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28.2解直角三角形（3）教案
课题 28.2解直角三角形（3） 单元 第28单元 学科 数学 年级 九年级（下）
学习目标 1.巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角、坡度问题。2.掌握方位角、坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与方位角、坡度有关的实际问题。3.培养学生用数学的意识，渗透数形结合的思想和方法。
重点 理解方位角、坡度和坡角的概念。
难点 利用方位角、坡度和坡角解决有关实际问题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题方位角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方位角。练一练：如图，海岛 C 在海岛 A 的北偏东 50° 方向，在海岛 B 的北偏西 40° 方向，则从海岛 C 看 A，B 两岛的视角∠ACB等于 。90° ( http: / / www. / ) 思考自议学生可相互交流，教师巡视，听取学生的看法、见解，随时参与讨论. 先让学生独立思考，教师再根据学生的完全情况确定评讲方法.
讲授新课 提炼概念典例精讲例1 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远 (结果取整数）？分析与解 易知P点正东方向与AC具有垂直关系，即图中PC丄AB，若记垂足为C，则图中出现了两个直角三角形APC和直角三角形BPC.而在Rt△APC中，知AP=80，∠APC=90°-65°=25°，故可求出线段PC的长，即由,得PC=AP· cos25°=80·cos25°≈72.505，因此在Rt△BPC中，由，得从而可得知海轮在B处时距离灯塔P约130海里.坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示。坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母i表示，则i==如图，坡度通常写成i=h:l的形式。※注意：①(坡度等于坡角的正切值)坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡. ②坡度的结果不是一个度数，而是一个比值，不要与坡角相混淆． 例2、如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：（1）坡角a和β;（2）斜坡AB的长（保留根号） 学生自主探究，得出结论. 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
课堂检测 四、巩固训练1. 如图，海上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方向，一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43°方向，则A、B两岛之间的距离为 ． (结果精确到0.1海里，参考数据：sin43°=0.68， cos43°=0.73，tan43°=0.93)33.5海里2.如图所示，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡 AB的坡度为1： ，斜坡AB的水平宽度BE= m，那么斜坡AB长为 m．1.63. 如图有一个古镇A，它周围800米内有古建筑，乡村路要由西向东修筑，在B点处测得古建筑A在北偏东60°方向上，向前直行1200米到达D点，这时测得古建筑A在D点北偏东30°方向上，如果不改变修筑的方向，你认为古建筑会不会遭到破坏？答案：AE= 米＞800米，所以古建筑会遭到破坏.4.如图，某滑板爱好者训练时的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将训练的斜坡的倾角由45°降为30°，已知原斜坡面AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．（1）改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB会加长多少米？（2）若斜坡的正前方能有3米长的空地就能保证安全，已知原斜坡AB的前方有6米长的空地，进行这样的改造是否可行？说明理由．（精确到0.01,参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）
课堂小结
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28.2解直角三角形（3） 学案
课题 28.2解直角三角形（3） 单元 第28单元 学科 数学 年级 九年级下册
学习目标 1.巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角、坡度问题。2.掌握方位角、坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与方位角、坡度有关的实际问题。3.培养学生用数学的意识，渗透数形结合的思想和方法。
重点 理解方位角、坡度和坡角的概念。
难点 利用方位角、坡度和坡角解决有关实际问题。
教学过程
导入新课 【引入思考】什么是方位角？ 。 练一练：如图，海岛 C 在海岛 A 的北偏东 50° 方向，在海岛 B 的北偏西 40° 方向，则从海岛 C 看 A，B 两岛的视角∠ACB等于 。 ( http: / / www. / )
新知讲解 提炼概念 （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； 典例精讲 例1 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远 (结果取整数）？坡角： 。坡度（坡比）： 。 例2、如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：（1）坡角a和β;（2）斜坡AB的长（保留根号）
课堂练习 巩固训练1. 如图，海上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方向，一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43°方向，则A、B两岛之间的距离为 ． (结果精确到0.1海里，参考数据：sin43°=0.68， cos43°=0.73，tan43°=0.93)2.如图所示，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡 AB的坡度为1： ，斜坡AB的水平宽度BE= m，那么斜坡AB长为 m．3. 如图有一个古镇A，它周围800米内有古建筑，乡村路要由西向东修筑，在B点处测得古建筑A在北偏东60°方向上，向前直行1200米到达D点，这时测得古建筑A在D点北偏东30°方向上，如果不改变修筑的方向，你认为古建筑会不会遭到破坏？ 4.如图，某滑板爱好者训练时的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将训练的斜坡的倾角由45°降为30°，已知原斜坡面AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．（1）改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB会加长多少米？（2）若斜坡的正前方能有3米长的空地就能保证安全，已知原斜坡AB的前方有6米长的空地，进行这样的改造是否可行？说明理由．（精确到0.01,参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）答案引入思考指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方位角。练一练：如图，海岛 C 在海岛 A 的北偏东 50° 方向，在海岛 B 的北偏西 40° 方向，则从海岛 C 看 A，B 两岛的视角∠ACB等于 。90°提炼概念典例精讲 例1分析与解 易知P点正东方向与AC具有垂直关系，即图中PC丄AB，若记垂足为C，则图中出现了两个直角三角形APC和直角三角形BPC.而在Rt△APC中，知AP=80，∠APC=90°-65°=25°，故可求出线段PC的长，即由,得PC=AP· cos25°=80·cos25°≈72.505，因此在Rt△BPC中，由，得从而可得知海轮在B处时距离灯塔P约130海里.坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示。坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母i表示，则i==如图，坡度通常写成i=h:l的形式。※注意：①(坡度等于坡角的正切值)坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡. ②坡度的结果不是一个度数，而是一个比值，不要与坡角相混淆． 例2、 巩固训练33.5海里2.1.63.答案：AE= 米＞800米，所以古建筑会遭到破坏.4.
