2021-2022学年冀教版八年级数学上册第17章+特殊三角形+单元练习题（word版含答案）

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《第17章特殊三角形》单元综合练习题（附答案）
1．如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
2．下列不能使两个直角三角形全等的条件是（　　）
A．三边对应相等 B．两个锐角相等
C．一条直角边和斜边对应相等 D．两条直角边对应相等
3．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝3，MN垂直平分AB，且与AC相交于点D，则△BDC的周长为（　　）
A．8 B．10 C．11 D．13
4．已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长是（　　）
A．5 B．8 C．11 D．5或11
5．如图，在3×3的正方形网格中，A，B是两个格点，连接AB，在网格中找到一个格点C，使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．如右图所示：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线，那么图中等腰三角形有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知a，b，c分别是等腰△ABC三边的长，且满足ac＝12﹣bc，若a，b，c均为正整数，则这样的等腰△ABC存在（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
8．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD于点D．∠ABD＝∠A，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝40°，则∠C的度数为（　　）
A．35° B．40° C．45° D．50°
10．如图，工人师傅在做完门框后．为防止变形常常像图中所示的那样上两条斜拉的木条，这样做根据的数学道理是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性
C．垂线段最短 D．直角三角形两锐角互余
11．如图，△ABC中，若AB＝20，AC＝13，BC＝11，则点A到BC的距离是（　　）
A．5 B．9 C．10 D．12
12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为边在△ABC外作正方形，其面积为9，以BC为斜边在△ABC外作等腰直角三角形，其面积为4，过点B作BD⊥AC交AC于点D，则AD＝（　　）
A． B． C． D．2
13．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，直角三角形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么（a+b）2的值为（　　）
A．18 B．22 C．28 D．36
14．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝26，大正方形的面积为17，则小正方形的面积为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
15．下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．2，3，4 B．8，12，20 C．7，24，25 D．5，13，15．
16．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需补充条件 　 　，就可以根据“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF．
17．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为 　 　．
18．已知等腰三角形有一边长为6，一边长为3，则周长为 　 　．
19．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝35°，D是BC边上的动点，连接AD，若△ABD为直角三角形时，则∠DAC的度数为 　 　．
20．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在CA上，且DC＝2，动点P从A点出发沿A→B→C的路线运动，运动到点C停止．在点P的运动过程中，使△APD为等腰三角形的点P有 　 　个．
21．用9根长度相等的火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形（火柴不折断），能摆成不同的等腰三角形的个数为 　 　个．
22．如图，已知△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，又DE∥BC，交AC于E，若DE＝4cm，AE＝5cm，则AC等于 　 　．
23．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为 　 　海里．
24．在△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝30°，则∠A＝　 　．
25．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，D是BC延长线上一点，∠ACD＝130°，则∠A等于 　 　度．
