(共27张PPT)
2.2.2圆周角(2)
湘教版 九年级下
教学目标
1. 理解“直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的
弦是直径”；
2. 认识圆内接四边形、四边形的外接圆，理解其概念；
3. 能推导“圆内接四边形的对角互补”的结论；
4. 提高利用圆周角定理等结论解决线段、角度问题能力.
新知导入
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
1. 圆周角定理是什么？
在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.
2. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角有何关系？
新知讲解
如图，AB是⊙O的直径，那么∠C ，∠C ，∠C 的度数分别是多少呢？
动脑筋
因为∠C ，∠C ，∠C 所对弧上的圆心角是∠AOB，只要知道∠AOB的度数，利用圆周角定理，就可以求出 ∠C ，∠C ，∠C 的度数.
新知讲解
因为A，O，B在一条直线上，所以圆心角∠AOB是一个平角，即∠AOB=180°，所以
∠C =∠C =∠C
新知讲解
即直径所对的圆周角是直角。
在⊙O中，若已知∠C =90°，它所对的弦是直径吗？
新知讲解
∵ 所对圆周角和圆心角分别是
∠C 、∠AOB，且∠C =90°，
∴ ∠AOB=180°.
∴ ∠C 所对的弦AB是经过圆心的
弦，即
∠C 所对的弦AB是⊙O的直径.
AB
新知讲解
由此得到以下结论：
直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所
对的弦是直径.
例题讲解
例3 如图，BC都是⊙O的直径，∠ABC=60°， 点D在⊙O上.求∠ADB的度数.
分析：根据BC是⊙O的直径，可得∠BAC=90°.又∠ABC=60°，则得∠C=30°.根据同弧所对的圆周角相等，即可求得∠ADB的度数.
解： ∵ BC为直径，
∴ ∠BAC=90°.
例题讲解
又 ∠ABC=60°，
∴ ∠C=30°.
∴ ∠ADB= ∠C= 30°.
又∵ ∠ADB与∠C都是 所对的圆周角，
AB
合作探究
如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，顺次连接A，B，C，D四点，得到四边形ABCD，我们把四边形ABCD叫作圆内接四边形.
这个圆叫作这个四边形的外接圆.
新知讲解
如图，在四边形ABCD中，两组对角∠A与∠C， ∠B与∠D有什么关系？
动脑筋
合作探究
连接OB，OD，如图.
∵ ∠A所对的弧为BCD，∠C都是所对的弧为BAD，又BCD与BAD所对的圆心角之和是周角，
∴
由四边形内角和定理可知，∠ABC+ ∠ADC=180°.
新知讲解
由此得到以下结论：
圆内接四边形的对角互补.
例题讲解
例4 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°.求∠BAD及∠BCD的度数.
分析：先根据圆周角定理求出∠BAD的度数。再在圆内接四边形中，根据“圆内角四边形的对角互补，即可求出∠BCD.
例题讲解
解：∵圆心角∠BOD与圆周角∠BAD所对的弧为 BD，∠BOD=90°.
∴
∵ ∠BCD+∠BAD= 180°，
∴ ∠BCD= 180°-∠BAD=130°.
巩固练习
C
1. 如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若∠BCD=42°，则∠ABD的度数为（ ）
A. 32°
B. 42°
C. 48°
D. 58°
提示：连接AD，由于AB是⊙O的直径，所以∠ADB=90°.
在Rt△ABD中，即可求出∠ABD=48°.故选C.
巩固练习
B
2. (海淀月考)如图，已知⊙O的直径AE=10cm，若∠B=∠EAC，则AC的长为（ ）
A. 5cm
B. cm
C. cm
D. 6cm
巩固练习
解析：连接CE，如图.
由圆周角定理得，
∠E=∠B，∠ACE=90°.
∵ ∠B=∠EAC，
∴ CE=CA.
∴ .
故选B.
巩固练习
3. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A=105°，∠B=70°，则∠DCE的度数是（ ）
A. 70°
B. 110°
C. 75°
D. 105°
C
提示：本题告诉我们，圆内接四边形的一个外角等于与它相邻的内角的对角.
