江苏省盐城市大丰区第二高级中学校2022届高三上学期12月第二次月考数学试卷（Word版含答案）

大丰区第二高级中学校2022届高三上学期第二次月考
数学试题
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.）
1．已知集合，B＝{1，2，3，4}，则=( )
A．{1，2} B．{2，3} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4}
2．若复数满足(其中是虚数单位)，则( )
A. B. C.的虚部是 D.的实部是1
3．已知角A是△ABC的内角，则“”是“”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
4．已知向量，，且，则=( )
A. B. C.4 D.8
5．已知函数y＝f(x)的图象与函数的图象关于直线y＝x对称，函数g(x)是奇函数，且当x＞0时，g(x)＝f(x)＋x，则g(－4)＝( )
A．－18 B．－12 C．－8 D．－6
6．某校为了解学生体能素质，随机抽取了50名学生，进行体能测试，并将这50名学生成结整理得如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图．下列结论中不正确的是（　　）
A．这50名学生成绩在[80，100]内的人数占比为20%
B．这50名学生中成绩在[60，80）内的人数有26人
C．这50名学生成绩的中位数为70
D．这50名学生的平均成绩68.2（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）
7．设，，都是正数，且，那么( )
A. B. C. D.
8．若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积是球体积两倍时，该圆锥的高为（　　）
A．2 B． C． D．4
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
9．已知变量，之间的经验回归方程为，且变量，的数据如表所示，则下列说法正确的是( )
A.变量，之间呈正相关关系
B.变量，之间呈负相关关系
C.的值等于5
D.该回归直线必过点(9，4)
10.已知等比数列的各项均为正数，，，数列的前项积为，则( )
A.数列单调递增 B.数列单调递减
C.的最大值为 D.的最小值为
11．已知（1﹣2x）2021＝a0+a1x+a2x2+…+a2021x2021，则（　　）
A．展开式中所有项的系数和为1
B．展开式中二项系数最大项为第1010项
C．
D．a1+2a2+3a3+…+2021a2021＝4042
12.如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AB，AD，B1C1的中点，以下说法正确的是（　　）
A．三棱锥C﹣EFG的体积为2
B．A1C⊥平面EFG
C．异面直线EF与AG所成的角的余弦值为
D．过点E、F、G作正方体的截面，所得截面的面积是3
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(1－x)．若，则的值是
14. 党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”．为了响应报告精神，某师范大学5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作、若将这5名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为　 　．
15.如图，△ABC中点，D，E是线段BC上两个动点，且xy，则的最小值为 　 　．
16.已知四面体ABCD中，△ABD和△BDC是等边三角形，二面角A﹣BD﹣C为直二面角．若AB＝，则四面体ABCD外接球的表面积为 　 　．
四、解答题：（本题共6小题，10+12+12+12+12+12共70分.）
17.为了解观众对球类体育节目的收视情况，随机抽取了200名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看球类体育节目时间的频率分布直方图、2×2列联表(将日均收看球类体育节目时间不少于40分钟的观众称为“球迷”)．
(1)根据已知条件完成上图的2×2列联表；
(2)据此调查结果，是否有95%的把握认为“球迷”与性别有关
附：(其中n＝a＋b＋c＋d)．
临界值表：
P(χ2≥x0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18．设△ABC的内角A．B，C的对边分别为a，b，c，且满足bsin2A＋asinB＝0，点D为边BC上一点，AD⊥AC．
(1)求∠BAC的大小； (2)若AC＝4，AD＝3，求AB．
19.已知各项都为正数的数列满足．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）若，，求的通项公式．
20．在正四棱锥P﹣ABCD中，AB＝2，，E，F分别是AB，AD的中点，过直线EF的平面α分别与侧棱PB，PD交于点M，N．
（1）求证：MN∥BD；
（2）若EF＝2MN，求直线PA与平面α所成角的正弦值．
21．已知函数．
（1）若函数，求的极值； （2）证明：．
22．已知函数f（x）＝lnx﹣x+2sinx，f'（x）为f（x）的导函数，求证：
（1）f'（x）在（0，π）上存在唯一零点； （2）f（x）有且仅有两个不同的零点．
大丰区第二高级中学校2022届高三上学期第二次月考
数学试题参考答案
单选题：1.A 2.A 3.C 4.A 5.D 6.C 7.A 8.D
多选题：9.BCD 10.BC 11.ACD 12.BD
填空题：13. 3 14. 150 15. 8 16.
解答题
.
18.
19.证明：（1）各项都为正数的数列{an}满足an+2＝2an+1+3an，
得，an+1+an+2＝3（an+1+an），因为an+1+an >0
所以数列{an+an+1}是公比为3的等比数列；............................................................4分
（2）因为a1，a2，
所以a1+a2＝2，
由（1）知数列{an+an+1}是首项为2，公比为3的等比数列，
所以an+an+1＝2×3n﹣1，...................................................................6分
于是，0，
所以0，即an...................................................................12分
20.解：（1）证明：在△ABD中，因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥DB，
又因为EF 平面PBD，BD 平面PBD，
所以EF∥平面PDB，........................................................3分
因为EF 平面α，α∩平面[PDB＝MN，
∴EF∥MN，所以MN∥BD．...................................................................6分
（2）由EF＝2MN，可得，，
以正方形ABCD的中心为原点，OE为x轴方向，建立空间直角坐标系，
因为侧棱为，∴PO＝2，则A（1，﹣1，0），E（1，0，0），F（0，﹣1，0），B（1，1，0），P（0，0，2），
（﹣1，1，2），（﹣1，﹣1，0），（1，1，﹣2），（0，1，0），
（），（，，）．
设平面α的法向量为（x，y，z），
由可取，.............................................9分
则cos，.............................................10分
故直线PA与平面α所成角的正弦值为．.............................................12分
22.证明：（1）设g（x）＝f'（x），
当x∈（0，π）时，g'（x），
所以g（x）在（0，π）上单调递减，...................................................................2分
又因为，，
所以g（x）在上有唯一的零点α，
即f'（x）在（0，π）上存在唯一的零点α；...................................................................4分
（2）①由（1）可知，当x∈（0，α）时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，
当x∈（α，π）时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减，
所以f（x）在x∈（0，π）上存在唯一的极大值点α，且α∈，
所以f（α）＞f（），
又因为，
所以f（x）在（0，α）上恰有一个零点，
又因为f（π）＝lnπ﹣π＜2﹣π＜0，
所以f（x）在（α，π）上也恰有一个零点；...................................................................6分
②当x∈[π，2π）时，sinx≤0，f（x）≤lnx﹣x，
设h（x）＝lnx﹣x，则h'（x），
故h（x）在[π，2π）上单调递减，
所以h（x）≤h（π）＜0，
故当x∈[π，2π）时，f（x）≤h（x）≤h（π）＜0恒成立，
所以h（x）在[π，2π）上没有零点；...................................................................9分
③当x∈[2π，+∞）时，f（x）≤lnx﹣x+2，
令m（x）＝lnx﹣x+2，
则m'（x），
故m（x）在[2π，+∞）上单调递减，
所以m（x）≤m（2π）＜0，
则当x∈[2π，+∞）时，f（x）≤m（x）≤m（2π）＜0恒成立，
所以f（x）在[2π，+∞）上没有零点．...................................................................12分
综上所述，f（x）有且仅有两个零点．
高三第二次学情调研数学试题 （共4页）