人教版八年级下册第十六章二次根式典型例题（84张ppt）

(共84张PPT)
二次根式典型例题
下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：
(1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
分析：
一.利用二次根式的定义识别二次根式
（1） ； （2）81； （3） ；（4） ;
（5） ;（6） ；（7） .
下列各式是二次根式吗
是
是
是
是
是
（1）
（2）
（3）
（4）
（6）
（5）
（7）
（8）
（9）
（10）
不是
不是
不是
不是
不是
当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义
解：由x-2≥0，得
x≥2.
当x≥2时， 在实数范围内有意义.
【思考】1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：由题意得x-1＞0，
∴x＞1.
二.利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围
（1） ;
解：∵被开方数需大于或等于零，
∴x+3≥0，∴x≥-3.
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
∴x≥-3 且x≠1.
归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
（2） .
【思考】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：(1)∵无论x为任何实数，
∴当x=1时， 在实数范围内有意义.
(2)∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，
∴无论x为任何实数， 在实数范围内都无意义.
归纳小结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
（1）
（2）
x取何值时,下列二次根式有意义
（1）
（2）
x≥1
x≤0
（3）
（4）
x为全体实数
x>0
（5）
（6）
x≥0
x≠0
x≥-1且x≠2
(7)
（9）
x>0
x为全体实数
(8)
解：
由题意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0,
解得a=-3,b=2,c=1.
所以2a-b+3c= -3×2-2+3×1= -5.
三.利用二次根式的双重非负性求字母的值
若 ，求2a -b+3c的值.
提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根．
解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．
解得x=1，y=2．
∴x+4y=1+2×4=9，
∴x+4y的平方根为±3.
四.二次根式的双重非负性和不等式求字母的值
已知实数x、y满足等式 ，
求x2-2xy+y2的值.
解：
由题意得
解得：x=3.
把x=3,代入得y=-5.
所以x2-2xy+y2=(x-y)2=(3+5)2=64.
总结：若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.
已知y = ,求3x+2y的算术平方根.
解：由题意得
∴x=3，∴y=8，
∴3x+2y=3×3＋2×8=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．
(1)若二次根式 有意义，求m的取值范围．
解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0，
解得 m≥2且m≠-1，m≠2，
(2)无论x取任何实数，代数式 都有意义，求
m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.
∴m＞2．
∵(x+3)2≥0，
∴m-9≥0，即m≥9.
已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足 ，求此三角形的周长．
解：由题意得
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
计算：
解：
积的乘方：
（ab）2=a2b2
五.利用 的性质进行计算
（1） ； （2） .
（1） ;
（2）
(2)可以用到幂的哪条基本性质呢？
解:
计算：
（1） ;
（2） .
（1） ;
（2）
解：
六.利用 的性质分解因式
总结：本题逆用了 在实数范围内
分解因式.
在实数范围内分解因式：
（1）4x2-5 ; (2)m4-6m2+9.
（1） ;
（2） .
在实数范围内分解因式：
（1）x2-11; (2)x4-14x2+49.
解：（1）x2-11
=(x+ )(x- );
(2) x4-14x2+49
=(x2-7)2
=(x- )2(x+ )2.
解：
七.利用 的性质进行计算
警示： 而3.14＜π，要注意a的正负性.
化简：
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，
∴原式=|a|-|b|+|a-b|
=-a-b-（a-b）
=-2a.
实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:
a
b
八.几何图形与 的性质相结合的题目
九.利用代数式的定义判断代数式
下列式子:(1)x; (2)a-b; (3) ;(4) ;
(5)m=1+n;(6)2x>1;(7)-2.其中是代数式的有(　　)
A.4个　　　 B.5个 C.6个　　　 D.7个
B
解：（1）船在这条河中顺水行驶的速度是 km/h，逆水行驶的速度是 km/h．
（1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是 v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；
（2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长.
（2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以 所以它的长为
计算：
解:
（1） ; （2） ; （3） ; （4） .
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
在实数范围内分解因式：
解：
（1）x2-3;
(2)y4-4y2+4.
（1）x2-3
= ;
(2)y4-4y2+4
=(y2-2)2
=
= .
实数a、b在数轴上的对应点如图所示，
化简： .
解：根据数轴可知b＜a＜0，
∴a+2b＜0，a-b＞0，
则
=|a+2b|+|a-b|
=-a-2b+a-b=-3b．
a
b
0
已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：
解：∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴a+b+c＞0，b+c＞a，b+a＞c，
∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|
=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）
=a+b+c-b-c+a+b+a-c
=3a+b-c．
分析：
利用三角形三边关系
三边长均为正数，a+b+c＞0
两边之和大于第三边，b+c-a＞0，c-b-a＜0
计算:
解:
十.简单的二次根式的乘法运算
（1） ; （2） .