课堂小结
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人教版 九年级下
28.2解直角三角形（3）
新知导入
情境引入
方位角
南偏西45 °
北偏东37°
37°
北
南
西
东
64°
45°
70°
南偏东70°
北偏西26 °
西南
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方位角。
练一练：
如图，海岛 C 在海岛 A 的北偏东 50° 方向，在海岛 B 的北偏西 40° 方向，则从海岛 C 看 A，B 两岛的视角∠ACB等于 。
90°
典例精讲
例1：如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它正沿着正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？(参考数据：sin65°≈0.91， cos65°≈0.42， tan65°≈2.14， sin34°≈0.56， cos34°≈0.83， tan34°≈0.67)
C
P
A
B
34°
65°
北
【解析】如图 ，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos（90°－65°）
＝80×cos25°
≈80×0.91
=72.8海里
在Rt△BPC中，∠B＝34°
答：当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．
65°
34°
P
B
C
A
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 表示。
h
l
基本概念：
注意：坡度的结果不是一个度数，而是一个比值，不要与坡角相混淆．
(坡度等于坡角的正切值)坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
坡度（坡比）：坡面的铅
直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母 表示，则
如图，坡度通常写成 的形式。
i=h:l
例2、如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：（1）坡角a和β;
（2）斜坡AB的长（保留根号）
B
A
D
F
E
C
6m
α
β
i=1:3
i=1:1.5
B
A
D
F
E
C
6m
α
β
i=1:3
i=1:1.5
在Rt△CDE中，∠CED=90°
（2）如图在 Rt△ABF中，α=33.7°
∵
∴
因此，斜坡AB的长为10.8米．
（1）
归纳概念
4.斜坡的坡角越大，则坡度越大，坡面越陡。
点拨
1.坡度等于坡角的正切值.
2.坡面的铅垂高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的比，没有单位。
3.坡度通常写成 1∶m 的形式（ m 可以是小数或无理数）
课堂练习
1. 如图，海上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方向，一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43°方向，则A、B两岛之间的距离为 ． (结果精确到0.1海里，参考数据：sin43°=0.68， cos43°=0.73，tan43°=0.93)
B
C
A
北
33.5海里
43°
2.如图所示，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡
AB的坡度为1： ，斜坡AB的水平宽度BE= m，
那么斜坡AB长为 m．
1.6
3. 如图有一个古镇A，它周围800米内有古建筑，乡村路要由西向东修筑，在B点处测得古建筑A在北偏东60°方向上，向前直行1200米到达D点，这时测得古建筑A在D点北偏东30°方向上，如果不改变修筑的方向，你认为古建筑会不会遭到破坏？
答案：AE= 米＞800米，
所以古建筑会遭到破坏.
北
东
A
D
B
60°
30°
E
4.如图，某滑板爱好者训练时的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将训练的斜坡的倾角由45°降为30°，已知原斜坡面AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．
（1）改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB会加长多少米？
（2）若斜坡的正前方能有3米长的空地就能保证安
全，已知原斜坡AB的前方有6米长的空地，进行这
样的改造是否可行？说明理由．（精确到0.01,
参考数据： ≈1.414， ≈1.732， ≈2.449）
解：（1）在Rt△ABC中， BC=AC=AB sin 45°= m
在Rt△ADC中AD= m
CD= m
∴AD-AB≈5×1.414-5=2.07 m ,
改善后的斜坡会加长2.07 m；
（2）这样改造能行．
∵CD-BC≈ ×2.449- ×1.414
≈2.59<6-3
∴这样改造能行．
答：改善后的斜坡坡面会加长2.07 m；这样改造能行.
课堂总结
方位角问题的实际应用题解法：
直接或间接把问题放在直角三角形中，解题时应善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题。
作业布置
教材课后配套作业题。
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
