山东省济宁市邹城市平阳东路第二中学2021-2022学年高二上学期12月月考数学试题（Word版含答案）

邹城市平阳东路第二中学2021-2022学年高二上学期12月月考
数学试题
一、单选题
1．数列，，，，…的一个通项公式是（ ）
A．B．C．D．
2．顶点在原点，对称轴为轴，顶点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
3．在递增的等差数列中，，，则公差（ ）
A． B． C． D．或
4．在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直且相等，E是AB的中点，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列的前项和为，且满足，，若，则（ ）
A． B． C．10 D．
6．已知抛物线的焦点为， 点为抛物线上一点，点，则的最小值为 （ ）
A． B．2 C． D．3
7．一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆的轨迹方程是（ ）
A．（）B．（）C． D．
8．设分别是双曲线的左 右焦点，过点且垂直于轴的直线与双曲线M交于A B两点，若点满足，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．任意两个空间向量都共面
B．若向量，共线，则与所在直线平行
C．在空间直角坐标系中，点关于z轴的对称点坐标为
D．已知空间中向量，，，则对于空间中任意一个向量总存在实数x，y，z，使得
10．圆心在直线上，与直线相切，且被直线所截得的弦长为的圆的方程（ ）
A． B．
C． D．
11．[多选题]已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．若直线过点，则
C．若，则的最小值为
D．若，则线段的中点到轴的距离为
12．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ）
A．点的轨迹方程是
B．直线：是“最远距离直线”
C．平面上有一点，则的最小值为5.
D．点P的轨迹与圆：是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．已知空间中单位向量、，且，则的值为________.
14．数列的前n项的和，________．
15．将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为________．
16．已知椭圆的左 右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为___________.
五、解答题
17．已知等差数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的最大值及相应的的值.
18．已知抛物线C的方程是.
（1）求C的焦点坐标和准线方程；
（2）直线l过抛物线C的焦点且倾斜角为，与抛物线C的交点为A，B，求的长度.
19．四棱锥的底面是梯形，，，平面，，，M为线段的中点
（1）求二面角的余弦值
（2）线段上是否存在一点N，使平面？若存在，请确定点N的位置；若不存在，请说明理由．
20．为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了两个观测站（点在点、点之间），它们到平台的距离分别为海里和海里，记海平面上到两观测站距离，之比为的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区（如图）．
（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求曲线的方程；
（2）某日在观测站处发现，在该海上平台正南海里的处，有一艘轮船正以每小时海里的速度向北偏东方向航行，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，说明理由；如果进入，则它在安全预警区中的航行时间是几小时．
21．已知数列满足，且.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）记，数列的前n项和为.
22．已知点，且，满足条件的点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）是否存在过点的直线，直线与曲线相交于两点，直线与轴分别交于两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
邹城市平阳东路第二中学2021-2022学年高二上学期12月月考
数学试题参考答案
1．A 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D
7．D
【详解】
设动圆的半径为，由题意知，圆的圆心坐标为，半径为4．动圆与圆相切有两种情况，即内切或外切，所以，
所以，即动点到两定点的距离之差为常数4，所以点在以，为焦点的双曲线上，所以，，所以，所以动圆的轨迹方程是．
故选：D.
8．B
【详解】
解：， ，为钝角，
，，又，，
，或（舍去）.
9．AC 10．CD
11．BCD
易知点的坐标为，选项A错误；
根据抛物线的性质知，过焦点时，，选项B正确；
若，则过点，则的最小值即抛物线通径的长，
为，即，选项C正确，
抛物线的焦点为，准线方程为，
过点，，分别作准线的垂线，，垂足分别为，，，
所以，．所以，
所以线段，
所以线段的中点到轴的距离为，选项D正确．
故选：BCD
12．ABC
设，因为点到点的距离是点到直线的距离的一半，所以，化简得，故A正确；
联立方程可得，解得，故存在，所以直线：是“最远距离直线”，故B正确；
过P作PB垂直直线，垂足为B，则由题可得，则，则由图可知，的最小值即为点A到直线的距离5，故C正确；
由可得，即圆心为，半径为1，易得点P的轨迹与圆交于点，故D错误.
故选：ABC.
13．
14.．
15．
16．
如图，
由为椭圆上任意一点，则
又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号），
∴，
当且仅当M、N、E、共线时等号成立.
∵，，则，
∴的最小值为．
故答案为：．
17．解：（1）在等差数列中，∵,
∴，解得，∴；
（2）∵，
∴ ，
∴当或时，有最大值是20
18．
（1）抛物线的标准方程是，焦点在轴上，开口向右，，
∴，∴焦点为，准线方程：.
（2）
∵直线l过抛物线C的焦点且倾斜角为，，
∴直线L的方程为，
代入抛物线化简得，
设，则，
所以．
故所求的弦长为12．
19．解（1）∵面，面，
∴，，又，
∴可构建如下图示的空间直角坐标系，则，
∴，若是面的一个法向量，
∴，令，则，
显然是面的一个法向量，
∴，故锐二面角的余弦值为.
（2）
假设存在N使平面，，则，，
∴，由（1）是面的一个法向量，
∴，即，
∴当时平面.
20．解（1）设，则由题意，根据题意可知，
，，曲线的方程为:
（2）
在该海上平台正南海里处,，
轮船向北偏东方向航行, 轮船航行直线的倾斜角为，即直线的斜率为，
轮船航行直线方程：，即.
曲线的方程为: ,圆心，半径为
圆心到直线的距离,
如果轮船不改变航向，轮船一定会进入安全预警区.
直线被圆截得的弦长
轮船的速度为每小时海里，它在安全预警区中的航行时间
答：如果轮船不改变航向，轮船一定会进入安全预警区，它在安全预警区中的航行时间为个小时．
21．
（1）证明
，
，即，
数列是以为公差的等差数列.
（2）由（1）可知数列是以为公差的等差数列，且，
，
，
①当n为奇数时，
②当n为偶数时，
22．
解：设，
由， ，
可得，即为，
由，可得的轨迹是以为焦点，且的椭圆，
由，可得，可得曲线的方程为；
假设存在过点的直线l符合题意．
当直线的斜率不存在，设方程为，可得为短轴的两个端点，
不成立；
当直线的斜率存在时，设方程为，
由，可得，即，
可得，化为，
由可得，
由在椭圆内，可得直线与椭圆相交，
，
则
化为，即为，解得，
所以存在直线符合题意，且方程为或．