(1) ;
(2) .
计算:
解:
十一.因数不是1二次根式的乘法运算
总结：当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项
式的法则计算，即 .
（1） ; （2） .
(1)
可类比前面的计算哦！
(2)
计算：
解：
=20×18=360;
(1) ; (2) .
(2)
(1)
解：(1)方法一：
∵ ， ，
方法二：
∵ ， ，
十二.二次根式的大小比较
比较大小:（1） 与 ;
∴ ，
∴ ，
即 .
又∵20＜27，
又∵20＜27，
即 .
解：(2)∵ ，
，
又∵52＜54，
∴ ，
∴ ,即
两个负数比较大小，绝对值大的反而小
（2） 与 .
化简：
（1）　　　 　；（2） ．　　
(2)中4a2b3含有像4，a2，b2，这样开的尽方的因数或因式，把它们开方后移到根号外.
十三.利用二次根式的乘法法则的逆用计算
=
解：（1）
= 4 ×9
=36;
（2）
=
=
= .
化简:
提示： 化简二次根式，就要把被开方数中的平方数（或平方式）从根号里开出来.
（1） ;
（2） ;
（3） .
解:
（1）
（2）
（3）
;
.
计算：
（1） 　 ；（2） ；（3） ．　　
十四.利用二次根式的乘法法则及逆用计算
　解：（1）
（2）
（3）
;
;
.
计算：（1） ;
解：原式=
=30;
（2） .
解：原式=
计算：
解：
（1） ;
（2） .
（1）
=12×13
=156;
=a2.
（2）
计算：
（1） ;
（2） .
解：
（1）
（2）
;
设长方形的面积为S，相邻两边分别为a,b.
(1)已知 , ，求S；
解： S = ab =
（2）已知 , ，求S.
=
（1）
S = ab =
（2）
=240.
=
= ;
=
=
（1）　　　 ；（2） ．　
化简：
解：（1）　　
（2）
已知 试着用a, b表示 .
解：
又
计算：
解:
十五.利用二次根式的除法法则计算根号外因数是1的二次根式
提示：像（2）中除式是分数或分式时，先要转化为乘法
再进行运算.
（1） ;
（2） .
（1）
（2）
计算：
解：
（1） ;
（2） ;
（3） .
（1） ;
（2） ;
（3）
解:
提示：类似(2)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成
假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.
十六.利用二次根式的除法法则计算根号外因数不是1的二次根式
计算:
（1） ;
（2） .
（1） ;
（2）
计算，看谁算的既对又快.
（1）
（2）
（3）
（4）
;
;
;
.
解:
补充解法：
十七.商的算术平方根的性质的应用
化简:
（1） ;
（2） ;
（1）
（2）
还有其它解法吗
解：
提示：像（5）可以先用商的算术平方根的性质，再运用积的算术平方根性质.
（3） ;
（4） ;
（5） .
（3）
（4）
（5）
解：（1）
（2）
　　　计算：　
（1） （2） （3） 　
．
（3）
．
解:
十八.分母有理化
总结：分母形如 的式子，分子、分母同乘以 可使
分母不含根号.
计算:
(1) ;
(2) ;
(3) .
（2）
（3）
（1）
在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．
解：只有(3)是最简二次根式；
（1） ; （2） ; （3） ; （4） ;（5） .
(1)
(4)
(2)
(5)
设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知 ，求a的值.
解:∵
十九. 二次根式的应用
∴
高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使人当场死亡．据研究从高空抛物时间t和高度h近似的满足公式 .从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空抛物到落地所需时间t1的多少倍？
解:由题意得
在物理学中有公式W=I2Rt，其中W表示电功(单位：焦耳)，I表示电流(单位：安培)，R表示电阻(单位：欧姆)，t表示时间(单位：秒)，如果已知W、R、t，求I，则有 .若W=2400焦耳，R=100欧姆，t=15秒．试求电流I．
解：当W=2400，R=100，t=15时，
（安培）.
自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求二次根式 中实数a的取值范围”，她告诉刘敏说：你把题目抄错了，不是“ ”，而是“ ”刘敏说：哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正a和a-3都在根号内．试问：刘敏说得对吗？
按 计算，则a≥0，a-3＞0或a≤0，a-3＜0,解得a＞3或a≤0；
解：刘敏说得不对，结果不一样．理由如下：
而按 计算，则a≥0，a-3＞0,解得a＞3．
若最简二次根式 与 可以合并，求 的值.
