北师大版高中数学必修1《二次函数的性质》教学 课件 (共23张PPT)

(共23张PPT)
4.2　二次函数的性质
1.y＝ax2(a≠0)的图象
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的 倍得到，其中a决定了图象的 和在同一直角坐标系中的 .
2.y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象
一般地，二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的 平移，而且“h正 移，h负 移”；k决定了二次函数图象的 平移，而且“k正 移，k负 移”.
a
开口方向
开口大小
左右
左
右
上下
上
下
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质
函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
图
象 a＞0 a＜0
性
质 (1)抛物线开口向上，并向上无限延伸 (1)抛物线开口向下，并向下无限延伸
(2)对称轴是 ，
顶点坐标是 (2)对称轴是 ，
顶点坐标是
(3)在区间 上是减函数，在区间 上是增函数 (3)在区间 上是增函数，在区间 上是减函数
(4)抛物线有最低点，
当 时，y有最小值，
ymin?＝ (4)抛物线有最高点，
当 时，y有最大值，
ymax?＝
二次函数在其对称轴的两侧单调性一定相反吗？
【提示】　y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，在其对称轴两侧的单调性一定相反，可以借助于二次函数的图象进行说明.
二次函数图象的对称性
已知函数f(x)＝2x2－3x＋1，
(1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴；
(2)求这个函数的最小值；
(3)不直接计算函数值，试比较f(－1)和f(1)的大小.
【思路点拨】　首先把f(x)配方得顶点式，从而得出(1)(2)的结果.要比较f(－1)和f(1)的大小，只比较－1和1与对称轴哪一个最近.
讨论二次函数的性质一定要结合二次函数的图象，为了方便，通常画草图，有时可以省去y轴，利用单调性比较两个数值的大小，关键是利用对称性将它们转化到同一单调区间上，这里体现了数形结合及化归等重要思想方法.
二次函数的值域（最值）
求f(x)＝x2－2ax－1在区间［0,2］上的最大值和最小值.
【思路点拨】　二次函数的对称轴x＝a变化，导致函数最值变化.
①当a＜0时，由图①可知，
f(x)?min?＝f(0)＝－1，
f(x)?max?＝f(2)＝3－4a.
②当0≤a＜1时，由图②可知，
f(x)?min?＝f(a)＝－1－a2，
f(x)?max?＝f(2)＝3－4a.
③当1≤a≤2时，由图③可知，
f(x)?min?＝f(a)＝－1－a2，
f(x)?max?＝f(0)＝－1.
④当a＞2时，由图④可知，
f(x)?min?＝f(2)＝3－4a，
f(x)?max?＝f(0)＝－1.
【解析】　f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.
(1)求函数在某区间上的最值，一般应先判定函数在该区间的单调性.
(2)求二次函数的最值时，应判断它的开口方向、对称轴与区间的关系，若含有字母，要根据对称轴和区间的关系对字母进行讨论，解题时要注意数形结合.
2.已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3，
(1)当x∈［－2,0］时，求f(x)的最值；
(2)当x∈［－2,3)时，求f(x)的最值；
(3)当x∈［t，t＋1］时，求f(x)的最小值g(t).
【解析】　∵f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上.
(1)当x∈［－2,0］时，f(x)在［－2,0］上是单调递减的，故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11；
当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3.
(2)当x∈［－2,3)时，f(x)在［－2,3)上是先减后增的，故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2，
又|－2－1|＞|3－1|，
∴f(x)的最大值为f(－2)＝11.
二次函数的单调性及应用
(1)若f(x)＝－x2＋2ax在(－∞，2)上是增函数，求实数a的取值范围.
(2)已知函数f(x)＝－x2＋2ax的增区间为(－∞，2)，求实数a的值.
【思路点拨】　解答本题应对(1)(2)两问中的题设条件进行分析，
(1)中区间(－∞，2)应为f(x)增区间的子区间；
(2)中(－∞，2)中的“2”是增减的分界点，即x＝2是对称轴.
【解析】　∵f(x)＝－(x－a)2＋a2，其函数图象开口向下，对称轴为x＝a.
(1)∵f(x)的增区间为(－∞，a］，
由题意(－∞，a］?(－∞，2)，∴a≥2.
(2)由题意，f(x)的对称轴为x＝a＝2，即a＝2.
二次函数的对称轴是其单调区间的分界线，解答此类问题的关键在于借助于函数的对称轴，通过集合间的关系来建立变量间的关系，得出参数的取值范围.
3.若f(x)＝－x2＋2ax，在区间［0,1］上是增函数，在区间［2,3］上是减函数，求实数a的取值范围.
【解析】　∵f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2，
∴f(x)的单调增区间为(－∞，a］，
单调减区间为［a，＋∞).
又∵f(x)在［0,1］上是增函数，在［2,3］上是减函数.
∴［0,1］?(－∞，a］且［2,3］?［a，＋∞)，∴1≤a≤2.
a、b、c
的代数式 作用 说明
a 1.决定抛物线的开口方向与开口大小
2．决定单调性 a>0 开口向上，a越小，开口越大
在上递减，在上递增
a＜0 开口向下，|a|越小，开口越大
在上递增，在上递减
b 决定函数的奇偶性 b＝0 偶函数
b≠0 既不是奇函数也不是偶函数
c 决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为(0，c) c＞0
c＝0
c＜0 交点在x轴上方
抛物线过原点
交点在x轴下方
1.抛物线y＝－2x2不具有的性质是 (　　)
?A.?开口向下　　　　　　B.?对称轴是y轴
?C.?与y轴不相交 ? D.?最高点是原点
【答案】　?C?
2.已知函数f(x)＝x2＋mx＋n满足f(1)＝f(－1)＝0，则f(0)＝ (　　)
?A.?1 ? 　　　　　　　B.?0
?C.?－1 ? 　　　　　　　D.?－2
【答案】　?C?
3.抛物线y＝x2＋(a＋2)x＋1的顶点在y轴上，则a＝　　　　.
【答案】　－2