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公因数和最大公因数
苏教版 五年级下
新知导入
1.说一说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。
8×7=56
32÷4=8
8和7是56的因数，56是8和7的倍数。
4和8是32的因数，32是4和8的倍数。
新知导入
2.填一填。
12=（ ）×（ ）=（ ）×（ ）=（ ）×（ ）
12的全部因数：________________________________
18=（ ）×（ ）=（ ）×（ ）=（ ）×（ ）
18的全部因数：________________________________
1 12
2 6
3 4
1，2，3，4，6，12
1 18
2 9
3 6
1，2，3，6，9，18
找一个数的因数，可以按从小到大的顺序，利用乘法一对一对地找。
新知导入
在客厅的长方形地面上要铺上正方形的瓷砖，就要用到一些数学知识才能算出需要购买多少块瓷砖。
新知讲解
用边长6厘米或4厘米的正方形纸片铺右边的长方形。
仔细观察，说说你发现了什么信息？
新知讲解
思考提示：
观察正方形纸片的边长和长方形的长、宽，哪种纸片能将长方形正好铺满，哪种不能正好铺满？分小组讨论、操作，并说说你的理由。
新知讲解
12÷6=2
18÷6=3
边长6厘米的正方形纸片能正好铺满。
新知讲解
12÷4=3
18÷4=4……2
边长4厘米的正方形纸片不能正好铺满。
新知讲解
观察列出的算式，说说正方形的边长与长方形的长与宽有什么关系，看看你会什么新的发现？
12÷6=2 18÷6=3
边长6是长方形两边12和18的因数，所以能正好铺满。
新知讲解
观察列出的算式，说说正方形的边长与长方形的长与宽有什么关系，看看你会什么新的发现？
12÷4=3 18÷4=4……2
边长4是12的因数，但不是18的因数，就不能正好铺满。
新知讲解
想一想，还有哪些边长是整厘米数的正方形纸片也能正好铺满这个长方形？与同学交流。
12÷1=12
18÷1=18
12÷2=6
18÷2=9
12÷3=4
18÷3=6
边长1厘米、2厘米或3厘米的正方形纸片都能正好铺满。
新知讲解
你发现正方形边长的厘米数符合什么条件，就能把这个长方形正好铺满？
只要边长的厘米数既是12的因数，又是18的因数，就能正好铺满。
1、2、3和6既是12的因数，又是18的因数，它们是12和18的公因数。
新知讲解
4是12和18的公因数吗？为什么不是？
4是12的因数，但不是18的因数，所以4不是12和18的公因数。
两个数公有的因数，叫作这两个数的公因数。
新知讲解
8和12的公因数有哪些？其中最大的是几？
分别列举出8和12的所有因数，再找一找。
8的因数：1，2，4，8。
12的因数：1，2，3，4，6，12。
8和12的公因数有1，2，4，其中最大的是4。
新知讲解
8和12的公因数有哪些？其中最大的是几？
先找出8的因数，再从8的因数中找12的因数。
8的因数：1，2，4，8。
其中1，2，4也是12的因数。
8和12的公因数有1，2，4，其中最大的是4。
新知讲解
8的因数：1，2，4，8。
其中1，2，4也是12的因数。
8和12的公因数有1，2，4，其中最大的是4。
为什么先找出8的因数，再从8的因数中找12的因数？
公因数一定在8的因数里，所以只要在8的因数里找出也是12的因数的数，那就是它们的公因数。
新知讲解
还可以先找出12的因数，再从12的因数中找8的因数。
12的因数：1，2，3，4，6，12。
其中1，2，4也是8的因数。
8和12的公因数有1，2，4，其中最大的是4。
新知讲解
8和12的公因数有1，2，4，其中最大的是4。4就是8和12的最大公因数。
两个数共有的因数叫做公因数，其中最大的一个就是这两个数的最大公因数。
新知讲解
8的因数：1 2 4 8
12的因数：1 2 3 4 6 12
圈出8和12相同的因数。
还可以用右图表示8和12的公因数。
8的因数
8
1 2
4
12的因数
3 6 12
8和12的公因数
新知讲解
8的因数
8
1 2
4
12的因数
3 6 12
8和12的公因数