解：由题意得
即
二十.利用二次根式可以合并的条件求字母的值
提示：可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，根指数都为2列关于字母的方程（组）求解即可.
解得
1
（1） 与最简二次根式 能合并，则m =_____.
1
完成下列各题：
（2）若两个最简二次根式 与 可
以合并,则a=_____，b=_______.
1
现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？
7.5dm
5dm
【讨论】 1. 怎样列式求两个正方形边长的和
S=8dm2
S=18dm2
二一.二次根式的加减
【讨论】2.所列算式能直接进行加减运算吗 如果不能,把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算的依据）.
（化成最简二次根式）
（逆用分配律）
∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板．
解：列式如下：
在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立.
解：
计算:
二二.二次根式的加减计算
（1） ;
（3） ;
（4） .
（1）
（2） ;
（2）
（3）
（4）
计算:
解：
二三.二次根式的加减混合运算
（1） ;
（2） .
（1）
（2）
计算时，有括号，一定要先去括号！
解：原式
解：原式
计算:
(1) ；
（2） .
;
.
有一个等腰三角形的两边长分别为 ，求其周长.
解：①当腰长为 时，
∵
∴此时能构成三角形，周长为
②当腰长为 时，
∵
∴此时能构成三角形，周长为
二四.二次根式的综合性题目
如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是8cm2和18cm2，求圆环的宽度d(两圆半径之差).
解：
答：圆环的宽度d为 cm.
R-r
三角形的三边长分别为 则这个三角形的周长为__________.
计算:
（1） =___ ;
（2） =___ ;
（3） =___ ;
（4） =________.
解：
计算:
(1) ;
(2) .
(1)
(2)
;
.
如果最简二次根式 与 可以合并，那么要使式子 有意义，求x的取值范围.
解：由题意得3a-8=17-2a,
∴a=5，
∴
∴20-2x≥0，x-5＞0，
∴5＜x≤10.
已知a,b,c满足 .
(1)求a,b,c的值；
(2)以a,b,c为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出
其周长；若不能，请说明理由.
解：(1)由题意得 ；
(2)能.理由如下：
∵ 即a＜c＜b，
又∵ ∴a+c＞b，
∴能够成三角形，周长为
已知a，b都是有理数，现定义新运算：a*b= ，求（2*3）－（27*32）的值．
解：∵a*b= ，
∴（2*3）－（27*32）
=
=
=
计算：
解：
二五.考查二次根式的多项式与单项式乘除运算能力
（1） ;
（2） .
（1）
（2）
巩固练习
计算：（1） ; （2） .
(1)原式
解：
(2)原式
.
　　　计算：
解：
（1）原式
　　【思考】（1）中，每一步的依据是什么？
　　第一步的依据是：多项式乘多项式法则；
　　第二步的依据是：二次根式化简，合并被开方数
相同的二次根式；
　　第三步的依据是：合并同类项．
（1）
二六.考查二次根式的多项式乘法运算能力
计算：
（1） ;
（2） .
解：
（1）
（2）
计算：
解：
二七.考查利用乘法公式计算二次根式的能力
（1） ;
（2） .
（1）
（2）
;
拓展计算：
解：(1)原式
(2)原式
（1） ;
（2） .
计算：
（1） ;
解：
（1）
（2） .
（2）
已知 试求x2+2xy+y2的值.
解： x2+2xy+y2=（x+y)2
把 代入上式得
原式=
二八.有关代数式的二次根式运算
解:∵ ，
∴
已知 ，求x3y+xy3.
x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy[(x+y)2-2xy]
∴
计算:
解:
二九.分母有理化的应用
提示：分母形如 的式子，分子、分母同乘以 的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.
（1） ;
（2） .
（1）
（2）
已知 ,求 .
解:∵
计算：
解：
（1） ;
（2） ;
（1）
（2）
（3） ;
（4） ;
解：原式=
=9-3
=6;
解：原式=
（5） .
解：原式
;
解：(1)原式
(2)原式
计算：
（1） ;
（2） .
甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路， 其中有一段路基的横断面设计为上底宽 m ，下底宽 m，高 m 的梯形，这段路基长 500 m，那么这段路基的土石方 (即路基的体积,其中路基的体积=路基横断面面积×路基的长度)为多少立方米呢？
解：路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的长度，所以这段路基的土石方为：
答：这段路基的土石方为
已知 的整数部分是a,小数部分是b,求a2-b2的值.
解：
解：(1)
(1)请用两种不同的方法化简：
(2)化简：
(2)