【课后练习】人教A版 选择性必修二 5.3　5.3.2　第1课时　函数的极值（含解析）

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5．3　导数在研究函数中的应用
5．3.2　函数的极值与最大(小)值
第1课时　函数的极值
1．(多选)定义在区间上的函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)在区间[0，4]上单调递增
B．函数f(x)在x＝1处取得极大值
C．函数f(x)在区间上单调递减
D．函数f(x)在x＝0处取得极小值
2．已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　)
A．－4 B．－2
C．4 D．2
3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1，2) B．(－3，6)
C．(－∞，－3)∪(6，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
4．(2021·平顶山高二检测)函数f(x)＝－x2－2ln x＋5x的极大值是(　　)
A．6－ln 2 B．6－ln 4
C．＋ln 4 D．
5．函数y＝xe－x的极大值为____________．
6．已知函数f(x)＝x(x－c)2－1在x＝2处有极小值，则实数c的值为____________．
7．f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．
8．若函数f(x)＝x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是________．
9．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，求f(x)的单调区间与极值．
10．已知函数f(x)＝x2－2ln x，h(x)＝x2－x＋a.
(1)求函数f(x)的极值．
(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．
11．(2021·湖北省六校高三联考)已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1，0)，则下列关于f(x)的极值说法正确的是(　　)
A．极大值为，极小值为0
B．极大值为0，极小值为－
C．极小值为－，极大值为0
D．极小值为0，极大值为
12．(2021·荆州高二检测)若函数f(x)＝(x－a)3－3x＋b的极大值为M，极小值为N，则M－N(　　)
A．与a有关，且与b有关 B．与a无关，但与b有关
C．与a无关，且与b无关 D．与a有关，但与b无关
13．若函数f(x)＝x3－3ax＋1在区间(0，1)内有极小值，则a的取值范围为________．
14．若函数f(x)＝a ln x－ex有极值点，则实数a的取值范围是________．
15．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________．
16．(2021·河北石家庄二中高二月考)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1在x＝3处的切线方程为y＝5x－8.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若关于x的方程f(x)＝kex(其中e为自然对数的底数)恰有两个不同的实数根，求实数k的值．
参考答案与解析
1.解析：选ACD.结合导数与函数单调性的关系可知，当－≤x＜0时，f′(x)＜0，则函数单调递减，当0≤x≤4时，f′(x)≥0，此时函数单调递增，故当x＝0时，函数取得极小值，没有极大值，故选ACD.
2.解析：选D.因为f(x)＝x3－12x，所以f′(x)＝3x2－12，
令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；当x∈(－2，2)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，
所以f(x)的极小值点为a＝2.
3.解析：选C.由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6＝0有两个不相等的根，所以Δ＝4a2－12(a＋6)>0，解得a>6或a<－3.故选C.
4.解析：选B.由题知，函数的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝－2x－＋5＝
＝，
令f′(x)＝＝0，
解得x1＝，x2＝2.
当x∈时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，所以函数f(x)＝－x2－2ln x＋5x的极大值为f(2)＝6－2ln 2＝6－ln 4.
5.解析：令y＝f(x)＝xe－x，
则f′(x)＝e－x－xe－x＝e－x(1－x).
所以当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.
所以当x＝1时，函数f(x)有极大值为.
答案：
6.解析：由题可得，f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)·(3x－c).
因为函数f(x)＝x(x－c)2－1在x＝2处有极小值，
所以f′(2)＝(2－c)(6－c)＝0，解得c＝2或c＝6，
当c＝6时，f′(x)＝(x－6)(3x－6)＝3(x－2)(x－6)，函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，6)上单调递减，即函数f(x)在x＝2处有极大值，不满足，舍去；
当c＝2时，f′(x)＝(x－2)(3x－2)，函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，在上单调递减，即函数f(x)在x＝2处有极小值，满足，所以c＝2.
答案：2
7.解析：因为x＝2是f(x)的极大值点，
又f(x)＝x(x2－2cx＋c2)，
所以f′(x)＝x(2x－2c)＋x2－2cx＋c2＝3x2－4cx＋c2.
所以f′(2)＝c2－8c＋12＝0.
得c＝2或c＝6.