从图上看，哪些数是8的因数，哪些数是12的因数？哪几个数是8和12的公因数，最大公因数是几？
课堂练习
1.找出24和36的最大公因数。
24的因数：______________________________________
16的因数：____________________________________
24和16的公因数：_________________________________
24和16的最大公因数：____________________________________
1，2，3，4，6，8，12，24
1，2，4，8，16
1，2，4，8
8
课堂练习
2.先填一填，再说出15和20的最大公因数。
6的因数
1 2 3 6
15的因数
1 3 5 15
6和15的公因数
6的因数
2 6
15的因数
5 15
1 3
6和15的最大公因数是（ ）。
3
课堂练习
3.先分解质因数，然后按要求填一填。
8=（ ）×（ ）×（ ）
12=（ ）×（ ）×（ ）
8和12公有的质因数是（ ）。
8和12的最大公因数是（ ）。
2 2 2
2 2 3
2
4
两个数所有公有质因数的积，就是这两个数的最大公因数。
8和12的最大公因数与它们公有的质因数有什么关系？
课堂练习
4.找出下面各组数的最大公因数，说说你发现了什么？
（1）2和4 3和9 4和12
（2）1和5 7和8 11和13
2和4的最大公因数是2。
3和9的最大公因数是3。
4和12的最大公因数是4。
1和5的最大公因数是1。
7和8的最大公因数是1。
11和13的最大公因数是1。
课堂练习
如果两个数是倍数关系，较小数就是它们的最大公因数；
如果两个数只有公因数1，那么它们的最大公因数是1。
课堂练习
5.拓展练习：用正方形瓷砖正好把这面墙贴满，这样瓷砖的边长最大是多少分米？
60分米
42分米
42的因数：1，2，3，6，7，14，21，42
60的因数：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60
42和60的公因数：1，2，3，6
42和60的最大公因数：6
答：这样瓷砖的边长最大是6分米。
课堂总结
通过今天的学习，你有哪些收获？
我认识了公因数和最大公因数。
我还会求两个数的公因数和最大公因数了。
板书设计
公因数和最大公因数
公因数——两个数公有的因数
8的因数：1，2，4，8。
12的因数：1，2，3，4，6，12。
8和12的公因数有1，2，4，其中最大的是4。
最大公因数——公因数中最大的一个
作业布置
完成课本“练一练”第1、2题。
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《公因数和最大公因数》教学设计
课题 公因数和最大公因数 单元 第三单元 学科 数学 年级 五下
学习目标 1.结合教材的情境，理解和认识公因数和最大公因数，能用列举的方法求100以内两个数的公因数和最大公因数，能通过直观图理解两个数的因数及公因数之间的关系。2.在探索公因数和最大公因数意义的过程中，经历观察、分析、归纳等数学活动，进一步发展初步的推理能力。3.学会用公因数、最大公因数的知识解决简单的现实问题，体验数学与生活的密切联系，提高学习兴趣。
重点 理解公因数与最大公因数的意义，能用列举的方法求100以内两个数的公因数和最大公因数。
难点 掌握求公因数与最大公因数的。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 复习旧知1.说一说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。8×7=56 32÷4=82.填一填。12=（ ）×（ ）=（ ）×（ ）=（ ）×（ ）12的全部因数：___________________18=（ ）×（ ）=（ ）×（ ）=（ ）×（ ）18的全部因数：___________________揭示：找一个数的因数，可以按从小到大的顺序，利用乘法一对一对地找。二、导入新课师：随着人们生活水平的提高，家家户户的客厅都铺上了瓷砖。课件出示：师：在客厅的长方形地面上要铺上正方形的瓷砖，就要用到一些数学知识才能算出需要购买多少块瓷砖。铺地砖的叔叔就是这方面行家，那么大家想不想知道到底运用了什么数学知识呢？师：那我们先来学习铺一铺。 学生独自完成，然后集体订正。学生：想。 通过复习，检查学生掌握知识的情况，同时为后面学习新的知识打基础。 结合生活实际创设情境，感受数学与生活的紧密练习，提高学生学习数学的兴趣。
