北师大版高中数学必修1《函数的表示法》教学课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
2.2　函数的表示法
1.两个函数相同是指它们的 相同，且 完全一致.
2.在函数定义域中，任意的x∈A，在f的作用下，在B中都有唯一确定的f(x)与之对应.这可概述为： 和 .
3. 的定义域为
定义域
对应关系
存在性
唯一性
列表法 用 的形式表示两个变量之间 关系的方法
图象法 用 把两个变量间的 关系表示出来的方法
解析法 一个函数的 可以用自变量的 (简称 )表示出来的方法
1.函数的表示法
2.分段函数
在函数的定义域内，如果对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，那么这样的函数通常叫做分段函数.
图象
函数
对应关系
解析表达式
解析式
表格
函数
每个函数都可以用列表法、图象法、解析式法三种形式表示吗？
【提示】　不一定，如函数y＝x，x∈R，就无法用列表法表示.
求函数解析式
求下列函数的解析式：
(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；
(2)已知f( ＋1)＝x＋2 ，求f(x)；
(3)已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x).
【思路点拨】　(1)(2)小题可以用换元法或配凑法，求a，b，c，利用条件
(1)中解法为直接变换法或称为配凑法，通过观察、分析，将右端“x2－3x＋2”变为接受对象“x＋1”的表达式，即变为含(x＋1)的表达式，这种解法对变形能力、观察能力有一定的要求.
(2)中解法称为换元法，所谓换元法即将接受对象 “ ＋1“换作另一个字母“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便可求出关于“t”的函数关系，此即为所求函数解析式.但在利用这种方法时要注意自变量的取值范围的变化情况，否则就得不到正确的表达式.
(3)中解法称为待定系数法，我们只要清楚所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，只要想法确定其系数即可求出结果.
1.求下列函数的解析式：
作函数的图象
作出下列函数的图象.
【思路点拨】　初中阶段我们已经知道，一次函数的图象是直线，二次函数图象是拋物线，反比例函数图象是双曲线.现在我们只要结合定义域，找到一些关键点，便可画出函数的大致图象.
【解析】　(1)当x＝1时，y＝1，所画函数图象如图1；
(2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
且x＝1,3时，y＝0；
当x＝2时，y＝－1，
所画函数图象如图2.
　
　　　图1　　　　　 　　图2
　图3
(1)图象法是表示函数的方法之一，画函数图象时，以定义域、对应关系为依据，采用列表、描点法作图.当已知式是一次或二次式时，可借助一次函数或二次函数的图象帮助作图.
(2)作图象时，应标出一些关键点.例如，图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点，还是空心点.
2.作出下列函数的图象.
【解析】　(1)此函数图象是直线y＝x的一部分.
(2)此函数的定义域为{－2，－1,0,1,2}，所以其图象由五个点组成，这些点都在直线y＝1－x上.(这样的点叫做整点)
求分段函数的函数值
【思路点拨】
【解析】　∵－1＜0，∴f(－1)＝0，
∴f(f(－1))＝f(0)＝?π?，∴f(f(f(－1)))＝f(?π?)＝?π?＋1.
(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得.
(2)象本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理.
【解析】　(1)∵5＞4，∴f(5)＝－5＋2＝－3.∵－3＜0，
∴f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1，
又∵0＜1＜4，∴f(f(f(5)))＝f(1)＝1－2＝－1
(2)当a＋4＝－1时，a＝－5＜0，∴a＝－5符合题意，
当a2－2a＝－1时，a＝1，
∵0＜1＜4，∴a＝1符合题意；
当－a＋2＝－1时，a＝3＜4，
∴a＝3不符合题意.∴a＝－5或a＝1.
优点 缺点
解
析
法 一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值 不够形象、直观、具体，而且并不是所有的函数都能用解析式表示出来
列
表
法 不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系
图
象
法 能形象直观地表示出函数的变化情况 只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大
1.函数的三种表示方法的优缺点比较
2.关于分段函数
(1)分段函数虽由几部分构成，但代表的是一个函数.只不过在定义域内的不同部分取值时，函数对应关系不同.其值域也是各段上的函数值集合的并集.
(2)求分段函数的有关函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式.
(3)作分段函数的图象时，则应分段分别作出其图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，用虚线作出其图象，再用实线保留定义域内的一段图象即可.
已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，求f(x)的解析式.
【错解】　∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
设t＝x2＋2，则f(t)＝t2－4.∴f(x)＝x2－4.
【错因】　本题错解的原因是忽略了函数f(x)的定义域.上面的解法，似乎是无懈可击，然而从其结论，即f(x)＝x2－4来看，并未注明f(x)的定义域，那么按一般理解，就应认为其定义域是全体实数.但是f(x)＝x2－4的定义域不是全体实数.
事实上，任何一个函数都由定义域、值域和对应关系f三要素组成.所以，当函数f(g(x))一旦给出，则其对应关系f就已确定并不可改变，那么f的“管辖范围”(即g(x)的值域)也就随之确定.因此，我们由f(g(x))求f(x)时，求得的f(x)的定义域就理应与f(g(x))中的f的“管辖范围”一致才妥.
【正解】　∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
令t＝x2＋2(t≥2)，
则f(t)＝t2－4(t≥2)，
∴f(x)＝x2－4(x≥2).
1.设f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)等于 (　　)
?A.?2x＋1　　 ?B.?2x－1
?C.?2x－3 ? 　D.?2x＋7
【解析】　由题意知g(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，
∴g(x)＝2x－1.故选B.
【答案】　?B?
2.下列各图中，不能是函数f(x)图象的是 (　　)
【答案】　?C?
次数 1 2 3 4 5
分数 85 88 93 86 95
3.某班连续进行了5次数学测试，其中智方同学的成绩如表所示，在这个函数中，定义域是　　　　，值域是　　　　.
【答案】　{1,2,3,4,5}　{85,88,93,86,95}
笔记本数x 1 2 3 4 5
钱数(元) 5 10 15 20 25
4.某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})本笔记本需要y元，试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x).
【解析】　这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}.用解析法表示函数y＝f(x)为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}.用列表法表示函数y＝f(x)如表所示：
用图象法表示函数y＝f(x)如图所示：