当c＝2时，f′(x)＝3x2－8x＋4＝(x－2)(3x－2)，
令f′(x)＝0，解得x＝2或x＝，当2时，f′(x)>0.所以f(x)在x＝2处取得极小值，不符合题意，应舍去．当c＝6时，经验证符合题意．故c＝6.
答案：6
8.解析：因为f(x)＝x3－4x＋4，
所以f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2).
令f′(x)＝0，解得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以当x＝－2时，函数取得极大值f(－2)＝.
当x＝2时，函数取得极小值f(2)＝－.
且f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．
根据函数单调性、极值的情况，它的图象大致如图所示，
结合图象知－答案：
9.解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x (－∞，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减 极小值 单调递增
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，
单调递增区间是(ln 2，＋∞).
故f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)，无极大值．
10.解：(1)f(x)的定义域是(0，＋∞).
令f′(x)＝2x－＝0，解得x＝1.
当x∈(0，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以f(x)在x＝1处取得极小值，又f(1)＝1，
所以f(x)的极小值为1，无极大值．
(2)k(x)＝f(x)－h(x)＝x－2ln x－a(x>0)，
所以k′(x)＝1－，
令k′(x)>0，得x>2，令k′(x)<0，得0所以k(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．
要使函数k(x)在[1，3]上恰有两个不同零点，
则需即
解得2－2ln 211.解析：选A.由题意知，函数f(x)＝x3－px2－qx，
则f′(x)＝3x2－2px－q，
因为函数f(x)的图象与x轴切于点(1，0)，
则f′(1)＝3－2p－q＝0，
且f(1)＝1－p－q＝0，
联立方程组
解得p＝2，q＝－1，即f(x)＝x3－2x2＋x，
则f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，令f′(x)＝0，解得x＝或x＝1.
当x∈时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以函数f(x)的极大值为f＝，
极小值为f(1)＝0，故选A.
12.解析：选C.f′(x)＝3(x－a)2－3，令f′(x)＝0，
解得x＝a－1，或x＝a＋1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x (－∞，a－1) a－1 (a－1，a＋1) a＋1 (a＋1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
因此，函数f(x)在x＝a＋1处取得极小值，
函数f(x)在x＝a－1处取得极大值，
故M－N＝f(a－1)－f(a＋1)＝－1－3(a－1)＋b－1＋3(a＋1)－b＝4，为定值，故与a，b均无关．
13.解析：f′(x)＝3x2－3a.当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在区间 (0，1)上单调递增，无极值．
当a>0时，令f′(x)>0，解得x>或x<－.
令f′(x)<0，解得－若f(x)在(0，1)内有极小值，则0<<1.
解得0答案：(0，1)
14.解析：因为函数f(x)＝a ln x－ex，x∈(0，＋∞)，
所以f′(x)＝－ex，
①当a≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，无极值点，
②当a>0时，根据y＝与y＝ex的图象，
如图所示，
设两个函数在第一象限的交点的横坐标为x0，
当x∈(0，x0)时，>ex，f′(x)>0，函数f(x)在区间(0，x0)上单调递增；
当x∈(x0，＋∞)时，函数f(x)在(x0，＋∞)上单调递减，
所以当a>0时，函数f(x)有一个极大值点．
答案：(0，＋∞)
15.解析：因为f′(x)＝3x2＋2x－a，
函数f(x)在区间(－1，1)上恰有一个极值点，
即f′(x)＝0在(－1，1)内恰有一个根．
又函数f′(x)＝3x2＋2x－a的对称轴为x＝－，
所以应满足即
解得1≤a<5.
答案：[1，5)
16.解：(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋1，
所以f′(x)＝2ax＋b.
依题意，有即解得
所以f(x)＝x2－x＋1.
(2)方程f(x)＝kex，即x2－x＋1＝kex，
可化为k＝.
设g(x)＝，则g′(x)＝.
令g′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝2.
当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如表：
x (－∞，1) 1 (1，2) 2 (2，＋∞)
g′(x) － 0 ＋ 0 －
g(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
所以当x＝1时，g(x)取极小值；
当x＝2时，g(x)取极大值.
当x→＋∞时，g(x)→0，且g(x)>0；
当x→－∞时，g(x)→＋∞，
可知当k＝或k＝时，它们有两个不同的交点，因此方程f(x)＝kex恰有两个不同的实数根．
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