讲授新课 一、认识公因数。课件出示：用边长6厘米或4厘米的正方形纸片铺右边的长方形。师：仔细观察，说说你发现了什么信息？师：观察正方形纸片的边长和长方形的长、宽，哪种纸片能将长方形正好铺满，哪种不能正好铺满？分小组讨论、操作，并说说你的理由。反馈：（1）12÷6=2 18÷6=3边长6厘米的正方形纸片能正好铺满。（2）12÷4=3 18÷4=4……2边长4厘米的正方形纸片不能正好铺满。师：观察列出的算式，说说正方形的边长与长方形的长与宽有什么关系，看看你会什么新的发现？引导学生得出：边长6是长方形两边12和18的因数，所以能正好铺满。边长4是12的因数，但不是18的因数，就不能正好铺满。师：想一想，还有哪些边长是整厘米数的正方形纸片也能正好铺满这个长方形？与同学交流。反馈：12÷1=12 18÷1=1812÷2=6 18÷2=912÷3=4 18÷3=6边长1厘米、2厘米或3厘米的正方形纸片都能正好铺满。师：你发现正方形边长的厘米数符合什么条件，就能把这个长方形正好铺满？引导学生观察得出：只要边长的厘米数既是12的因数，又是18的因数，就能正好铺满。师：那么哪些数既是12的因数，又是18的因数？师指出：1、2、3和6既是12的因数，又是18的因数，也就是12和18公有的因数，我们称它们是12和18的公因数。师：4是1 2和18的公因数吗？为什么不是？反馈：4是12的因数，但不是18的因数，所以4不是12和18的公因数。师：先这样两个数公有的因数，叫作这两个数的公因数。探究求公因数和最大公因数的方法师：两个数公有的因数，是它们的公因数。那么你能找出8和12的公因数有哪些？其中最大的是几？想想可以怎么找。 反馈：（1）分别列举出8和12的所有因数，再找一找。8的因数：1，2，4，8。12的因数：1，2，3，4，6，12。8和12的公因数有1，2，4，其中最大的是4。先找出8的因数，再从8的因数中找12的因数。8的因数：1，2，4，8。其中1，2，4也是12的因数。8和12的公因数有1，2，4，其中最大的是4。师追问：为什么先找出8的因数，再从8的因数中找12的因数？反馈：我认为公因数一定在8的因数里，所以只要在8的因数里找出也是12的因数，就是它们的公因数。师：那也就是说，还可先找出……？师：能具体说说怎么找吗？反馈：12的因数：1，2，3，4，6，12。其中1，2，4也是8的因数。8和12的公因数有1，2，4，其中最大的是4。师：大家用不同的方法找出了8和12的公因数有1，2，4，其中最大的是4。4就是8和12的最大公因数。你能说说什么是两个数的最大公因数吗？引导学生得出：两个数共有的因数叫做公因数，其中最大的一个就是这两个数的最大公因数。三、用集合图表示公因数课件出示：8的因数：1，2，4，8。12的因数：1，2，3，4，6，12。师：圈出12和18相同的因数。根据学生的回答，课件出示：师：我们还可以用下图表示8和12的公因数课件出示：师：中间的部分表示什么意思？引导学生得出：中间的部分表示既是8的因数，又是12的因数，也就是8和12的公因数。根据学生的回答，完善集合圈。师：那么两边的部分各表示什么呢？引导学生得出：两边的部分各表示8和12独有的因数。师：你能填一填了吗？根据学生的回答，课件出示：师：从图上看，哪些数是8的因数，哪些数是12的因数？哪几个数是8和12的公因数，最大公因数是几？ 学生自由说说。 学生分组交流，然后集体反馈。学生独自观察，然后结合自己的认识自由说说。同伴相互交流，然后集体反馈。学生自由说说。学生：我发现1、2、3和6既是12的因数，又是18的因数。学生自由说说。学生分组交流，然后集体反馈。学生结合自己的理解自由说说。学生：还先找出12的因数，再从12的因数中找8的因数。学生自由说说。学生自由说说。学生自由说一说。学生独自观察，然后自由说说。学生自由说说。学生集体反馈。学生自由说说。 引导学生借助算一算、摆一摆等活动，直观认识公因数，使学生主动参加思考和探索活动，感受学习的收获，获得成功的体验。在进一步探究中，让学生感受到公因数的在具体环境中的意义，感受数学中的魅力，激发学生探究的积极性与兴趣。通过说一说，帮助学生深刻理解公因数的意义，为后面的进一步学习奠定基础。通过列举探索求公因数和最大公因数的方法，体会方法的合理和多样，培养学生能有条理地进行思考，发展分析、推理等能力。采用集合圈的方式表示两个数的公因数，渗透数形结合的思想，同时感受集合圈所带来的优势，提升学生的数感。
