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2.2.1圆周角（1）教案
主备人： 审核人： 本章课时序号：3
课 题 圆周角（1） 课型 新授课
教学目标 1. 能推导、归纳圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上圆周角的度数的一半. 2. 通过合作探究，理解圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等. 3. 能运用圆周角定理及其推论求圆周角和圆心角. 4. 切实提高看图用图、分析推理能力，激发学生求知欲望.
教学重点 1. 推导圆周角定理及其推论； 2. 运用圆周角定理及其推论求圆周角和圆心角.
教学难点 1. 在图形中找圆弧所对应的圆周角； 2. 运用圆周角定理及其推论求圆周角和圆心角.
教 学 活 动
一、情景导入 师问生答，PPT展示： 1、 什么叫做圆心角？ 顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫做圆心角. 2、 在同圆或等圆中，两个圆心角所对的两条弧、两条弧有什么相等关系？ 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弧中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 二、教学新知 （一）认识圆周角 1、 探究问题 观察右图中的∠BAC，它的顶点和两条边，分别与⊙O有 怎样的位置关系？ 生：∠BAC的顶点A在圆上，两边与圆相交. 2、 讲解概念 （1）我们把顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角. （2）右图中，∠BAC叫作所对的圆周角，叫作圆周角∠BAC所对的弧. 3、 举出实例： 圆周角在我们生活中处处可见。例如，我们从共青团团旗的图案上抽象出如图所示的图形，该图形就有许多圆周角. （二）探究圆周角定理 1、 操作—发现—验证 （1）量一量，猜一猜： 分别测量课本图2-15中所对的圆周角∠BAC和圆心角∠BOC的度数，它们之间有什么关系？ 生：圆周角∠BAC的度数等于它所对弧上圆心角∠BOC的度数一半. （2）画一画，验一验： 每位同学任画一个圆，并在弧上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量出它们的度数.你能得出同样的结论吗？由此你能发现什么规律？ 生：圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的度数一半. 2、 证明结论 （1）出示命题： 已知：在⊙O中，所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC. 求证：∠BAC=∠BOC. （2）确定证明方法—分情况讨论 在画图时，可以发现圆心O与圆周角的位置关系有以下三种情形： ①圆周角的一边通过圆心； ②圆心在圆周角的内部； ③圆心在圆周角的外部. 要证明发现的结论成立，必须证明上面三种情况都成立. （3）分情况证明 ⅰ 对于第(1)种情况，如图，圆心O在∠BAC的一边AB上. ∵ OA=OC， ∴ ∠C=∠BAC， ∴ ∠BOC=∠C+∠BAC=2∠BAC， 即 ∠BAC=∠BOC. ⅱ 对于第(2)种情况，如图，圆心O在∠BAC的内部. 作直径AD，根据第(1)种情况的结果得， ∠BAD=∠BOD，∠CAD=∠COD. ∴ ∠BAC=∠BOD+∠COD =∠BAD+CAD =∠BOC. ⅲ 对于第(3)种情况，如图，圆心O在∠BAC的外部. 作直径AD，根据第(1)种情况的结果得， ∠BAD=∠BOD，∠CAD=∠COD. ∴ ∠BAC=∠BOD-∠COD =∠BAD-CAD =∠BOC. （说明：在以上证明过程中，注意引导学生找圆周角所对弧及这条弧所对的圆周角，让学生说出证明思路，对于第(3)种情况，可让学生自己完成证明过程。） （4）归纳总结 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. （三）探究圆周角定理的推论 1、 出示问题： 如图，∠C ，∠C ，∠C 都是所对的圆周角，那么 ∠C =∠C =∠C 吗？ 2、 合作探讨： 连接AO，BO，则∠C ，∠C ，∠C 所对弧上的圆心角均为∠AOB.由圆周角定理，可知∠C =∠C =∠C . 3、 展示结论： 在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等. 三、讲解例题 例2 如右图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=50°，∠BOC=70°. 求∠ACB和∠BAC的度数. 分析：分析：根据“在同圆中，同弧所对的圆周周等于圆心角的一半.” 即可求出∠ACB和∠BAC的度数.关键是找准圆周角所对的弧，弧所对的圆心角. 解：∵ 圆心角∠AOB与圆周角∠ACB所对的弧为， ∴ ∠ACB=∠AOB=25°. 同理，∠BAC=1/2∠BOC=355°. 四、巩固练习 1、 如图，点A是⊙O上的任意一点，若∠A=85°，则∠BAC的度数是（ ） A. 155° B. 150° C. 160° D. 170° 【答案】D 2、 如图，点A，B，C，D都是⊙O上的点，则与∠BCD相等的角是（ ） A. ∠BAD B. ∠BOD C. ∠ABC D. ∠ADC 【答案】A 3、 如图，点A，B，C都是⊙O上的点，若∠BOC=80°，则∠ABO+∠ACO的度数是（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】B 五、课堂总结 教师提问，学生回答，并展示下面知识要点 1、 什么叫作圆周角？圆周角与圆心角有什么不同？ 顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的顶点在圆上，圆心角的顶点在圆心. 2、 圆周角定理是什么？ 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 3、 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角有何关系？ 在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等. 这个结论也叫做圆周角的推论. 六、作业布置 第52页课后练习第1、2、3题： 1、 下图中各角是不是圆周角？请说明理由. 2、 如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，若∠CAB=25°， ∠ABD=95°，试求∠CDB和 ∠ACD的度数. 解：∵ ∠CDB与∠CAB是同一条弧所对的圆周角， ∴ ∠CDB=∠CAB=25°. ∵ ∠ACD与∠ABD是同一条弧所对的圆周角， ∴ ∠ACD=∠ABD=95°. 3、 如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB.若∠OBA=25°， 求∠BOC的度数. 解：∵∠BOC与∠OBA分别是同一条弧所对的圆心角和圆周 角， ∴∠BOC=2∠OBA=50°.
