大丰区第二高级中学校2021-2022学年高一上学期期中考试
数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．已知全集U={1,2,3,4}，集合A={1,2}，B={2,4}，则BCRA=( )
A． B． C． D．
2．已知命题p： n∈N，n2>3，则﹁p为( )
A． n∈N，n2≤3 B． x∈N，n2≤3
C． n∈N，n2>3 D． n∈N，n2＝3
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设b
A．a－c>b－d B．ac>bd
C．a＋c>b＋d D．a＋d>b＋c
5．函数y＝x2－8x＋16的零点是( )
A．(0,4) B．(4,0) C．4 D．8
6．声强是表示声波强度的物理量，记作I．由于声强I的变化范围非常大，为方便起见，引入声强级的概念，规定声强级L＝，其中W/m2，声强级的单位是贝尔，贝尔又称为1分贝．生活在30分贝左右的安静环境有利于人的睡眠，而长期生活在90分贝以上的噪音环境中会严重影响人的健康．根据所给信息，可得90分贝声强级的声强是30分贝声强级的声强的
A．3倍 B．103倍 C．109倍 D．106倍
7．若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．函数y＝的大致图象是( )
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．下列不等式的解集为R的有( )
A．x2＋x＋1≥0 B．x2－2x＋>0
C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<1
10．已知集合，若，则实数的值可以是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．《几个原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理成定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为，则该图形可以完成的无字证明有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. ___________．
14.已知集合A＝{x|y＝}，若函数f(x)＝－x，x∈A，则函数f(x)的值域是________．
15．若对于一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________．
16．已知关于x的一元二次不等式的解集为，且，，，，则的最小值为_______．
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余题目各12分，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本题满分10分)
（1）解下列不等式：；
（2）比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．
18. (本小题满分12分)
（1）已知函数f(x)=，求函数f(x)的定义域；
（2）若关于x的不等式ax2+bx﹣1>0（a，b∈R）的解集为（3，4），求a+b的值。
19. (本小题满分12分)
已知函数f(x)＝1＋(－2（1）用分段函数的形式表示函数f(x)；
（2）画出函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的值域．
20. (本小题满分12分)
已知集合，集合．
现有三个条件：条件①； 条件②； 条件③．
请从上述三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并求解下列问题：
（1）若，求；
（2）若______，求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个选择的解答计分．
21. (本题满分12分)
已知函数f(x)＝.
（1）求f(2)与，f(3)与；
（2）由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与有什么关系吗？证明你的发现；
（3）求的值．
22. （本题满分12分）
在数学探究活动中，某兴趣小组合作制作一个工艺品，设计了如图所示的一个窗户，其中矩形ABCD的三边AB，BC，CD由长为8厘米的材料弯折而成，BC边的长为2t厘米(0（1）求h与t的关系式；
（2）要使得窗户的高最小，BC边应设计成多少厘米
（3）要使得窗户的高与BC长的比值达到最小，BC边应设计成多少厘米 大丰区第二高级中学校2021-2022学年高一上学期期中考试
数学答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．已知全集U={1,2,3,4}，集合A={1,2}，B={2,4}，则BCRA=( )
A． B． C． D．
【答案】B
2．已知命题p： n∈N，n2>3，则﹁p为( )
A． n∈N，n2≤3 B． x∈N，n2≤3
C． n∈N，n2>3 D． n∈N，n2＝3
【答案】A
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
4．设bA．a－c>b－d B．ac>bd
C．a＋c>b＋d D．a＋d>b＋c
答案 C
5．函数y＝x2－8x＋16的零点是( )
A．(0,4) B．(4,0)
C．4 D．8
答案 C
【解析】，因为，
当时，集合，满足；
当时，集合，
由，得或，解得或，
综上，实数的取值集合为.
6．声强是表示声波强度的物理量，记作I．由于声强I的变化范围非常大，为方便起见，引入声强级的概念，规定声强级L＝，其中W/m2，声强级的单位是贝尔，贝尔又称为1分贝．生活在30分贝左右的安静环境有利于人的睡眠，而长期生活在90分贝以上的噪音环境中会严重影响人的健康．根据所给信息，可得90分贝声强级的声强是30分贝声强级的声强的
A．3倍 B．103倍 C．109倍 D．106倍
【答案】D
【解析】由题意L＝，所以，则，
当30分贝时，对应的声强级L=3，即声波强度为；
当90分贝时，对应的声强级L=9，即声波强度为
所以倍．
7．若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，两个正实数x，y满足，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
又由恒成立，可得，即，
解得，即实数m的取值范围是．
8．函数y＝的大致图象是( )
答案 A
解析 y＝的定义域为{x|x≠－1}，排除C，D，
当x＝0时，y＝0，排除B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9.下列不等式的解集为R的有( )
A．x2＋x＋1≥0 B．x2－2x＋>0
C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<1
答案 AC
解析 A中Δ＝12－4×1<0.满足条件；
B中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R；
C中Δ＝62－4×10<0.满足条件；
D中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．
10. 已知集合，若，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】
由题得，再对分两种情况讨论，结合集合的关系得解.
