人教版数学九年级上册24.2.2直线与圆的位置关系--切线长定理课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
第二十四章 圆
24.2.2直线与圆的位置关系
切线长定理
1. 了解切线长
2. 探究切线长定理
学习目标：
问题1、经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？
·O
·O
·O
P ·
P·
P·
A
问题2、经过圆外一点P，如何作已知⊙O的
切线？
课前准备
O
。
A
B
P
思考：假设切线PA已作出，A为切点，则∠OAP=90°,连接OP，可知A在怎样的圆上
问题2、经过圆外一点P，如何作已知⊙O的切线？
过⊙O外一点作⊙O的切线
O
·
P
A
B
O
已知⊙O 和⊙O 外一点 P，能够过点 P 画出⊙O
的两条切线。
A
B
切线长
切线长
切线长
P

一、切线长定义
经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
·
O
P
A
B
切线与切线长的区别与联系：
（1）切线是一条与圆相切的直线；
（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。
定理形成
若从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论。
A
P
O
。
B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
试用文字语言叙述你所发现的结论
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
二、切线长定理
A
P
O
。
B
几何语言:
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提 供了新的方法
我们学过的切线，常有 五个 性质：
1、切线和圆只有一个公共点；
2、切线和圆心的距离等于圆的半径；
3、切线垂直于过切点的半径；
4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
六个
A
P
O
。
B
M
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论 并给出证明.
OP垂直平分AB
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线
∴OP垂直平分AB
A
P
O
。
B
若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论 并给出证明.
CA=CB
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB
∴PC=PC
∴ △PCA ≌ △PCB ∴AC=BC
C
。
P
B
A
O
（3）连结圆心和圆外一点
（2）连结两切点
（1）分别连结圆心和切点
反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。
例2.如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，
并与圆O的切线分别相交于C、D，已知
PA=7cm，
(1)求△PCD的周长．
(2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数
C
· O
P
B
D
A
E
1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
小 结：
A
P
O
。
B
E
C
D
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。
2.圆的外切四边形的两组对边的和相等
1、如图，P是⊙○外一点，PA，PB分别和⊙○切于A，B两点，C是弧AB上任意一点，过C作⊙○的切线分别交PA，PB于点D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（ ）
A. 12 B. 6 C. 8 D. 4
巩固练习
B
20 °
4
110 °
A
2.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= ,PB= .
B
P
O
A
第2题
3.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= .
B
C
O
第3题
4.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B,∠P= 50 °，点C是⊙O上异于A、B的点，则∠ACB= .
65 °或115 °
B
P
O
A
第4题
5.△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D、E、F三点，如图，已知AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长是 .
A
B
C
F
E
D
O
第5题
30
6、已知： 线段PA,PB切⊙O于点A，B，连接OP
求证：（1）PA=PB（2）∠APO=∠BPO
P
O
A
B
在Rt△ PAO和 Rt△ PBO中
∴△PAO ≌ △PBO（HL）
∴PA=PB
∴∠APO=∠BPO
证明：连接OA，OB
∵PA，PB为⊙O的切线
∴PA⊥OA，PB⊥OB
∠PAO=∠PBO=90°
OA=OB
OP=OP
1、试说明圆的外切四边形的两组
对边的和相等．
拓展提高
·
A
B
C
E
D
F
O
2、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b, AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求：Rt△ABC的内切圆的半径 r.
设AD= x , BE= y ,CE＝ r
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
则有
x＋r＝b
y＋r＝a
x＋y＝c
解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。
解得
r＝
a＋b－c
2
谢谢！