人教版九年级下册第二十七章相似图形经典例题讲解（51张ppt）

(共51张PPT)
相似图形经典例题
例 如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角α，β的大小和EH的长度 x.
D
A
B
C
18
21
78°
83°
β
24
G
E
F
H
α
x
118°
一.利用相似多边形的定义求线段、角的值
在四边形ABCD中，
∠β＝360°－(78°＋83°＋118°)＝81°.
∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°.
解：∵ 四边形 ABCD 和 EFGH 相似，
∴ 它们的对应角相等．由此可得
D
A
B
C
18
21
78°
83°
β
24
G
E
F
H
α
x
118°
∵ 四边形ABCD和EFGH相似，
∴它们的对应边成比例，由此可得
解得 x ＝ 28 .
，即 .
D
A
B
C
18
21
78°
83°
β
24
G
E
F
H
α
x
118°
如图所示的两个五边形相似，求未知边a、b、c、d的长度．
5
3
2
c
d
7.5
b
a
6
9
解：相似多边形的对应边的比相等，由此可得
， ， ， ，
解得：a=3，b=4.5，c=4，d=6.
所以未知边a，b，c，d的长度分别为3，4.5，4，6.
如图，把矩形 ABCD 对折，折痕为 EF，若矩形ABCD 与矩形 EABF 相似，AB = 1．
A
B
C
D
E
F
解：∵ E 是 AD 的中点，
∴ .
又∵矩形 ABCD 与矩形 EABF相似，AB=1，
∴ ，
∴ AB2 = AE·BC，
∴ .
解得
（1）求BC长；
（2）求矩形 ABFE 与矩形 ABCD 的相似比.
A
B
C
D
E
F
解：矩形 ABEF 与矩形ABCD
的相似比为：
如图,l1∥l2∥l3， ，DE＝6，求DF的长．
解：∵l1∥l2∥l3，
∴ .
又∵ ，DE＝6，
∴ ，
解得EF＝4.
∴DF＝DE＋EF＝6＋4＝10.
l1
l2
l3
例 如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ，AB=3，EC=1.求AD和BD.
∴AE=3.
解：∵AC=4，EC=1，
∵ DE∥BC，
∴
∴AD=2.25，
∴BD=0.75.
二.利用平行线分线段成比例定理及推论求线段长度
A
B
C
D
E
证明:在△ADE与△ABC中，
∠A= ∠A.
∵ DE//BC,
∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C，
过E作EF//AB交BC于F,
∵四边形DBFE是平行四边形,
F
∴DE=BF .
∴△ADE∽△ABC .
∴ .
∴ .
则
已知：如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB ， AC于点D、E．
求证：△ADE∽△ABC .
如图，在△ABC中， EF∥BC.
（ 1 ）如果E、F分别是 AB 和 AC 上的点， AE = BE=7，
FC = 4 ，那么 AF 的长是多少？
A
B
C
E
F
解：∵
∴
解得 AF = 4.
(2) 如果AB = 10，AE=6，AF = 5，那么 FC 的长是多少？
解：∵
∴
解得 .
A
B
C
E
F
如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC．
求证：OD∶OA＝OE∶OB
证明： ∵ DF∥AC，
∵ EF∥BC，
如图，已知菱形 ABCD 内接于△AEF，AE=5cm， AF = 4 cm，求菱形的边长.
解：∵ 四边形 ABCD 为菱形，
B
C
A
D
E
F
∴CD∥AB，
∴
设菱形的边长为 x cm，则CD
= AD = x cm，DF = (4－x ）cm，
∴ 解得 ∴菱形的边长为 cm.
已知：如图， △A'B'C'和 △ABC中，∠A' =∠A，A'B'：AB = A'C'：AC
求证：△A'B'C' ∽ △ABC
证明：在△ABC 的边AB、AC（或它们的延长线）上分别截取AD＝A'B'，AE＝A'C'，连结DE，因∠A ' =∠A，这样△A'B'C' ≌ △ADE
∴ DE//BC
∴ △ADE ∽ △ABC
∴ △A'B'C' ∽ △ABC
A'
B'
C'
A
B
C
D
E
∵
又 ∠A＝∠A'
∴ △ABC∽△A'B'C'
已知∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A'＝120°，A'B' ＝3cm，A'C' ＝6cm，判断△ABC与△ A′B′C′是否相似，
并说明理由.
四.利用两边成比例且夹角相等识别三角形相似
两三角形的相似比是多少？
△ABC∽△A'B'C ' .
理由如下：
解：
∴
已知∠A=40°，AB=8，AC=15， ∠A' =40°，A'B' =16，A'C' =30 ，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由.
解：
∴△ABC∽△A'B'C'.
△ABC∽△A'B'C' .
理由如下：
∴ .
∠A=∠A',
又∵
∵ , ,
解：∵ AE=1.5，AC=2，
A
C
B
E
D
如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点，
AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求 DE 的长.
∴
又∵∠EAD=∠CAB，∴ △ADE ∽△ABC，
∴
∴
五.利用三角形相似求线段的长度
提示：解题时要找准对应边.
