人教版八年级下册第十八章平行四边形典型题型总结（63张ppt）

(共63张PPT)
平行四边形典型题型总结
已知：如图，在平行四边形 ABCD中，
求证: AB=CD, AD=BC.
证明：连接AC，　　ABCD中
∵ AB∥CD，AD∥BC,
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.
又AC＝CA,
∴△ABC≌△CDA （ASA）.
∴AB＝CD，CB＝AD.
方法点拨：作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．
A
D
C
B
1
4
2
3
一.利用平行四边形的定义判断平行四边形
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE=∠DCF.
∴ △ABE≌ △CDF.
∴ AB=CD，AB ∥ CD.
又∵AE=CF，
∴BE=DF.
A
D
B
C
E
F
二.利用平行四边形边的性质求证线段的关系
如图，在 ABCD中,E，F是对角线AC上的两点，并且AE=CF，求证： BE=DF.
如图,小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB长为8m，其他三条边各长多少
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD, AD=BC.
∵AB=8m,
∴CD=8m.
又AB+BC+CD+AD=36m,
∴ AD=BC=10m.
A
D
B
C
8m
证明：如图，连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AB ∥ CD.
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又∵AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴△ABC≌△CDA.
∴∠ABC=∠ADC.
∵∠BAD=∠1+∠4，∠BCD=∠2+∠3，
∴∠BAD=∠BCD.
A
B
C
D
1
4
3
2
已知：四边形ABCD是平行四边形.
求证:∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC.
【思考】不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的
定义，证明其对角相等？
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AB ∥ CD.
∴∠A+∠B=180°，
∠A+∠D=180°.
∴∠B=∠D.
同理可得∠A=∠C.
解:
∵四边形ABCD是平行四边形
且∠A=52°（已知),
∴ ∠C=∠A=52°（平行四边形的对角相等）.
又∵ AD∥BC（平行四边形的对边平行）,
∴∠A+∠B=180°∠C+∠D=180°
（两直线平行，同旁内角互补）.
∴∠B=∠D= 180 °－∠A= 180 － 52°=128 °.
A
B
C
D
52°
三.利用平行四边形角的性质求证角的关系
在 ABCD中,已知∠A=52°，求其余三个角的度数.
A
D
B
C
100 °
80 °
解:
∴∠B= 180 °－∠A= 180 － 100°=80°.
又∵AD∥BC(平行四边形的对边平行),
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=100 ° （平行四边形的对角相等）.
且∠A+∠C=200°，
如图, 在 ABCD中，∠A+∠C=200°
则：∠A= ，∠B= .
如图，在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别是E，F．求证：AE=CF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A= ∠C，AD=CB.
又∠AED= ∠CFB=90°，
∴ △ADE≌△CBF（AAS）.
∴AE=CF.
【思考】在上述证明中还能得出什么结论？
D
A
B
C
F
E
DE=BF.
四.平行线间的距离
C
B
F
E
A
D
若m // n，作 AB // CD // EF，分别交 m于A，C，E，交 n于B，D，F.
由平行四边形的性质得AB=CD=EF.
两条平行线之间的平行线段相等.
m
n
由平行四边形的定义易知四边形ABDC，CDFE均为平行四边形.
如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB=4cm，S△ABC=12cm2，
求△ABD中AB边上的高．
解：∵S△ABC = AB BC,
= ×4 ×BC=12cm2，
∴BC=6cm.
∵AB∥CD，
∴点D到AB边的距离等于BC的长度，
∴△ABD中AB边上的高为6cm.
在□ABCD中, ∠A=3∠B, 求∠C和∠D 的度数 .
B
C
A
D
解:∵在□ABCD中, AD∥BC，
∴∠A+∠B= 180°.
又已知 ∠A=3∠B,
则 3∠B +∠B= 180°.
解得,∠B= 45°, ∠A=3×45°=135 °.
∴∠C=∠A=135 °, ∠D=∠B= 45°.