课堂总结
1. 圆的直径与它所对的圆周角有什么关系？
直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
2. 什么叫作圆内接四边形？什么叫作四边形的外接圆？
顺次连接圆上四点，得到的四边形叫作圆内接四边形.
这个圆叫作四边形的外接圆。
课堂总结
3. 圆内接四边形的角有什么关系？
圆内接四边形的对角互补.
作业布置
第55页课后练习第1、2、3题：
1. 如图，在⊙O中，AB是直径，C，D是圆上两点，且AC=AD。求证：BC=BD.
证明：∵AB是直径，C，D是圆上两点，
∴ ∠C=∠D=90°.
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
∵ AC=AD，AB=AB，
∴ Rt△ABC≌Rt△ABD.
∴ BC=BD.
作业布置
2. 怎样运用三角板画出如图所示的圆形件表面上的直径，并标出圆心.
提示：把三角板的直角顶点置于圆上，沿直角边画连接圆上两点的弦即为圆的一条直径。再把三角板的直角顶点置于圆上另一位置，画出圆的另一条直径。两条直径的交点即为圆心.
作业布置
3. 如图，圆内接四边形ABCD的外角∠DCE=85°，求∠A的度数.
解：∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ ∠A+∠BCD=180°.
又∵ ∠DCE+∠BCD=180°，
∠DCE=85°，
∴ ∠DCE=95°.
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2.2.2圆周角（2）教案
主备人： 审核人： 本章课时序号：4
课 题 圆周角（2） 课型 新授课
教学目标 1. 理解“直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径”； 2. 认识圆内接四边形、四边形的外接圆，理解其概念； 3. 能推导“圆内接四边形的对角互补”的结论； 4. 提高利用圆周角定理等结论解决线段、角度问题能力.
教学重点 1. 探究“直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径”； 2. 推导“圆内接四边形的对角互补” 3. 引导学生用上述结论解答线段、角度问题；
教学难点 1. 推导“直径所对的圆周角是直角”及“圆内接四边形的对角互补”； 2. 学会添加辅助线构成以直径和两条弦为边的直角三角形解答问题。
教 学 活 动
一、情景导入 要点复习： 1、 圆周角定理是什么？ PPT：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 2、 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角有何关系？ PPT：在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等. 二、教学新知 （一）探究直径与所对的圆周角的关系 1、 出示问题 如图，AB是⊙O的直径，那么∠C ，∠C ，∠C 的度 数分别是多少呢？ 2、 课堂互动 分析：因为∠C ，∠C ，∠C 所对弧上的圆心角是∠AOB，只要知道∠AOB的度数，利用圆周角定理，就可以求出 ∠C ，∠C ，∠C 的度数. 生：因为A，O，B在一条直线上，所以圆心角∠AOB是一个平角，即∠AOB=180°，所以，∠C =∠C =∠C =×180°=90°. 即直径所对的圆周角是直角。 3、 讨论问题 在⊙O中，若已知∠C =90°，它所对的弦是直径吗？ 生：∵ 所对圆周角和圆心角分别是 ∠C 、∠AOB，且∠C =90°， ∴ ∠AOB=180°. ∴ ∠C 所对的弦AB是经过圆心的弦，即 ∠C 所对的弦AB是⊙O的直径. 4、 归纳结论 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. （二）教学例3 例3 如图，BC都是⊙O的直径，∠ABC=60°， 点D在⊙O上.求∠ADB的度数. 分析：根据BC是⊙O的直径，可得∠BAC=90°.又∠ABC=60°，则得∠C=30°.根据同弧所对的圆周角相等，即可求得∠ADB的度数. 解： ∵ BC为直径， ∴ ∠BAC=90°. 又 ∠ABC=60°， ∴ ∠C=30°. 