26．已知等腰△ABC的周长为20，一边长为6，求另两边的长．
27．如图，直线AB∥CD，若∠1＝60°，∠2＝30°，求证：△FCE是等腰三角形．
28．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，PQ经过点O，与AB、AC分别相交于点P、Q．
（1）若∠A＝70°，求∠BOC的度数；
（2）若△ABC的周长为32，BC＝13，且PQ∥BC，求△APQ的周长．
29．在Rt△ABC中，两个锐角的平分线AO，BO相交于点O，求∠AOB的度数．
30．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A﹣C﹣B运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当点P在AB边的垂直平分线上时，求t的值；
（2）当点P在∠BAC的平分线上时，求t的值．
参考答案
1．解：由图得：遮挡住的三角形中露出两个角及其夹边．
∴根据三角形的判定方法ASA可解决此题．
故选：C．
2．解：A、三边对应相等，利用SSS能证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
B、两个锐角对应相等时，加上已知的直角相等，由AAA不能判定它们全等，故本选项符合题意；
C、一条直角边和斜边对应相等，利用HL能证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
D、两条直角边对应相等，加上已知的直角相等，利用SAS能证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．解：∵MN垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴△BDC的周长＝BD+BC+CD＝AD+DC+BC＝AC+BC＝5+3＝8，
故选：A．
4．解：当腰长为5时，底边长为21﹣2×5＝11，三角形的三边长为5，5，11，不能构成三角形；
当底边长为5时，腰长为（21﹣5）÷2＝8，三角形的三边长为8，8，5，构成等腰三角形；
所以等腰三角形的底边为5．
故选：A．
5．解：如图，以AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有5个．
故选：A．
6．解：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABC＝2∠ABD＝72°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∴△ABC是等腰三角形…①．
∠A＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2×72°＝36°，
∴∠A＝∠ABD，
∴△ABD是等腰三角形…②．
∵∠DBC＝∠ABD＝36°，∠C＝72°，
∴∠BDC＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BDC是等腰三角形…③．
故图中的等腰三角形有3个．
故选：C．
7．解：∵ac＝12﹣bc，
∴ac+bc＝12，
∴（a+b）c＝12，
∴12＝1×12＝2×6＝3×4，a+b＞c，
∴ 或或，
当 时，三边长分别为 1，6，6或 1，1，11 （不合题意舍去）；
当 时，三边长分别为 2，3，3或 2，2，4 （不合题意舍去）；
当 时，三边长分别为 3，2，2或 3，3，1，
所以一共有4个，
故选：B．
8．解：延长BD交AC于E，如图，
∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，
∴△BCE为等腰三角形，
∴DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，
∵∠A＝∠ABD，
∴EA＝EB＝2，
∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．
故选：D．
9．解：∵∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵∠B＝40°，
∴∠C＝90°﹣40°＝50°，
故选：D．
10．解：这样做根据的数学道理是三角形的稳定性，
故选：B．
11．解：过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，
∴∠D＝90°，
∴AB2﹣BD2＝AD2＝AC2﹣CD2，
∵AB＝20，AC＝13，BC＝11，
∴202﹣（11+CD）2＝132﹣CD2，
∴CD＝5，
∴AD＝＝＝12，
∴点A到BC的距离是12，
故选：D．
12．解：∵以AB为边的正方形的面积为9，
∴AB2＝9，
∵以BC为斜边的等腰直角三角形的面积为4，
∴等腰直角三角形的腰长为2，
∴BC2＝16，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
则AC＝＝＝5，
∵S△ABC＝×AB×AC＝×AC×BD，
∴×3×4＝×5×BD，
解得：BD＝，
由勾股定理得：AD＝＝＝，
故选：C．
13．解：大正方形的面积为16，得到它的边长为4，
即得a2+b2＝42＝16，ab＝3，
由题意4×3+（a﹣b）2＝16，ab＝6，
所以（a﹣b）2＝4，
所以（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+4×6＝28，
故选：C．
14．解：如图所示：
∵（a+b）2＝26，
∴a2+2ab+b2＝26，
∵大正方形的面积为17，
∴2ab＝26﹣17＝9，
∴小正方形的面积为17﹣9＝8，
故选：C．
15．解：A、22+32≠42，∴三角形不是直角三角形，故选项不符合题意；