证明： ∵ CD 是边 AB 上的高，
∴ ∠ADC =∠CDB =90°.
∴△ADC ∽△CDB，∴ ∠ACD =∠B，
∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
A
B
C
D
例 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，求证 ：∠ACB=90°．
∵
六.利用三角形相似求角度
方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.
如图，已知在△ABC 中，∠C＝90°，D、E 分别是AB、AC 上的点，AE：AD＝AB：AC．
试问:DE 与AB 垂直吗 为什么
A
B
C
D
E
证明：DE⊥AB．理由如下:
∵　AE：AD＝AB：AC,
∴ 　 ．
又　∠A＝∠A,
∴　△ABC∽△AED．
∴　∠ADE＝∠C＝90°．
∴　DE 与AB 垂直．
在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC = 3.5 cm，
BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm.
求证：△DEF∽△ABC.
A
C
B
F
E
D
证明：∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，
又 ∵∠C =∠F = 70°，∴ △DEF ∽△ABC.
∴
如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE， AB=AC，∠DAB=∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE.
证明：∵ AD =AE，AB = AC，
∴
又 ∵∠DAB = ∠CAE，
∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE，
即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
解：∵AB=6，BC=4，AC=5， ，
∴
又∵∠B=∠ACD，∴ △ABC ∽ △DCA，
∴ ，
∴
如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD， AB=6，BC=4，AC=5， ，求 AD 的长．
例 如图所示，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′，判断这两个三角形是否相似．
C'
B'
A'
C
B
A
解：∵ ∠B＝∠B′＝90°，
∠A＝∠A′，
∴ △ABC∽△A′B′C′.
七.利用两角相等判断三角形相似
弦AB和CD相交于⊙O内一点P,求证:PA·PB=PC·PD.
A
C
D
证明:连接AC、BD.
∵∠A、∠D都是弧CB所对的圆周角,
∴ ∠A=∠D.
同理: ∠C=∠B.
∴△PAC∽△PDB.
即PA·PB=PC·PD.
A
B
P
O
O
D
C
B
P
八.利用三角形相似求等积式
∴ .
∴
解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA=90°.
又∠C=90 °，∠A=∠A，
∴ △AED ∽△ABC.
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求AD的长.
D
A
B
C
E
∴
九.两直角三角形相似的判定
证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40°，∠B=80°，
∴ ∠C=180°－∠A－∠B=60°.
∵ 在△DEF中，∠E=80°，∠F=60°.
∴ ∠B=∠E，∠C=∠F.
∴ △ABC ∽△DEF.
如图，△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80 °，∠F=60 ° ．求证：△ABC ∽△DEF.
A
C
B
F
E
D
证明：∵ △ABC 的高AD、BE交于点F，
∴ ∠FEA=∠FDB=90°，
∠AFE =∠BFD （对顶角相等）
∴ △FEA ∽ △ FDB，
∴
如图，△ABC 的高 AD、BE 交于点 F．
求证：
D
C
A
B
E
F
解：∵ ∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C,
∴ △ABD ∽ △ACB ,
∴ AB : AC=AD : AB,
∴ AB2 = AD · AC.
∵ AD=2, AC=8,
∴ AB =4.
已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
A
B
C
D
如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC 的高， 求证：AC · BC = BE · CD.
O
D
C
B
A
E
证明： 连接CE，
又∵BE是△ABC的外接圆O的直径，
∴∠BCE= 90°=∠ADC，
∴ ∴ AC · BC = BE · CD.
∴△ACD∽△EBC.
∵∠A=∠E，∠BCE=∠ADC，
则∠A=∠E.
相似三角形对应高的比等于相似比
证明：
∵△ A′B′C′∽△ABC，
∴ ∠B′= ∠B．
又∵ ∠A'D′B' =∠ADB =90°,
∴△A′B′D′∽△ABD.
从而 .
如图，△A′B′C′ ∽△ABC，相似比为k，分别作BC，B′C′上的高AD，A′D′．
求证：
证明：∵△ABC∽△DEF.
相似三角形对应中线的比等于相似比.
A
B
C
M
D
E
F
N
又∵AM、DN分别是△ABC和△DEF的中线.
∴△ABM∽△DEN.
求证：
已知：
△ABC∽△DEF. AM、DN分别为中线.
∴BC=2BM,EF=2EN,
∴
∴
∴∠B =∠E,
证明：∵△ABC∽△DEF.
∴∠B =∠E, ∠BAC=∠EDF.
又∵AM、DN分别是∠BAC和∠EDF的角平分线.
相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
A
B
C
M
D
E
F
N
求证：
已知：
△ABC∽△DEF. AM、DN分别为角平分线.
∴
∴∠BAM=∠EDN.
∴△AMB∽△DNE.
∴ ， ，
解：∵ △ABC ∽△DEF， 　
D
E
F
H
例 已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是 △ABC和 △DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4cm，BG = 4.8 cm. 求 EH 的长.
∴ .
∴ ，解得 EH = 3.2.
A
G
B
C
故 EH 的长为 3.2 cm.
