7.5三角形的内角和 同步达标测评 2021-2022学年北师大版八年级数学上册（word版含解析）

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《7.5三角形的内角和》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共15小题满分45分）
1．BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
2．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，若∠A＝70°，则∠BOC的度数为（　　）
A．125° B．130° C．135° D．140°
3．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若∠DBC＝54°，则∠A的度数为（　　）
A．36° B．44° C．27° D．54°
4．如图，在△ABC中，∠A＝64°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2，…，∠A3BC与∠A3CD的平分线相交于点A4，得∠A4，则∠A4的度数为（　　）
A．5° B．4° C．8° D．16°
5．如图，点A、C在∠FBD的两条边BF、BD上，BE平分∠FBD，CE平分∠ACD，连接AE，若∠BEC＝35°，则∠FAE的度数为（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
6．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　）
A．90° B．100° C．110° D．120°
7．如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
8．已知：如图所示，将△ABC的∠C沿DE折叠，点C落在点C'处，若设∠C＝α，∠AEC′＝β，∠BDC'＝γ，则下列关系成立的是（　　）
A．2α＝β+γ B．α＝β+γ C．α+β+γ＝180° D．α+β＝2γ
9．如图，在△ABC中，∠A＝30°，若沿图中虚线截去∠A，则∠1+∠2＝（　　）
A．150° B．200° C．210° D．240°
10．如图，三角形ABC中，角平分线BE、CD分别平分∠ABC和∠ACB相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB＝∠CGE．其中正确的结论是（　　）
A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①③
11．如图，在竖直墙角AOB中，可伸长的绳子CD的端点C固定在OA上，另一端点D在OB上滑动，在保持绳子拉直的情况下，∠BOE＝30°，∠BDC的平分线DF与OE交于点E，∠DCO＝α，当CE⊥DE时，则2∠OEC+α＝（　　）
A．120° B．135° C．150° D．152°
12．如图，射线BD，AE分别是△ABC的外角∠ABF，∠CAG的角平分线，射线BD与直线AC交于点D，射线AE与直线BC交于点E，若∠BAC＝∠ABC+102°，∠D＝∠E+27°，则∠ACB的度数为（　　）
A．39° B．40° C．41° D．42°
13．如图，在△ABC中，∠B＝28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（　　）
A．42° B．46° C．52° D．56°
14．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，则∠DFB的度数为（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
15．如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于点G，若∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A的度数为（　　）
A．50° B．55° C．70° D．80°
二．填空题（共6小题满分30分）
16．如图，∠MAN＝100°，点B，C是射线AM．AN上的动点，∠ACB的平分线和∠MBC的平分线所在直线相交于点D，则∠BDC的大小为　 　．
17．如图，在△ABC中，∠F＝16°，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC，∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠A＝　 　．
18．如图，△ABC的两条外角平分线AP，CP相交于点P，PH⊥AC于点H．若∠ABC＝∠ACB＝60°，则下列结论：①∠ABP＝30°；②∠APC＝60°；③PA∥BC，其中正确的结论有 　 　．（填序号）
19．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，…，若∠A＝α，则∠A2021为　 　．
20．如图，将△ABC沿DE、DF翻折，使顶点B、C都落于点G处，且线段BD、CD翻折后重合于DG，若∠AEG+∠AFG＝54°，则∠A＝　 　度．
21．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE交于点M．若MN⊥BC于N，∠A＝60°，则∠1﹣∠2＝　 　度．
三．解答题（共4小题满分45分）
22．如图，在△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DF平分∠ADE，BF平分∠ABC．设∠A＝n°，求∠F的度数（用含n的式子表示）．
23．已知在△ABC中，图1，图2，图3中的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O．
（1）如图1，点O是△ABC的两个内角平分线的交点，猜想∠O与∠A之间的数量关系，并加以证明．
