为∪.
5.解析：选B.因为函数f(x)＝x2－ax＋3在(0，1)上单调递减，
所以≥1，解得a≥2.
g′(x)＝2x－，
依题意得，g′(x)≥0在(1，2)上恒成立，
即2x2≥a在(1，2)上恒成立，故a≤2.
所以a＝2.
6.解析：由题知，f′(x)＝kex－1－1＋x，
因为曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，
所以f′(0)＝k·e－1－1＝0，
解得k＝e，故f′(x)＝ex＋x－1.
令f′(x)>0，
解得x>0，故f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).
答案：(0，＋∞)
7.解析：由题意得f′(x)＝6x2＋2ax＝0的两根为0和2，可得a＝－6.
答案：－6
8.解析：由题知，f′(x)＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex，
因为f(x)的单调递减区间是，
所以f′(x)＝0的两个根分别为x1＝－，x2＝1，
即
解得m＝－.令f′(x)>0，解得x<－或x>1.所以f(x)的单调递增区间为，(1，＋∞).
答案：－　，(1，＋∞)
9.解：函数f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝k－＝.
当k≤0时，kx－1<0，
所以f′(x)<0，
则f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
当k>0时，由f′(x)<0，
即<0，解得0由f′(x)>0，即>0，解得x>.
所以当k>0时，f(x)的单调递减区间为，
单调递增区间为.
综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；
当k>0时，f(x)的单调递减区间为，
单调递增区间为.
10.解：(1)因为f(x)＝x＋2a ln x，
所以f′(x)＝1＋，
依题意可得f′(2)＝1＋a＝，
所以a＝－.
(2)g(x)＝＋f(x)＝＋x＋2a ln x，
g′(x)＝－＋1＋，
依题意可得g′(x)＝－＋1＋≤0在[1，2]上恒成立，且g(x)的定义域为(0，＋∞)，
所以2a≤－x在[1，2]上恒成立，
因为y＝－x在[1，2]上单调递减，
所以y＝－x∈[－1，1]，
所以2a≤－1，即a≤－.
11.解析：选B.由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－.
方法一：令f′(x)＝0，解得x＝－(舍去)或x＝，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)在上单调递减，
当x∈时，f′(x)>0，f(x)在上单调递增．
又(k－1，k＋1) (0，＋∞)且f(x)在(k－1，k＋1)上不是单调函数，
所以
解得1≤k<.
故实数k的取值范围是.
方法二：当k＝1时，区间(k－1，k＋1)为(0，2)，
此时当x∈时，f′(x)<0，
即函数f(x)在上单调递减；
当x∈时，f′(x)>0，
函数f(x)在上单调递增，满足题意．
当k≠1时，因为函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，
所以f′(x)在区间(k－1，k＋1)上有正也有负，
即f′(k－1)f′(k＋1)<0.
又f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以解得1综上，实数k的取值范围是.
12.解析：选AD.对于A，exf(x)＝ex·2－x＝，
在R上单调递增，故A符合要求；
对于B，exf(x)＝ex·3－x＝，
在R上单调递减，故B不符合要求；
对于C，exf(x)＝ex·x3，
故[exf(x)]′＝(ex·x3)′＝ex·(x3＋3x2)，
显然函数exf(x)＝ex·x3在R上不单调，
故C不符合要求；
对于D，exf(x)＝ex·(x2＋2)，
故[exf(x)]′＝[ex·(x2＋2)]′＝ex·(x2＋2x＋2)＝ex·[(x＋1)2＋1]>0，
故函数exf(x)＝ex·(x2＋2)在R上单调递增，故D符合要求．
综上，具有M性质的函数为AD.
13.解析：由f(x)＝kx－ln x＋知，f′(x)＝k－－，
因为f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，
即k－－≥0，
则k≥＋在(1，＋∞)上恒成立，
令g(x)＝＋，
因为g′(x)＝－－<0在(1，＋∞)上恒成立，
所以g(x)在(1，＋∞)上单调递减，
则g(x)答案：[2，＋∞)
14.解：(1)当a＝2时，f(x)＝2x＋－ln x，
f′(x)＝2－－，又f′(1)＝0，f(1)＝3，
所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝3.
(2)f′(x)＝a－＋＝＝(x>0)，
①当a＝0时，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；
②当－1③当a＝－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
④当a<－1时，f(x)在和(1，＋∞)上单调递减，在上单调递增．
15.解析：选BD.由(x＋1)f′(x)>f(x)，
得(x＋1)f′(x)－f(x)>0，令g(x)＝，
则g′(x)＝>0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以g(2)即4f(2)<3f(3)，5f(3)<4f(4)，故选BD.
16.(1)解：f′(x)＝－x＋1＝，x∈(0，＋∞).
由f′(x)>0得
解得0故f(x)的单调递增区间是.
(2)证明：令F(x)＝f(x)－(x－1)，x∈(0，＋∞).
则F′(x)＝.当x∈(1，＋∞)时，F′(x)<0，
所以F(x)在(1，＋∞)上单调递减，
故当x>1时，F(x)即当x>1时，f(x)21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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