如图,小明用一根48m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB长为10m，其他三条边各长多少
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD, AD=BC.
∵AB=10m,
∴CD=10m.
又AB+BC+CD+AD=48,
∴ AD=BC=14m.
A
D
B
C
10m
有一块形状如图所示的玻璃，不小心把EDF部分打碎了，现在只测得AE=60cm，BC=80cm，∠B=60°且AE∥BC , AB∥CF,你能根据测得的数据计算出DE的长度和∠D的度数吗？
解：∵AE//BC，AB//CF，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴∠D=∠B=60°，
AD=BC=80cm.
∴ED=AD-AE=20cm.
答：DE的长度是20cm, ∠D的度数是60°.
证明：∵ 四边形BEFM是平行四边形,
　 ∴BM=EF,AB//EF.
∵ AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.
∵AB//EF, ∴ ∠BAD=∠AEF,
∴∠CAD =∠AEF, ∴ AF=EF,
∴ AF=BM.
如图，在△ABC中,AD平分∠BAC,点M,E,F分别是AB,AD,AC上的点,四边形BEFM是平行四边形.求证：AF=BM.
B
D
C
E
F
A
M
　　如图，在　ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O．OA与OC，OB与OD有什么关系？
D
A
B
C
O
　　猜想：平行四边形的对角线互相平分．　
　　想一想，平行四边形除了边、角这两个要素的性质外，对角线有什么性质？
五.平行四边形对角线的性质
你能证明这个猜想吗？　
　　如图，在　ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，
OA与OC，OB与OD有什么关系？
　 求证：OA=OC，OB=OD．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴　AB=CD，AB∥CD.
∴　∠1=∠2，∠3=∠4.
∴　△COD≌△AOB.
∴　OA=OC，OB=OD．
D
A
B
C
O
1
2
3
4
　　证明过程
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.
∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，∴AB－AD＝5cm.
又∵ ABCD的周长为60cm，∴AB＋AD＝30cm.
则AB＝CD＝17.5cm,AD＝BC＝12.5cm.
已知 ABCD的周长为60cm，对角线AC , BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长．
六.利用平行四边形对角线的性质求线段的值
提示：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差.
C
B
A
D
O
如图，□ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F. 求证：OE=OF.
七.利用平行四边形对角线的性质求线段的相等
B
C
D
A
O
F
E
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA=OC (平行四边形的性质).
∴∠EAO=∠FCO（两直线平行，内错角相等）.
在△AOE和△COF中
∠AOE = ∠ COF﹙对顶角相等﹚,
OA = OC,
∠EAO = ∠FCO,
∴ △AOE≌△COF ( ASA ).
∴ OE = OF （全等三角形的对应边相等）.
改变直线EF的位置，OE=OF还成立吗
如图,平行四边形ABCD中，AC , BD交于O点，点E , F分别是AO , CO的中点，试判断线段BE , DF的数量关系并证明你的结论．
解：BE＝DF，BE∥DF. 理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵点E , F分别是AO , CO的中点 ∴OE＝OF.
在△OFD和△OEB中，
OE＝OF，∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，
∴△OFD≌△OEB.
∴BE＝DF. ∠DFO＝∠BEO.
∴ BE∥DF.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
根据勾股定理得 .
∴BC=AD=8cm,CD=AB=10cm.
∴△ABC是直角三角形.
又∵OA=OC,
　 如图，在 　ABCD中，AB=10cm，AD=8cm，AC⊥BC. 求BC，CD，AC，OA的长，以及 　ABCD的面积．
八.平行四边形的面积
∵AC⊥BC，
A
B
C
D
O
∴ .
如图，EF过 ABCD的对角线AC , BD的交点O，△AOE与△COF的面积有何关系？四边形AEFD与四边形BCFE的面积有何关系？
F
E
C
B
O
D
●
A
九.平行四边形中有关图形的面积
解：相等.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵△ADO与△ODC等底同高，
∴S△ADO=S△ODC.