巩固运用 1.找一找。24的因数：__________________26的因数：________________24和36的公因数:______________24和36的最大公因数：________________2.先填一填，再说出15和20的最大公因数。 6和15的最大公因数是（ ）。3.先分解质因数，然后按要求填一填。8=（ ）×（ ）×（ ）12=（ ）×（ ）×（ ）8和12公有的质因数是（ ）。8和12的最大公因数是（ ）。说一说：8和12的最大公因数与它们公有的质因数有什么关系？4.找出下面各组数的最大公因数，说说你发现了什么？（1）2和4 3和9（2）1和5 7和85.拓展练习：用正方形瓷砖正好把这面墙贴满，这样瓷砖的边长最大是多少分米？ 学生独自完成，然后集体订正。 设计不同的练习题，检查学生掌握知识的情况，同时提高运用知识解决问题的能力。
课堂小结 通过今天的学习，你有哪些收获？ 学生自由说说。 利用说一说帮助学生回忆新知，整体感知。
板书 公因数和最大公因数 公因数——两个数公有的因数8的因数：1，2，4，8。12的因数：1，2，3，4，6，12。8和12的公因数有1，2，4，其中最大的是4。最大公因数——公因数中最大的一个 通过板书呈现本课的知识点，帮助学生建立完整的知识体系，形成知识框架。
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《公因数和最大公因数》导学单
【学习目标】
1.结合教材的情境，理解和认识公因数和最大公因数，能用列举的方法求100以内两个数的公因数和最大公因数，能通过直观图理解两个数的因数及公因数之间的关系。
2.在探索公因数和最大公因数意义的过程中，经历观察、分析、归纳等数学活动，进一步发展初步的推理能力。
3.学会用公因数、最大公因数的知识解决简单的现实问题，体验数学与生活的密切联系，提高学习兴趣。
【学习重点】理解公因数与最大公因数的意义，能用列举的方法求100以内两个数的公因数和最大公因数。
【学习难点】掌握求公因数与最大公因数的方法。
【知识链接】
1.说一说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。
8×7=56 32÷4=8
2.填一填。
12=（ ）×（ ）=（ ）×（ ）=（ ）×（ ）
12的全部因数：___________________
18=（ ）×（ ）=（ ）×（ ）=（ ）×（ ）
18的全部因数：___________________
我知道：找一个数的因数，可以按从小到大的顺序，利用（ ）法一对一对地找。
【合作探究】
一、认识公因数
1.用边长6厘米或4厘米的正方形纸片铺右边的长方形。
仔细观察，说说你发现了什么信息？
2.观察正方形纸片的边长和长方形的长、宽，哪种纸片能将长方形正好铺满，哪种不能正好铺满？分小组讨论、操作，并说说你的理由。
（1）12÷6=（ ） 18÷（ ）=（ ）
画一画：
我的结论：边长6厘米的正方形纸片能（ ）铺满。
（2）12÷4=（ ） 18÷（ ）=（ ）
画一画：
我的结论：边长4厘米的正方形纸片能（ ）铺满。
3.观察列出的算式，说说正方形的边长与长方形的长与宽有什么关系，看看你会什么新的发现？
我发现：边长6是长方形两边（ ）和（ ）的（ ）数，所以能（ ）铺满。
边长4是（ ）的（ ）数，但不是（ ）的（ ）数，就（ ）铺满。
4.想一想，还有哪些边长是整厘米数的正方形纸片也能正好铺满这个长方形？与同学交流。
（1）12÷（ ）=（ ） 18÷（ ）=（ ）
（2）12÷（ ）=（ ） 18÷（ ）=（ ）
（3）12÷（ ）=（ ） 18÷（ ）=（ ）
