北师大版高中数学必修1《函数的单调性》教学课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
?§3　函数的单调性
1.初中学习过一次函数、二次函数.还记得函数f(x)＝x的图象特征吗？自左向右，图象是　　　　，即函数值随着x的增大而　　　　.函数f(x)＝x2的图象是　　　　，而且其图象在区间(－∞，0］内是　　　　，即函数值随x的增大而　　　　；在区间(0，＋∞)内图象是　　　　，即函数值随x的增大而　　　　.
2.从函数f(x)＝x2的图象上还可看出当x＝0时，y＝0是所有函数值中　　　　.而对于f(x)＝－x2来说，x＝0时，y＝0是所有函数值中　　　　.
【答案】　1.上升的　增大　抛物线　下降的　减小　上升的　增大
2.最小的　最大的
1.增函数与减函数的定义
在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上.
(1)如果对于 两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有 ，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是 的.
(2)如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时都有 ，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是 的.
任意
f(x1)＜f(x2)
递增
f(x1)＞f(x2)
递减
2.单调区间、单调性及单调函数
(1)单调区间：如果y＝f(x)在区间A上是 或是 ，那么称 为单调区间.在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图象是 ；如果函数是减少的，那么它的图象是 .
(2)单调性：如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是 或是 ，那么就称函数y＝f(x)在这个 上具有单调性.
(3)单调函数：如果函数y＝f(x)在 内是增加的或是减少的，那么分别称这个函数为 或 ，统称为单调函数.
增加的
减少的
A
上升的
下降的
增加的
减少的
子集
整个定义域
增函数
减函数
能否将增函数(减函数)定义中的“任意两个值x1，x2”，改为“存在两个值x1，x2”？
虽然f(-1)＜f(2)，但f(x)在［-1,2］上并不递增.
【提示】　不能.如图所示，
函数单调性的判定或证明
【思路点拨】　解答本题只需按照函数单调递增的定义加以证明.
根据定义证明函数的单调性可按如下步骤进行：
(1)取值.即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1(2)作差变形.即作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，使其转化为易于判断正负的式子；
(3)定号.即确定f(x1)－f(x2)的符号；
(4)判断.即根据定义得出结论.其中第二步是关键，在变形中一般尽量化为几个最简因式的积或几个完全平方的形式.
1.证明函数 在区间(－∞，0)上是增函数.
【证明】　设x1，x2为区间(－∞，0)上的任意两个值，且x1则 ，
∵x1∴x1－x2<0，x1x2>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故 在区间(－∞，0)上是单调增函数.
求函数的单调区间
如图所示的是定义在半开半闭区间［－5,5)上的函数y＝f(x)的图象，根据图象写出y＝f(x)的单调区间，并指出在每一个单调区间上y＝f(x)是增函数还是减函数.
【思路点拨】　观察图象可知，函数y＝f(x)在区间［－5,5)上不具有单调性，但在区间［－5，－2］，［－2,1］，［1,3］，［3,5)上具有单调性.
【解析】　函数y＝f(x)的单调区间有［－5，－2］，［－2,1］，［1,3］，［3,5)，
其中y＝f(x)在区间［－5，－2］，［1,3］上是减函数，在区间［－2,1］，［3,5)上是增函数.
(1)利用图象研究函数的单调性是常用的解题方法.但要注意函数的定义域.
(2)写单调区间时，不连续的单调区间必须分开写，不能用“∪”符号连接它们.
如函数y＝ ，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，不能笼统地说，函数在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减，而只能说函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上递减.因为若在(－∞，0)∪(0，＋∞)[JP4]上递减，对－1<1，则有f(－1)>f(1)，而事实上f(－1)(3)求函数的单调区间不能忽视定义域，单调区间应是定义域的子集.
2.求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝－x2＋3x－2；
(2)f(x)＝3|x|.
函数单调性的应用
已知函数 ，x∈［2,5］.
(1)判断该函数在区间［2,5］上的单调性，并给予证明；
(2)求该函数在区间［2,5］上的最大值与最小值.
【思路点拨】　解答本题可先利用定义证明f(x)的单调性，在此基础上利用单调性解答最值.
(1)运用函数单调性求最值是求解函数最值问题的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法.
(2)函数的最值与单调性的关系
①若函数在闭区间［a，b］上是减函数，则f(x)在［a，b］上的最大值为f(a)，最小值为f(b).
②若函数在闭区间［a，b］上是增函数，则f(x)在［a，b］上的最大值为f(b)，最小值为f(a).
1.解读函数单调性的定义
(1)定义中的关键词：
①“定义域I内某个区间D”，即函数的单调区间是其定义域的子集.单调性是与“区间”紧密相关的，一个函数在不同区间可以有不同的单调性；
②“对于…”，“任意…”，“都有…”，“对于”即两个自变量x1，x2，必须取自给定的区间；“任意”即不能用特殊值代替；“都有”即只要x1＜x2，就必须有f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2).
(2)函数单调性的刻画：
①图形刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)，它的图象若从左向右连续上升(下降)，则称函数在该区间上是单调递增(减)的；
②定性刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)，若函数值随自变量的增大而增大(减小)，则称函数在该区间上是单调递增(减)的.
2.判定函数单调性的常见方法
(1)定义法.这是证明或判定函数单调性的常用方法.
(2)图象法.
根据函数图象的升、降情况进行判断.
(3)直接法.
运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出.直接判断函数的单调性，可用到以下结论：
①函数y＝－f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反.
②函数f(x)恒为正或恒为负时，函数y＝ 与y＝f(x)的单调性相反.
③在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等.
【错因】　出现上述错误解法的原因主要为不清楚抽象函数的定义域，在抽象函数中满足函数关系式的自变量首先应在定义域内，这是一个极易被忽视也是极易出现错误的地方，也就是说变量x首先应满足－1≤x－2≤1，－1≤1－x≤1，在此基础上利用单调性的定义将“ f ”符号脱掉.
1.函数y＝－x2的单调增区间为 (　　)
?A.?(－∞，0］　　 B.?［0，＋∞)
?C.?(0，＋∞) ? D.?(－∞，＋∞)
【答案】　?A?
2.已知函数y＝f(x)定义在［－2,1］上，且有f(－1)＞f(0)，则下列判断正确的是 (　　)
?A.?f(x)必为［－2,1］上的单调增函数
?B.?f(x)必为［－2,1］上的单调减函数
?C.?f(x)不是［－2,1］上的单调减函数
?D.?f(x)不是［－2,1］上的单调增函数
【解析】　不能根据某两个点处的函数值的大小确定函数的单调性.
【答案】　?D?
3.如图所示，函数y＝f(x)的单调递增区间有　　　　，递减区间有　　　　.
【解析】　结合图象可知，函数y＝f(x)在区间(－∞，－2］，［0,1］上是减函数，在［－2,0］及［1，＋∞)上是增函数.
【答案】　［－2,0］，［1，＋∞)　(－∞，－2］，［0,1］
4.用增函数定义证明f(x)＝ax＋b(a＞0)是(－∞，＋∞)上的增函数.
【证明】　设x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x2)－f(x1)＝ax2＋b－(ax1＋b)＝ax2－ax1＝a(x2－x1).
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，又a＞0，∴f(x2)－f(x1)
＝a(x2－x1)＞0，∴f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数.