（2）请直接写出结果．如图2，若∠A＝60°，△ABC的内角平分线与外角平分线交于点O，则∠O＝　 　；如图3，若∠A＝60°，△ABC的两个外角平分线交于点O，则∠O＝　 　．
24．嘉琪在学习过程中，对教材的一个有趣的问题做如下探究：
【习题回顾】
已知：如图1，在△ABC中，∠A＝40°，角平分线BO、CO交于点O．求∠BOC的度数．
（1）请直接写出∠BOC＝　 　．
【变式思考】
（2）若∠A＝α，请猜想∠BOC与α的关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）已知：如图2，在△ABC中，角平分线BO、CO交于点O，OD⊥OB，交边BC于点D，作∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．若∠F＝β，猜想∠BAC与β的关系，并说明理由．
25．∠MOQ＝90°，点A，B分别在射线OM、OQ上运动（不与点O重合）．
（1）如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO＝40°，求∠AIB的度数．
（2）如图2，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI于点D．
①若∠BAO＝40°，则∠ADB＝　 　°；
②点A、B在运动的过程中，∠ADB是否发生变化，若不变，试求∠ADB的度数；若变化，请说明变化规律．
参考答案
一．选择题（共15小题，满分45分）
1．解：∵CP是∠ACM的角平分线，∠ACP＝90°，
∴∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠ACB＝80°，
∵BP是∠ABC的角平分线，∠ABP＝20°，
∴∠CBP＝∠ABP＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠ACB﹣∠ACP
＝180°﹣20°﹣80°﹣50°
＝30°，
故选：A．
2．解：∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，
∵BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°．
故选：A．
3．解：∵BD⊥CD，
∴∠D＝90°．
∵∠DBC＝54°，
∴∠DCB＝90°﹣54°＝36°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝72°．
∵∠A＝∠ABD，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A+∠A+54°+72°＝180°．
∴∠A＝27°．
故选：C．
4．解：∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1BC＝，，
由三角形的外角性质得，
∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，
∴，
＝，
∴∠A1＝＝32°，
同理∠A4＝＝4°，
故选：B．
5．解：∵BE平分∠FBD，CE平分∠ACD，
∴∠ABC＝2∠EBD，∠ACD＝2∠ECD，AE平分∠FAC，
∵∠ACD＝∠ABC+∠BAC，∠ECD＝∠EBC+∠BEC，
∴2∠ECD＝2∠EBD+∠BAC，2∠ECD＝2∠EBD+2∠BEC，
∴∠BAC＝2∠BEC，
∵∠BEC＝35°，
∴∠BAC＝2×35°＝70°，
∵∠BAC+∠FAC＝180°，
∴∠FAC＝180°﹣70°＝110°，
∵AE平分∠FAC，
∴∠FAE＝∠FAC＝55°．
故选：C．
6．解：如图，连接AA'，
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，
∴∠A'BC＝∠ABC，∠A'CB＝∠ACB，
∵∠BA'C＝120°，
∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BAC＝180°﹣120°＝60°，
∵沿DE折叠，
∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A，
∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA'，∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'，
∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×60°＝120°，
故选：D．
7．解：∵∠B＝40°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝110°，
由折叠的性质得，∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，∠ADE＝∠ADC，
∵DE∥AB，
∴∠BAE＝∠E＝30°，
∴∠CAD＝40°，
∴∠ADE＝∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝110°，
故选：B．
8．解：由折叠的性质知：∠C＝∠C′＝α．
∵∠AEC′+∠CEC′＝180°，∠BDC′+∠CDC′＝180°，
∴β＝180°﹣∠CEC′，γ＝180°﹣∠CDC′．
∴β+γ＝360°﹣∠CEC′﹣∠CDC′．
∵∠C+∠CEC′+CDC′+∠C′＝360°，
∴2α＝360°﹣∠CEC′﹣CDC′．
∴β+γ＝2α．
故选：A．
9．解：如图：∠1+∠3＝180°，∠2+∠4＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，
∵∠A+∠3+∠4＝180°，∠A＝30°，
∴∠3+∠4＝150°，
∴∠1+∠2＝210°．
故选：C．
10．解：①∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故①正确；
②∵∠CEG＝∠ACB，而∠GEC与∠GCE不一定相等，
∴CA不一定平分∠BCG，故②错误；