十.利用相似三角形对应线段的比求线段的长度
相似三角形周长的比等于相似比.
已知：
求证：
证明1：
∴ .
∴
(等比性质).
A
C
B
B′
A′
C′
∵△ABC ∽△A′B′C′,
△ABC ∽△A′B′C′.
A
B
C
证明2：
∴AB=kA′B′，BC=kB′C′，AC=kA′C′
相似三角形的周长比等于相似比.
∵△ABC ∽△A′B′C′，
相似比为k.
∴ .
A′
B′
C′
解：在 △ABC 和 △DEF 中，
∵ AB=2DE，AC=2DF，
又 ∵∠D=∠A，
∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2.
A
B
C
D
E
F
∴
如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，
AC = 2 DF，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积.
十一.利用相似三角形面积的比求面积或线段
A
B
C
D
E
F
面积为
∴△DEF 的边 EF 上的高为 ，
∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，
∴ △ADE ∽△ABC.
∵ 它们的相似比为 3 : 5，
∴ 面积比为 9 : 25.
B
C
A
D
E
解：∵ ∠BAC = ∠DAE，且
十二.利用相似三角形面积的比求多边形的面积(比）
例 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知△ABC 的面积为100 cm2，且 ，求四边形 BCDE 的面积. 　
又∵ △ABC 的面积为 100 cm2，
∴ △ADE 的面积为 36 cm2 .
∴ 四边形 BCDE 的面积为100－36 = 64 (cm2).
如图，这是圆桌正上方的灯泡 （点A ） 发出的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为 1.2米，桌面距离地面为 1 米，若灯泡距离地面 3 米，则地面上阴影部分的面积约为多少 (结果保留两位小数)？
A
D
E
F
C
B
H
解：∵ FH = 1 米，AH = 3 米，桌面的直径为 1.2 米，
∴ AF = AH－FH = 2 (米)，DF = 1.2÷2 = 0.6(米).
∵DF∥CH，∴△ADF ∽△ACH，
∴ 即
解得 CH = 0.9米.
(平方米).
答：地面上阴影部分的面积为 2.54 平方米.
∴ 阴影部分的面积为：
A
D
E
F
C
B
H
如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : S△ABC 的值.
A
B
C
D
F
E
解：∵ DE∥BC，D 为 AB 中点，
∴ △ADE ∽ △ABC ，
相似比为 1 : 2，
因此面积比为 1 : 4.
∴
A
B
C
D
F
E
又∵ EF∥AB，
∴ △EFC ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2，
面积比为 1 : 4.
设 S△ABC= 4，则 S△ADE = 1，S△EFC = 1，
S四边形BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2，
∴ S四边形BFED : S△ABC = 2 :4 = .
如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交 AB、AC 于点 D、E，S△ADE＝2 S△DCE，求 S△ADE ∶S△ABC
解：过点 D 作 AC 的垂线，交点为 F，则
∴
又∵ DE∥BC，∴ △ADE ∽△ABC.
A
B
C
D
E
F
∴
即 S△ADE : S△ABC ＝4 : 9.
A
B
C
D
E
F
据史料记者，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．
如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO．
解：太阳光是平行光线，因此∠BAO＝∠EDF.
又∠AOB＝∠DFE＝90°,
∴ △ABO∽△DEF．
因此金字塔的高为134m．
十二.利用相似三角形测物体的高
怎样测出OA的长？
∴ ,
∴
在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋高楼的影长为90m，这栋高楼的高度是多少？
∵△ABC ∽ △A'B'C',
解得 A'C'=54m.
答：这栋高楼的高度是54m.
解：
A
B
C
1.8m
3m
A'
B'
C'
90m

∴ ,
即 .
如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS＝45m，
ST＝90m，QR＝60m，求河的宽度PQ．
解：∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，
解得PQ＝90.
P
Q
R
S
T
a
b
∴ △PQR∽△PST．
因此，河宽大约为90m.
十三.利用相似三角形测物体的宽
∴ ,
即 ,
已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝8m和CD＝12m，两树底部的距离BD＝5m．一个人估计自己眼睛距地面1.6m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C了？
分析：如图（1），设观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水平视线FG，分别交AB、CD于点H、K．视线FA、FG的夹角∠AFH是观察点A时的仰角.类似地，∠CFK是观察点C时的仰角．由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域（盲区）之内．
十四.利用相似三角形测量有遮挡的物体
图（1）
仰角
水平线
视线
解：如图（2），假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E与两棵树顶端点A、C恰在一条直线上．
由题意可知，AB⊥l，CD⊥l,
∴ AB∥CD，△AEH∽△CEK.
即 .
解得 EH＝8（m）.
由此可知，如果观察者继续前进，即她与左边树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，观察者看不到它．
图（2）
∴ ,
如图，△OAB和△OCD是位似图形，AB与CD平行吗？
为什么？
O
A
B
C
D
解：AB∥CD.
∵△OAB与△ODC是位似图形,
∴△OAB∽△OCD.
∴∠OAB=∠C.
∴ AB∥CD.