我发现：边长（ ）厘米、（ ）厘米或（ ）厘米的正方形纸片都能正好铺满。
5.你发现正方形边长的厘米数符合什么条件，就能把这个长方形正好铺满？
我发现：只要边长的厘米数既是12的（ ）数，又是18的（ ）数，就能（ ）铺满。
6.哪些数既是12的因数，又是18的因数？
（ ）、（ ）、（ ）和（ ）既是12的因数，又是18的因数，也就是12和18（ ）的因数，我们称它们是12和18的（ ）。
7.4是1 2和18的公因数吗？为什么不是？
我认为：4是（ ）的因数，但不是（ ）的因数，所以4（ ）12和18的公因数。
师：像这样两个数公有的因数，叫作这两个数的公因数。
二、探究求公因数和最大公因数的方法
1.8和12的公因数有哪些？其中最大的是几？想想可以怎么找。
（1）分别列举出8和12的所有（ ），再找一找。
8的因数：____________________
12的因数：____________________
8和12的公因数有____________________，其中最大的是_______。
（2）先找出8的因数，再从8的因数中找（ ）的因数。
8的因数：____________________
其中____________________也是12的因数。
8和12的公因数有____________________，其中最大的是______。
2.为什么先找出8的因数，再从8的因数中找12的因数？
我认为：（ ）一定在8的因数里，所以只要在8的因数里找出也是（ ）的因数，就是它们的公因数。
3.那也就是说，还可先找出（ ）的因数，再从（ ）的因数中找（ ）的因数。
12的因数：____________________
其中____________________也是8的因数。
8和12的公因数有____________________，其中最大的是______。
4.8和12的公因数有___________，其中最大的是___________。___________就是8和12的最大公因数。
5.什么是两个数的最大公因数？
两个数共有的因数叫做（ ），其中最大的一个就是这两个数的（ ）。
三、用集合图表示公因数
1.写出下面各数的因数。
8的因数：____________________
12的因数：____________________
2.圈出8和12相同的因数。
3.还可以用下图表示8和12的公因数。
（1）中间的部分表示既是（ ）的因数，又是（ ）的因数，也就是（ ）和（ ）的（ ）因数。
（2）两边的部分各表示8和12（ ）的因数。
（3）你能填一填了吗？
4.说一说：从图上看，哪些数是8的因数，哪些数是12的因数？哪几个数是8和12的公因数，最大公因数是几？
【达标检测】
一、先找出30的因数和20的因数，再填一填。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
（1）30的因数有______________________
（2）20的因数有______________________
（3）30和20的公因数______________________
（4）30和20的最大公因数_________
二、选一选。
1.最大公因数不是1的一组数是（ ）
A．11和12
B．15和5
C．37和20
D．100和1
2.最大公因数是12的两个数（ ）
A．24和36
B．3和4
C．24和48
D．6和12
三、求最大公因数。
5和13 28和7 16和24 20和25 30和18
四、解决问题。
（1）小正方形地的边长最大是多少米？
（2）这样分可以分成多少块？
参考答案
一、先找出30的因数和20的因数，再填一填。
（1）1、2、3、5、6、10、15、30；
（2）1、2、4、5、10、20；
（3）1、2、5、10
（4）10
二、选一选。
1.B 2.A
三、求最大公因数。
5和13的最大公因数是1。
28和7的最大公因数是7。
16和24的最大公因数是2×2×2=8。
20和25的最大公因数是5。
30和18的最大公因数是2×3=6。
四、解决问题。
（1）6米
（2）6块
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