B、82+122≠202，∴此三角形不是直角三角形，故选项不符合题意；
C、72+242＝252，∴三角形是直角三角形，故选项符合题意；
D、52+132≠152，∴三角形不是直角三角形，故选项不符合题意．
故选：C．
16．解：补充条件：AB＝DE．
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
故答案为：AB＝DE．
17．解：当这个三角形是锐角三角形时：高与另一腰的夹角为50，则顶角是40°，因而底角是70°；
如图所示：当这个三角形是钝角三角形时：∠ABD＝40°，BD⊥CD，
故∠BAD＝40°，
所以∠B＝∠C＝20°，
因此这个等腰三角形的一个底角的度数为20°或70°．
故答案为：20°或70°．
18．解：∵如果腰长为3，则3+3＝6，不符合三角形三边关系，
所以腰长只能为6．
∴其周长6+6+3＝15．
故答案为：15．
19．解：如图，∵AB＝AC，∠B＝35°，
∴∠B＝∠C＝35°，
∴∠BAC＝110°，
当∠BAD＝90°时，
∠DAC＝110°﹣90°＝20°；
当∠ADB＝90°时，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠DAC＝∠BAD＝55°．
故答案为：20°或55°．
20．解：如图，
根据已知，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在CA上，且DC＝2，
∴AD＝AC﹣CD＝4，∠BAC＝45°，
①作DP1⊥AB于P1，则三角形AP1D是等腰三角形；
②当AP2＝AD＝4时，三角形AP2D是等腰三角形；
③作DP3⊥AC，垂足为D，交AB于P3，则三角形AP3D是等腰三角形；
④当点P在BC上，AD＝PD＝4时，三角形AP4D是等腰三角形．
故使△APD为等腰三角形的点P有4个．
故答案为：4．
21．解：根据三角形三边关系，能摆成两种不同的等腰三角形，分别为：
①腰和底边都由3根火柴棒组成；②腰由4根火柴棒组成，底边有1根火柴棒，
故答案为：2．
22．解：∵CD平分∠ACB交AB于D，
∴∠ACD＝∠DCB，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴DE＝EC＝4cm，
∵AE＝5cm，
∴AC＝AE+EC＝5+4＝9（cm）．
故答案为：9cm．
23．解：∵∠NPM＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∵向北的方向线是平行的，
∴∠M＝70°，
∴∠NPM＝∠M，
∴NP＝MN＝40×2＝80（海里），
故答案为：80．
24．解：在△ABC中，∠C＝90°，
则∠A+∠B＝90°，
由题意得，
解得：∠A＝60°，∠B＝30°，
故答案为：60°．
25．解：∵∠B＝90°，∠ACD＝130°，∠A+∠B＝∠ACD，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝130°﹣90°＝40°，
故答案为：40．
26．解：当腰为6时，则另两边长为6、20﹣6×2＝8，此时三边满足三角形三边关系，即此时三角形的另两边为6，8；
当底边为6时，则另两边长为（20﹣6）＝7，此时三边满足三角形三边关系，即此时三角形的另两边为7，7；
综上可知三角形的另两边长为6，8或7，7．
27．证明：∵AB∥CD，
∴∠DFE＝∠1＝60°，
∴∠CFE＝180°﹣∠DFE，
＝180°﹣60°，
＝120°，
∴∠CEF＝180°﹣∠2﹣∠CFE
＝180°﹣30°﹣120°
＝30°，
∴∠2＝∠CEF，
∴CF＝EF，
∴△FCE是等腰三角形．
28．解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠PBO＝∠CBO，∠QCO＝∠BCO，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣55°＝125°；
（2）∵PQ∥BC，
∴∠POB＝∠PBO，
∴PB＝PO，
同理可得QO＝QC，
∴△APQ的周长为AP+PO+AQ+QO＝AB+AC，
又∵△ABC的周长为32，BC＝13，
∴AB+AC＝32﹣13＝19，
∴△APQ的周长为19．
29．解：∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵BO、AO分别平分∠CBA、∠CAB，
∴∠2＝∠CBA，∠1＝∠CAB，
∴∠1+∠2＝∠CBA+∠CAB＝（∠CBA+∠CAB）＝×90°＝45°，
∴∠AOB＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣45°＝135°．
30．解：（1）如图1，当点P在边AB的垂直平分线上时，
过点P作PD⊥AB于点D，连接BP，则PA＝PB＝t（cm），
∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC＝8cm，
∴PC＝（8﹣t）cm，
在Rt△PCB中，由勾股定理得：PC2+BC2＝PB2，即（8﹣t）2+62＝t2，
解得：，
∴点P在AB边的垂直平分线上时，求t的值为．
（2）当点P在BC上时，
如图2，过点P作PE⊥AB，
∵AP平分∠BAC且PC⊥AC，
∴PC＝PE＝（t﹣8）cm，
∴PB＝（14﹣t）cm，
在△ACP与△AEP中，
，
∴△ACP≌△AEP（AAS），
∴AE＝AC＝8cm，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣8＝2cm，
在Rt△PEB中，由勾股定理得：PE2+EB2＝PB2，
∴（t﹣8）2+22＝（14﹣t）2，
解得：，
∴当点P在∠BAC的平分线上时，t的值为．