同理可得S△ADO=S△ODC=S△BCO=S△AOB.
总结：平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等.
还可结合全等来证哟.
B
O
D
A
C
A
B
C
D
O
F
E
如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？
M
N
解：设直线EF交AD,BC于点N,M.
∵AD∥BC,
∴∠NAO=∠MCO,∠ANO=∠CMO.
又∵AO=CO,
∴△NAO≌△MCO，
∴S四边形ANMB=S△NAO+S△AOB+S△MOB=S△MCO+S△AOB+S△MOB
=S△AOB+S△COB= .
∴S四边形ANMB=S四边形CMND,
即平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等.
十.利用平行四边形的有关图形的面积证明相等
把一个平行四边形分成3个三角形，已知两个阴影三角形的面积分别是9cm2和12cm2，求平行四边形的面积．
解：（9+12）×2
=21×2
=42（cm2）
答：平行四边形的面积是42cm2．
如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若平行四边形ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，求平行四边形ABCD的面积.
解：设AB=x，则BC=24-x.
根据平行四边形的面积公式可得,5x=10(24-x)，
解得x=16．
则平行四边形ABCD的面积为5×16=80．
如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD，交BC于点E.若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长是多少？
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，OB=OD.
∵OE⊥BD，∴BE=DE.
∵△CDE的周长为10，∴DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10.
∴平行四边形ABCD的周长为2×(BC+CD)=20．
已知： 四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.
求证： 四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
连接AC，
在△ABC和△CDA中,
AB=CD (已知)，
BC=DA(已知)，
AC=CA (公共边)，
∴△ABC≌△CDA(SSS).
∴ ∠1=∠4 , ∠ 2=∠3.
∴AB∥ CD , AD∥ BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
证明：
1
4
2
3
你能用平行四边形的定义来证明吗？
如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求证：
四边形PONM是平行四边形．
证明：在Rt△MON中，
由勾股定理得(x－5)2＋42＝(x－3)2，
解得x＝8.
∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5.
∴PM＝ON，OP＝MN，
∴四边形PONM是平行四边形．
十一.利用两组对边分别相等识别平行四边形
如图, AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD,
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：在Rt△ABC和Rt△CDA中，
∵AC=CA,AB=CD,
∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL).
∴BC=DA.
又∵AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形．
已知：四边形ABCD, ∠A=∠C，∠B=∠D.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形).
同理可证AB∥CD.
又∵∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D =360 °,
∴ 2∠A+ 2∠B=360 °,
∵∠A=∠C，∠B=∠D（已知）,
即∠A+ ∠B=180 °.
∴ AD∥BC （同旁内角互补，两直线平行）.
A
B
C
D
如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1)求∠D的度数；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，
∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°；
(2)证明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB.
∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°.
∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，又∵∠D＝∠B＝55°，
十二.利用平行四边形的判定定理2判定平行四边形
∴∠DCB＝∠DAB＝125°.
∴四边形ABCD是平行四边形．
已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD.
∴△ADO ≌△CBO.
OA=OC，
证明：
OB=OD，
∠AOD=∠COB，
∴四边形ABCD是平行四边形.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
C
D
B
O
2
1
在△ADO 和△CBO中，
∴ ∠1=∠2.
∴AD∥BC.
同理AB∥CD.
如图， □ABCD 的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.
B
O
D
A
C
E
F
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO,BO=DO.
∵AE=CF ，
∴ AO-AE=CO-CF,即EO=OF.
又∵BO=DO，
∴四边形BFDE是平行四边形.
十三.利用平行四边形的判定定理3判定平行四边形
平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．请你证明这个判定定理．
已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：连接AC，如图所示：
在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA（SSS）.
∴∠BAC＝∠DCA，∠ACB＝∠CAD.
∴AB∥CD，BC∥AD.
∴四边形ABCD是平行四边形．
B
D
A
C
如图，AC∥DE且AC＝DE，AD，CE交于点B，AF，DG分别是△ABC，△BDE的中线，求证：四边形AGDF是平行四边形.