板书设计 2.2.2圆周角（1） 1、 圆周角的概念，圆周角与圆心角的区别 2、 圆周角定理：在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 3、 圆周角与所对的弧和弦的关系：在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.
课后反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共29张PPT)
2.2.2圆周角(1)
湘教版 九年级下
教学目标
1. 能推导、归纳圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧
上圆周角的度数的一半.
2. 通过合作探究，理解圆周角定理的推论：同弧或等弧所
对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.
3. 能运用圆周角定理及其推论求圆周角和圆心角.
4. 切实提高看图用图、分析推理能力，激发学生求知欲望.
新知导入
顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫做圆心角.
1. 什么叫做圆心角？
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弧中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
2. 在同圆或等圆中，两个圆心角所对的两条弧、两条弧有
什么相等关系？
新知导入
观察右图中的∠BAC，它的顶点和两条边，分别与⊙O有怎样的位置关系？
说一说
∠BAC的顶点A在圆上，两边与圆相交.
新知导入
我们把顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角.
右图中，∠BAC叫作 所对的圆周角， 叫作圆周角∠BAC所对的弧.
AB
AB
B
C
A
O
新知导入
圆周角在我们生活中处处可见。例如，我们从共青团团旗的图案上抽象出如图所示的图形，该图形就有许多圆周角.
新知导入
探究
B
C
A
O
1. 分别测量课本图2-15中 所对的圆周角∠BAC和圆心角∠BOC的度数，它们之间有什么关系？
BC
圆周角∠BAC的度数等于它所对弧上圆心角∠BOC的度数一半.
新知导入
探究
2. 每位同学任画一个圆，并在弧上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量出它们的度数.你能得出同样的结论吗？由此你能发现什么规律？
圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的度数一半.
新知讲解
现在我们来证明上面的结论：
已知：在⊙O中， 所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC.
求证：.
BC
新知讲解
在画图时，可以发现圆心O与圆周角的位置关系有以下三种情形：
（1）圆周角的一边通过圆心；
（2）圆心在圆周角的内部；
（3）圆心在圆周角的外部.
要证明发现的结论成立，必须证明上面三种情况都成立.
新知讲解
对于第(1)种情况，如图，圆心O在∠BAC的一边AB上.
∵ OA=OC，∴ ∠C=∠BAC，
∴ ∠BOC=∠C+∠BAC=2∠BAC，
即
新知讲解
对于第(2)种情况，如图，圆心O在∠BAC的内部.
作直径AD，根据第(1)种情况的结果得，
∴
新知讲解
对于第(3)种情况，如图，圆心O在∠BAC的外部.
作直径AD，根据第(1)种情况的结果得，
∴
由此得到圆周角定理：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
新知讲解
合作探究
探究
如图，∠C ，∠C ，∠C 都是 所对的圆周角，那么∠C =∠C =∠C 吗？
AB
连接AO，BO，则∠C ，∠C ，∠C 所对弧上的圆心角均为∠AOB.由圆周角定理，可知∠C =∠C =∠C .
合作探究
合作探究
由此得到以下结论：
在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.
例题讲解
例2 如右图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=50°，∠BOC=70°.求∠ACB和∠BAC的度数.
分析：根据“在同圆中，同弧所对的圆周周等于圆心角的一半.” 即可求出∠ACB和∠BAC的度数.关键是找准圆周角所对的弧，弧所对的圆心角.
例题讲解
A
O
B
C
50°
70°
解：∵圆心角∠AOB与圆周角∠ACB所对的弧为 ，
AB
∴
25°.
35°.
同理，
巩固练习
D
1. 如图，点A是⊙O上的任意一点，若∠A=85°，则∠BAC的度数是（ ）
A. 155°
B. 150°
C. 160°
D. 170°
巩固练习
A
2. 如图，点A，B，C，D都是⊙O上的点，则与∠BCD相等的角是（ ）
A. ∠BAD
B. ∠BOD
C. ∠ABC
D. ∠ADC
巩固练习
B
3. 如图，点A，B，C都是⊙O上的点，若∠BOC=80°，则∠ABO+∠ACO的度数是（ ）
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
课堂总结
1. 什么叫作圆周角？圆周角与圆心角有什么不同？
顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角.
圆周角的顶点在圆上，圆心角的顶点在圆心.
2. 圆周角定理是什么？
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
课堂总结
3. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角有何关系？
在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.
这个结论也叫做圆周角的推论.
作业布置
第52页课后练习第1、2、3题：
1. 下图中各角是不是圆周角？请说明理由.
C
A
O
B
(1)
O
B
A
C
(2)
O
B
A
C
(3)
C
O
B
A
(4)
作业布置
2. 如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，若∠CAB=25°， ∠ABD=95°，试求∠CDB和 ∠ACD的度数.
解：∵∠CDB与∠CAB是同一条弧
所对的圆周角，∴∠CDB=∠CAB=25°.
BC
∵∠ACD与∠ABD是同一条弧 所对的圆周角，∴∠ACD=∠ABD=95°.
AD
作业布置
3. 如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB.若∠OBA=25°，求∠BOC的度数.
解： ∵∠BOC与∠OBA分别是同一条弧 所对的圆心角和圆周角，
∴∠BOC=2∠OBA=50°.
BC
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