2021-2022学年冀教版八年级数学上册第17章特殊三角形单元达标测试题(word解析版)

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《第17章特殊三角形》单元达标测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．使两个直角三角形全等的条件是（　　）
A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条边对应相等
2．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（　　）
A．8 B．9 C．10或12 D．11或13
3．如图，在等腰△ABC中，∠A＝36°，BD平分∠B交AC于点D，则∠BDC等于（　　）
A．36° B．60° C．72° D．90°
4．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是（　　）
A．30° B．60° C．150° D．30°或150°
5．已知顶角为36°，90°，108°，°四个等腰三角形都可以用一条直线把这四个等腰三角形每个都分割成两个小的等腰三角形．那么这四个等腰三角形里有几个等腰三角形可以用两条直线把这个等腰三角形分割成三个小的等腰三角形（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC边上，∠ABD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，则图中共有等腰三角形的个数是（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
7．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，则∠1与∠B的关系是（　　）
A．互余 B．互补 C．相等 D．不确定
8．一张折叠型方桌子如图甲，其主视图如乙，已知AO＝BO＝50cm，CO＝DO＝30cm，现将桌子放平，要使桌面a距离地面m为40cm高，则两条桌腿需要叉开的角度∠AOB为（　　）
A．150° B．约105° C．120° D．90°
9．如图，以和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取，则AD的长是下列哪一个关于x的方程的根（　　）
A．x2+ax＝b2 B．x2+2ax＝b2 C．x2﹣ax＝b2 D．x2﹣2ax＝b2
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝，则BC的长为（　　）
A．﹣1 B．+1 C．﹣1 D．+1
二．填空题（共5小题，满分20分）
11．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；
再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；
再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝　 　．
12．线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有　 　个
直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形
直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形
直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形
直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形
直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形
直线l上恰好只有个6点P，使△ABP为等腰三角形．
13．如图，在△ABC中，AC＝BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为　 　个．
14．已知Rt△ABC，AC＝BC，点E、F在AB上，且∠ECF＝45°，当AF BE＝36时，△ABC的面积为　 　．
15．等腰△ABC的底边BC＝8cm，腰长AB＝5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为 　 　秒．
三．解答题（共7小题，满分60分）
16．如图，△ABC中，∠ABC＝∠BAC＝45°，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E，已知DC＝2，求BE的长．
17．已知一等腰三角形的两边长x，y满足方程组，求这个等腰三角形的周长．
18．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠1＝∠B．求证：△ABC是直角三角形．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若点P从B点出发以2cm/秒的速度向A点运动，点Q从A点出发以1cm/秒的速度向C点运动，设P、Q分别从B、A同时出发，运动时间为t秒．解答下列问题：
（1）用含t的代数式表示线段AP，AQ的长；
（2）当t为何值时△APQ是以PQ为底的等腰三角形？
（3）当t为何值时PQ∥BC？
20．在一次数学课上，周老师在屏幕上出示了一个例题：
在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，画出图形（如图），
给出下列四个条件：①∠DBO＝∠ECO；②∠BDO＝∠CEO；③BD＝CE；④OB＝OC．
（1）要求同学从这四个等式中选出两个作为已知条件，可判定△ABC是等腰三角形．
请你用序号在横线上写出所有情形．答：　 　；
（2）选择第（1）题中的一种情形，说明是△ABC等腰三角形的理由，并写出解题过程．解：
21．如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．
22．如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．
（1）求C点的坐标；
（2）如图2，OA＝2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为直角顶点，PA为腰向右作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故A选项错误；
B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故B选项错误；
C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故C选项错误；
D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故D选项正确．
故选：D．
2．解：①腰长为3，则底边长为5，周长＝3+3+5＝11；
②腰长为5，底边长为3，则周长＝5+5+3＝13．
则三角形的周长是11或13．
故选：D．
3．解：∵在等腰△ABC中，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180﹣36）＝72°，
∵BD平分∠B交AC于点D，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠B＝×72＝36°
∴∠BDC＝180﹣36﹣72＝72°．
故选：C．
4．解：①当为锐角三角形时可以画图，
高与左边腰成60°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为30°，
②当为钝角三角形时可画图，
此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，