又∵ ∠ADB与∠C都是所对的圆周角， ∴ ∠ADB= ∠C= 30°. （三）认识圆内接四边形和四边形的外接圆 PPT展示，教师讲解： 1、 如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，顺次连接A，B，C，D四点，得到四边形ABCD，我们把四边形ABCD叫作圆内接四边形. 2、PPT： 这个圆叫作这个四边形的外接圆. （四）探究“圆内接四边形的对角互补” 1、 出示问题 如图，在四边形ABCD中，两组对角∠A与∠C， ∠B与∠D有什么关系？ 2、 合作探究 （1）引导思考： 研究圆心角我们想到圆心角，而一个圆的圆心角等于360°.如果我们把∠A与∠C所对的圆心角的和求出来，那么两组对角∠A与∠C的和就知道了。 （2）思路讲解： 连接OB，OD，如图. ∵ ∠A所对的弧为，∠C都是所对的弧为，又与所对的圆心角之和是周角， ∴ ∠A+∠C==180°. 由四边形内角和定理可知，∠ABC+ ∠ADC=180°. 3、 概括结论 PPT：圆内接四边形的对角互补. （五）教学例4 例4 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°.求∠BAD及∠BCD的度数. 分析：先根据圆周角定理求出∠BAD的度数。再在圆内接四边形中，根据“圆内角四边形的对角互补，即可求出∠BCD. 解：∵ 圆心角∠BOD与圆周角∠BAD所对的弧为，∠BOD=90°. ∴ ∠BAD=∠BOD=×100°=50°. ∵ ∠BCD+∠BAD= 180°， ∴ ∠BCD= 180°-∠BAD=130°. 三、巩固练习 1、 如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若∠BCD=42°，则∠ABD的度数为（ ） A. 32° B. 42° C. 48° D. 58° 【答案】C 【解析】连接AD，由于AB是⊙O的直径， 所以∠ADB=90°. 在Rt△ABD中，即可求出∠ABD=48°.故选C. 2、 (海淀月考)如图，已知⊙O的直径AE=10cm，若∠B=∠EAC，则AC的长为（ ） A. 5cm B.cm C.cm D. 6cm 【答案】D 【解析】连接CE，如图. 由圆周角定理得，∠E=∠B，∠ACE=90°. ∵ ∠B=∠EAC， ∴ CE=CA. ∴ AC=AE=5(cm). 故选B. 3、 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A=105°，∠B=70°，则∠DCE的度数是（ ） A. 70° B. 110° C. 75° D. 105° 【答案】B 【提示】本题告诉我们，圆内接四边形的一个外角等于与它相邻的内角的对角. 四、课堂总结 教师提问，学生回答，并展示下面知识要点 1、 圆的直径与它所对的圆周角有什么关系？ PPT：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 2、 什么叫作圆内接四边形？什么叫作四边形的外接圆？ PPT：顺次连接圆上四点，得到的四边形叫作圆内接四边形.这个圆叫作四边形的外接圆。 3、 圆内接四边形的角有什么关系？ PPT： 圆内接四边形的对角互补. 五、作业布置 第55页课后练习第1、2、3题： 1、 如图，在⊙O中，AB是直径，C，D是圆上两点，且AC=AD。求证：BC=BD. 证明：∵AB是直径，C，D是圆上两点， ∴ ∠C=∠D=90°. 在Rt△ABC与Rt△ABD中， ∵ AC=AD，AB=AB， ∴ Rt△ABC≌Rt△ABD. ∴ BC=BD. 2、 怎样运用三角板画出如图所示的圆形件表面上的直径，并标出圆心. 提示：把三角板的直角顶点置于圆上，沿直角边画连接圆上两点的弦即为圆的一条直径。再把三角板的直角顶点置于圆上另一位置，画出圆的另一条直径。两条直径的交点即为圆心. 3、 如图，圆内接四边形ABCD的外角∠DCE=85°，求∠A的度数. 解：∵ 四边形ABCD是圆内接四边形， ∴ ∠A+∠BCD=180°. 又∵ ∠DCE+∠BCD=180°， ∠DCE=85°， ∴ ∠DCE=95°.
板书设计 2.2.2圆周角（2） 1、 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 2、 顺次连接圆上四点，得到的四边形叫作圆内接四边形.这个圆叫作四边形的外接圆. 3、 圆内接四边形的对角互补.
课后反思
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