【详解】
因为，所以.
由得，
当时，方程无实数解，所以，满足已知；
当时，，令或2，所以或.
综合得或或.
故选：ABD
11.下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
12.《几个原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理成定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为，则该图形可以完成的无字证明有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． ___________．
【答案】2
14．已知集合A＝{x|y＝}，若函数f(x)＝－x，x∈A，则函数f(x)的值域是________．
答案 (－∞，2]
解析 ∵A＝{x|y＝}＝{x|x≥－2}，
∴－x≤2，即函数f(x)的值域是(－∞，2]．
15．若对于一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________．
【答案】．
【解析】当时，，满足题意；
当时，则，解得：；
综上所述：的取值范围为．
16．已知关于x的一元二次不等式的解集为，且，，，，则的最小值为_______．
【答案】．
【解析】由题意知，且，所以，所以
又不等式的解集为，所以
令，则
所以，当且仅当时取等号．
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余题目各12分，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本题满分10分)
（1）解下列不等式：；
（2）比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．
解：（1）原不等式可转化为，
解不等式组可得x≤－1或x>3.
即知原不等式的解集为．………5分
（2）(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋.………10分
因为(x＋)2≥0，所以(x＋)2＋≥>0，所以(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0，
所以2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2.
18.(本小题满分12分)
（1）已知函数f(x)=，求函数f(x)的定义域；
（2）若关于x的不等式ax2+bx﹣1>0（a，b∈R）的解集为（3，4），求a+b的值。
解：（1）[-3,-2)(-2,+)………6分
………12分
（严格要求解题规范）
19．（本题满分12分）
已知函数f(x)＝1＋(－2(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；
(2)画出函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的值域．
解 (1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1， ………2分
当－2所以f(x)＝ ………6分
(2)函数f(x)的图象如图所示． ………10分
由图像知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)． ………12分
20.（本题满分12分）已知集合，集合．
现有三个条件：条件①； 条件②； 条件③．
请从上述三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并求解下列问题：
（1）若，求；
（2）若______，求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个选择的解答计分．
【解析】集合，
……2分
（1）若，，则 ………4分
（2）选①：，则， ……………6分
若，则，解得 ………8分
若，则，解得； ………10分
综上得； ………………………12分
选②：
若，则，解得 ……6分
若，则或解得或；……10分
综上得或． …………12分
选③：，则． …………6分
则解得 ……………10分
所以. …………12分
21.（本题满分12分）已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)与，f(3)与；
(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与有什么关系吗？证明你的发现；
(3)求的值．
解 (1)由f(x)＝＝1－，
所以f(2)＝1－＝，＝1－＝.
f(3)＝1－＝，＝1－＝. …………4分
(2)由(1)中求得的结果发现f(x)＋＝1.
证明如下：f(x)＋＝＋
＝＋＝1. …………8分
(3)由(2)知f(x)＋＝1，
∴f(2)＋＝1，f(3)＋＝1，
f(4)＋ ＝1，…，f(2 020)＋＝1.
∴=2020 …………12分
22.（本题满分12分）在数学探究活动中，某兴趣小组合作制作一个工艺品，设计了如图所示的一个窗户，其中矩形ABCD的三边AB，BC，CD由长为8厘米的材料弯折而成，BC边的长为2t厘米(0(1)求h与t的关系式；
(2)要使得窗户的高最小，BC边应设计成多少厘米
(3)要使得窗户的高与BC长的比值达到最小，BC边应设计成多少厘米
【解析】（1）将代入得，，
由AB＋BC＋CD＝8可知，， ……………………2分
所以，所以，． ………………4分
（2）由（1）知，，． ……………6分
所以当，即时，．
答：要使得窗户的高最小，BC边应设计成3厘米． ……………8分
（3）设窗户的高与BC长的比值为，则，
由基本不等式，得，
当且仅当，即时，取等号． ………………………10分
所以当，即时，．
答：要使得窗户的高与BC长的比值达到最小，BC边应设计成厘米．