∵AC∥DE，AC＝DE，
∴∠C＝∠E，∠CAB＝∠EDB.
∴△ABC≌△DBE.
∴AB＝DB，CB＝EB.
∵AF，DG分别是△ABC，△BDE的中线，
∴BG＝BF.
∴四边形AGDF是平行四边形.
证明：
如图，已知E，F，G，H分别是 ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形．
在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC,
又∵BF=DH，∴AH=CF.
又∵AE=CG，
∴△AEH≌△CGF（SAS）.
∴EH=GF.同理得△BEF≌△DGH（SAS）.
∴GH=EF.
∴四边形EFGH是平行四边形．
证明：
如图，五边形ABCDE是正五边形，连接BD , CE，交于点P．
求证：四边形ABPE是平行四边形．
证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴正五边形的每个内角的度数是
AB=BC=CD=DE=AE.
∴∠DEC=∠DCE= ×(180°-108°)=36°，
同理∠CBD=∠CDB=36°，∴∠ABP=∠AEP=108°-36°=72°.
∴∠BPE=360°-108°-72°-72°=108°=∠A.
∴四边形ABPE是平行四边形．
A
B
C
D
E
P
如图，在△ABC中，分别以AB,AC,BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．
证明：∵△ABD和△BCF都是等边三角形，
∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°.
∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，
∴△DBF≌△ABC(SAS).∴AC＝DF.
又∵△ACE是等边三角形，∴AC＝DF＝AE.
同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD.
∴四边形DAEF是平行四边形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB =CD，EB //FD．
又 ∵EB = AB ，FD = CD，
∴EB =FD ．
∴四边形EBFD是平行四边形．
如图 ，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：四边形EBFD是平行四边形.
十四.直接利用平行四边形的判定定理4判定平行四边形
证明：
A
B
C
D
E
F
证明：∵四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，
∴AD∥ EF，AD=EF，
EF∥ BC， EF=BC.
∴AD∥ BC，AD=BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证：四边形ABCD 是平行四边形.
如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．求证：四边形BFCE是平行四边形．
∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，
在△ACE和△DBF中，
AC＝DB ,∠A＝∠D, AE＝DF ,
∴△ACE≌△DBF(SAS).
∴CE=BF，∠ACE=∠DBF.
∴CE∥BF.
∴四边形BFCE是平行四边形．
十五.平行四边形的判定定理4和全等三角形判定平行四边形
证明：
如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．
（1）求证：△ACD≌△CBE.
（2）求证：四边形CBED是平行四边形．
证明：（1）∵点C是AB的中点，∴AC=BC.
在△ADC与△CEB中，
AD＝CE , CD＝BE , AC＝CB ,
∴△ADC≌△CEB（SSS）.
（2）∵△ADC≌△CEB，∴∠ACD=∠CBE.
∴CD∥BE.又∵CD=BE，∴四边形CBED是平行四边形．
如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，试问BF与CE相等吗？为什么？
十六.平行四边形的性质和判定的综合题目
解：BF＝CE．理由如下：
∵DF∥BC，EF∥AC，
∴四边形FECD是平行四边形，∠FDB=∠DBE.
∴FD=CE.
∵BD平分∠ABC，∴∠FBD=∠EBD.
∴∠FBD=∠FDB.
∴BF=FD.
∴BF＝CE.
如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，EF，BF，写出图中除 ABCD以外的所有的平行四边形.
解：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AD=BC.
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE=EB=DF=FC.
∴四边形ADFE是平行四边形，
四边形EFCB是平行四边形，
四边形BEDF是平行四边形.
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．
求证：（1）△ADF≌△ECF;
（2）四边形ABCD是平行四边形．
证明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠E，
∵点F是CD的中点，
∴DF＝CF，在△ADF与△ECF中，
∴△ADF≌△ECF（AAS）；
（2）∵△ADF≌△ECF，∴AD＝EC.