由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为30°，
∴三角形的顶角为150°，
故选：D．
5．解：如图，在1中，三个小等腰三角形的度数分别为：36°，36°108°；36°，36°，108°；72°，72°，36°；
在2中，三个小等腰三角形的度数均为：45°，45°，90°；
在3中，三个小等腰三角形的度数分别为：36°，36°108°；36°，36°，108°；72°，72°，36°；
在4中，三个小等腰三角形的度数分别为：；；，，．
故选：D．
6．解：∵AB＝AC，∠ABC＝36°，
∴∠BAC＝108°，
∴∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，
∴等腰三角形△ABC，△ABD，△ADE，△ACE，△ACD，△ABE，共有6个．
故选：C．
7．解：∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠1＝∠B．
故选：C．
8．解：作DE⊥AB于E．
∵AD＝50+30＝80cm，DE＝40cm，
∴∠DAB＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
故选：C．
9．解：设AD＝x，
根据勾股定理得：（x+）2＝b2+（）2，
整理得：x2+ax＝b2
故选：A．
10．解：∵∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠B＝∠DAB，
∴DB＝DA＝，
在Rt△ADC中，
DC＝＝＝1；
∴BC＝+1．
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分20分）
11．解：由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，
则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…，
∵∠BOC＝9°，
∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°，∠A4A3C＝45°，…，
∴9°n＜90°，
解得n＜10．
由于n为整数，故n＝9．
故答案为：9．
12．解：要使△APB是等腰三角形，分为三种情况：
①如图1所示：
∵AP＝BP（即作AB的垂直平分线于直线的交点，即有一个点），
∴直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形，正确；
②如图2所示：当AB⊥直线l（垂足为A或B）时，AB＝AP，
即直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形，正确；
③如图3所示：
AP′＝AB＝BP″，AP＝BP，
直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形，正确；
④如图4所示：
BP1＝AB＝BP2，AB＝AP3＝AP4（分别以A、B为圆心，以AB为半径画弧，分别交直线于两点）
即直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形，正确；
直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形，正确；
∵1+2+2＝5，
∴直线l上恰好只有个6点P，使△ABP为等腰三角形，错误；
故答案为：5．
13．解：如图所示，作AB的垂直平分线，①△ABC的外心P1为满足条件的一个点，
②以点C为圆心，以AC长为半径画圆，P2、P3为满足条件的点，
③分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，P4为满足条件的点，
④分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，P5、P6为满足条件的点，
综上所述，满足条件的所有点P的个数为6．
故答案为：6．
14．解：∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，
∴∠CEB＝∠A+∠ACE＝45°+∠ACE，∠ACF＝∠ACE+∠ECF＝∠ACE+45°，
∴∠CEB＝∠ACF，
∴△ABC的面积＝AC BC＝×36＝18．
故答案为：18．
15．解：如图，作AD⊥BC，交BC于点D，
∵BC＝8cm，
∴BD＝CD＝BC＝4cm，
∴AD＝＝3，
分两种情况：当点P运动t秒后有PA⊥AC时，
∵AP2＝PD2+AD2＝PC2﹣AC2，∴PD2+AD2＝PC2﹣AC2，
∴PD2+32＝（PD+4）2﹣52∴PD＝2.25，
∴BP＝4﹣2.25＝1.75＝0.25t，
∴t＝7秒，
当点P运动t秒后有PA⊥AB时，同理可证得PD＝2.25，
∴BP＝4+2.25＝6.25＝0.25t，
∴t＝25秒，
∴点P运动的时间为7秒或25秒．
三．解答题（共7小题，满分60分）
16．解：∵∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∵∠DAC+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ACD和△CEB中，，
∴△ACD≌△CEB（AAS），
∴BE＝CD＝2．
17．解：解方程组得
所以，等腰三角形的两边长为2，1．　
若腰长为1，底边长为2，由1+1＝2知，这样的三角形不存在．
若腰长为2，底边长为1，则三角形的周长为5．
所以，这个等腰三角形的周长为5．
18．证明：∵AD⊥BC
∴∠BAD+∠B＝90°
∵∠1＝∠B
∴∠1+∠BAD＝∠BAC＝90°
∴△ABC是直角三角形．
19．解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°．
又∵AB＝12cm，∴AC＝6cm，BP＝2t，AP＝AB﹣BP＝12﹣2t，AQ＝t．
（2）∵△APQ是以PQ为底的等腰三角形，
∴AP＝AQ，即12﹣2t＝t，
解得t＝4，即当t＝4秒时△APQ是等腰三角形．
（3）∵当AQ：AC＝AP：AB时，有PQ∥BC，
∴t：6＝（12﹣2t）：12，解得t＝3．
即当t＝3秒时，PQ∥BC．
20．解：（1）①③，①④，②③和②④；
（2）以①④为条件，理由：
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB．
又∵∠DBO＝∠ECO，
∴∠DBO+∠OBC＝∠ECO+∠OCB，即∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
故答案为：①③，①④，②③和②④；①④．
21．证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°
AC＝BD，BC为公共边，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
（2）△OBC是等腰三角形，
∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰三角形．
22．解：（1）如图1，过C作CM⊥x轴于M点，
∵∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，
则∠MAC＝∠OBA，
在△MAC和△OBA中
∴△MAC≌△OBA（AAS），
∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，
∴OM＝OA+AM＝2+4＝6，
∴点C的坐标为（﹣6，﹣2）．
（2）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，则DE＝OQ
∴OP﹣DE＝OP﹣OQ＝PQ，
∵∠APO+∠QPD＝90°，
∠APO+∠OAP＝90°，
∴∠QPD＝∠OAP，
在△AOP和△PQD中，
，
∴△AOP≌△PQD（AAS）．
∴PQ＝OA＝2．
即OP﹣DE＝2．