③∵∠A＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD＝90°．
∵EG∥BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝∠GCD，故③正确；
④∵∠ABC+∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB，BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，
∴∠DFB＝∠EBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝45°，
∵∠CGE＝90°，
∴∠DFB＝∠CGE，故④正确．
综上所述，正确的有：①③④．
故选：A．
11．解：由题意得：∠CDO＝90°﹣α，
∴∠BDC＝180°﹣∠CDO＝90°+α，
∵∠BDC的平分线DF与OE交于点E，
∴∠BDE＝∠CDE＝∠BDC＝45°+0.5α，
∵∠BDE是△DEO的一个外角，
∴∠DEO＝∠BDE﹣∠DOE
＝45°+0.5α﹣30°
＝15°+0.5α，
∵CE⊥DE，
∴∠OEC＝90°﹣∠DEO
＝75°﹣0.5α，
∴2∠OEC+α
＝2×（75°﹣0.5α）+α
＝150°﹣α+α
＝150°．
故选：C．
12．解：设∠ABC＝x，∠E＝y，则∠BAC＝x+102°，∠D＝y+27°．
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝78°﹣2x°．
∵AE平分∠CAG，
∴∠GAE＝＝＝39°﹣．
同理可得：∠DBF＝90°﹣．
∵∠GAE＝∠ABC+∠E，
∴39°﹣＝x+y．
∵∠DBF＝∠D+∠ACB，
∴90°﹣＝y+27°+78°﹣2x．
∴x＝18°．
∴∠ACB＝78°﹣2x＝78°﹣2×18°＝42°．
故选：D．
13．解：∵∠B＝28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，
∴∠D＝∠B＝28°，
∵∠1＝∠B+∠BEF，∠BEF＝∠2+∠D，
∴∠1＝∠B+∠2+∠D，
∴∠1﹣∠2＝∠B+∠D＝28°+28°＝56°，
故选：D．
14．解：如图：
∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，
∴∠CAE＝∠BAE，∠1＝∠2，
设∠CAE＝∠BAE＝x，∠C＝y，∠ABC＝3y，
由外角的性质得：
∠1＝∠BAE+∠G＝x+20，∠2＝∠ABD＝（2x+y）＝x+y，
∴x+20＝x+y，解得y＝40°，
∴∠1＝∠2＝（180°﹣∠ABC）＝×（180°﹣120°）＝30°，
∴∠DFB＝60°．
故选：C．
15．解：连接BC．
∵∠BDC＝140°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣140°＝40°，
∵∠BGC＝110°，
∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣110°＝70°，
∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，
∴∠GBD+∠GCD＝∠ABD+∠ACD＝30°，
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∴∠A＝180°﹣100°＝80°．
故选：D．
二．填空题（共6小题满分30分）
16．解：∵CD平分∠ACB，BE平分∠MBC，
∴∠ACB＝2∠DCB，∠MBC＝2∠CBE，
∵∠MBC＝2∠CBE＝∠A+∠ACB，∠CBE＝∠D+∠DCB，
∴2∠CBE＝∠D+∠DCB，
∴∠MBC＝2∠D+∠ACB，
∴2∠D+∠ACB＝∠A+∠ACB，
∴∠A＝2∠D，
∵∠A＝100°，
∴∠D＝50°．
故答案为：50°．
17．解：如图，
∵BF，CF分别平分∠EBC，∠ECQ，
∴∠5＝∠6，∠2＝∠3+∠4，
∵∠3+∠4＝∠5+∠F，2∠2＝2∠5+∠E，
∴2∠F＝∠E＝32°，
∵BE，CE分别平分∠MBC，∠BCN，
∴∠5+∠6＝，，
∴，
∵∠E＝180°﹣（∠5+∠6+∠1）＝32°，
∴∠5+∠6+∠1＝148°，
∴∠MBC+∠NCB＝2（∠5+∠6+∠1）＝296°，
∵BD，CD分别平分∠ABC，ACB，
∴∠DBC＝，，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠MBC+180°﹣∠NCB＝360°﹣（∠MBC+∠NCB）＝64°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣2（∠DBC+∠DCB）＝52°，
故答案为：52°．
18．解：如图，过P作PG⊥BD于点G，过P作PF⊥BE于点F，
∵PH⊥AC，PA、PC分别是∠DAC与∠ACE的平分线，
∴PG＝PH，PH＝PF，
∴PG＝PF，
∴BP是∠ABC的角平分线，
∴∠ABP＝＝30°，
故①正确，
∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝∠ACE＝120°，
∵PA、PC分别是∠DAC与∠ACE的平分线
∴∠PAC＝∠PCA＝60°，
∴∠APC＝60°，
故②正确，
∵∠APC＝∠PCE，
∴PA∥BC，
故③正确，
故答案为：①、②、③．
19．解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1，
∴∠A1＝∠A，
同理可得∠A2＝∠A1，∠A3＝∠A2，……
则∠A2021＝∠A＝．
故答案为：．
20．解：连接BG、CG，如图所示：
由折叠的性质得：BD＝CD＝GD，
∴∠BGC＝90°，∠GBC+∠GCB＝90°，
又由折叠的性质得：EG＝EB，FG＝FC，
∴∠EBG＝∠EGB，∠FGC＝∠FCG，
∵∠AEG＝2∠EBG，∠AFG＝2∠FCG，∠AEG+∠AFG＝54°，
∴2∠EBG+2∠FCG＝54°，
∴∠EBG+∠FCG＝27°，
∴∠ABC+∠ACB＝∠EBG+∠FCG+∠GBC+∠GCB＝27°+90°＝117°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣117°＝63°，
另一种解法：由题意得：∠EGF＝∠B+∠C＝180°﹣∠A＝∠A+∠AEG+∠AFG，
∴∠A＝．
故答案为：63．
21．解：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠MBC＝∠ABC，∠MCB＝∠ACB，
∴∠BMC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝120°，
∴∠1+∠BMN＝120°①，
∵MN⊥BC，
∴∠2+∠BMN＝90°②，
①﹣②得：∠1﹣∠2＝30°．
故答案为：30
三．解答题（共4小题满分45分）
22．解：∵DF平分∠ADE，BF平分∠ABC，
∴∠ADE＝2∠ADF，∠ABC＝2∠ABF，
∵DE∥BC，
∴∠BCD＝∠ADE，
∴∠BCD＝∠ADE＝2∠ADF，
∵∠ABF+∠A＝∠F+∠ADE，
∴∠ABF＝∠F+∠ADE﹣n°，
∠BCD＝∠A+∠ABC，
∴2∠ADF＝n°+2∠ABF，
∴2∠ADF＝n°+2（∠F+∠ADE﹣n°）
＝n°+2∠F+2∠ADE﹣2n°，
∴∠F＝n°．
23．解：（1 ）猜想：．
证明∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴，，
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝
＝
＝．
（2）如图2所示．∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACM
∴，∠ACO＝∠ACM．
∴∠O＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB
＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB﹣∠ACM．
∵∠ACM＝180°﹣∠ACB，
∴∠O＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB﹣（180°﹣∠ACB）
＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB﹣90°+∠ACB
＝90°﹣∠ABC﹣∠ACB
＝90°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝90°﹣（180°﹣∠A）
＝∠A．
当∠A＝60°时，
∠O＝30°．
故答案为：30°．
如图3所∵OB平分∠EBC，OC平分∠FCB，
∴∠CBO＝∠EBC，∠BCO＝∠BCF．
∴∠O＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB
＝180°﹣∠EBC﹣∠BCF．
∵∠EBC＝180°﹣∠ABC，∠BCF＝180°﹣∠ACB，
∴∠O＝180°﹣（180°﹣∠ABC）﹣（180°﹣∠ACB）
＝180°﹣90°+∠ABC﹣90°+∠ACB
＝∠ABC+∠ACB
＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠A）
＝90°﹣∠A．
当∠A＝60°时，
∠O＝60°．
故答案为：60°．
24．解：（1）110°
理由为∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∵角平分线BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝70°，
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝110°，
故答案为：110°，
（2）∠BOC＝90°+，
理由为∵∠A＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，
∵角平分线BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC++∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣α）＝90°﹣，
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90+，
故答案为：∠BOC＝90°+，
（3）∠BAC＝2β，
由（2）结论可知∠BOC＝90°+，
∴∠BAC＝2∠BOC﹣180°，
∵OB、BF分别平分∠ABC和∠ABE，
∴∠ABO＝∠ABC，∠ABF＝∠ABE，
∴∠OBF＝∠ABO+∠ABF＝（∠ABC+∠ABE）＝×180°＝90°，
∵OD⊥OB，
∴∠BOD＝90°，
∴BF∥OD，
∴∠COD＝∠F＝β，
∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝90°+β，
∵∠BAC＝2∠BOC﹣180°，
∴∠BAC＝2∠BOC﹣180°＝2β，
故答案为：∠BAC＝2β．
25．解：（1）∵MN⊥PQ，
∴∠AOB＝90°，
∵∠BAO＝40°，
∴∠ABO＝90°﹣∠OAB＝50°，
∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，
∴∠IBA＝∠ABO＝25°，∠IAB＝∠OAB＝20°，
∴∠AIB＝180°﹣（∠IBA+∠IAB）＝135°．
（2）①∵∠MBA＝∠AOB+∠BAO＝90°+40°＝130°，
∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，
∴∠CBA＝∠MBA＝65°，∠BAI＝∠BAO＝20°，
∵∠CBA＝∠D+∠BAD，
∴∠D＝45°，
故答案为：45．
②不变，
理由：∵∠D＝∠CBA﹣∠BAD＝∠MBA﹣∠BAO＝（∠MBA﹣∠BAO）＝∠AOB＝×90°＝45°，
∴点A、B在运动的过程中，∠ADB＝45°．