∵CE＝BC，∴AD＝BC.
∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
∠DAF= ∠E ，
DF=CF，
∠AFD= ∠EFC ，
如图，点E，C在线段BF上，BE=CF，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，求证：四边形ABED为平行四边形．
∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC．即BC=EF．
又∵∠B=∠DEF,∠ACB=∠F，
∴△ABC≌△DEF.∴AB=DE.
∵∠B=∠DEF，∴AB∥DE．
∴四边形ABED是平行四边形．
证明：
如图，将 ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．求证：四边形BCED′是平行四边形.
由题意，得∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA， ∠D=∠AD′E，
∵DE∥AD′，∴∠DEA=∠EAD′.
∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA.
∴∠DAD′=∠DED′.
∴四边形DAD′E是平行四边形.
∴DE=AD′.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC.∴CE∥D′B，CE=D′B.
∴四边形BCED′是平行四边形.
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t(s)．
（1）用含t的代数式表示：
AP=_____； DP=________；
BQ=________；CQ=________；
tcm
(12-t)cm
(15-2t)cm
2tcm
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
解：根据题意有AP=tcm，CQ=2tcm，
PD=(12-t)cm，BQ=(15-2t)cm．
∵AD∥BC，
∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t=15-2t，
解得t=5．
∴t=5时四边形APQB是平行四边形.
解：由PD=(12-t)cm，CQ=2tcm，
∵AD∥BC，
∴当PD=QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即12-t=2t，解得t=4s，
∴当t=4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
延长DE到F，使EF=DE．
F
∴四边形BCFD是平行四边形.
∴△ADE≌△CFE.
∴∠ADE=∠F，
连接FC．
∵∠AED=∠CEF，AE=CE，
证法1：
AD=CF.
∴BD CF.
又∵ ，
∴DF BC .
∴ DE∥BC， .
∴CF AD ,
证明：
B
C
A
D
E
如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC边的中点，求证：
证明：
D
E
延长DE到F，使EF=DE．
连接AF , CF , DC ．
∵AE=EC，DE=EF ，
∴四边形ADCF是平行四边形．
F
∴四边形BCFD是平行四边形.
∴CF AD .
∴CF BD .
又∵ ，
∴DF BC ．
∴ DE∥BC， .
B
C
A
证法2：
A
B
C
D
E
如图，D ， E ， F分别是△ABC的三边的中点，那么，DE ， DF ， EF都是△ABC的中位线.
F
DE∥BC且DE= BC;
同理:DF∥AC且DF= AC;
EF∥AB且EF= AB.
如图，在△ABC中，D,E分别为AC,BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长.
解：∵D,E分别为AC,BC的中点，
∴DE∥AB，∴∠2＝∠3.
又∵AF平分∠CAB，
∴∠1＝∠3.∴∠1＝∠2.
∴AD＝DF＝3.
∴AC＝2AD＝2DF＝6.
十七.利用中位线定理求线段
如图， A ，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样测出A，B两点的实际距离？根据是什么？
A
B
C
测出MN的长，就可知A，B两点的距离.
M
N
分别找出AC和BC的中点M，N.
若MN=36 m，则AB=
2MN=72 m.
如果，MN两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？
如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点，点O是△ABC内部任意一点，连接OB,OC，点G,F分别是OB,OC的中点，顺次连接点D,G,F,E.求证：四边形DGFE是平行四边形.
A
B
C
G
F
E
D
O
∴四边形DGFE是平行四边形.
证明：
十八.利用三角形的中位线判断平行四边形
在△ABC中，∵AD=BD,AE=CE,
=
∴ .
=
∴ .
=
∴ .
在△OBC中，∵OG=BG,OF=CF,
已知: 如图,点E,F,G,H分别是四边形ABCD各边中点，
求证：四边形EFGH为平行四边形.
证明：连接AC.
∵ E , F是AB , BC边中点,
∴EF∥AC且EF＝ AC.
同理：HG ∥ AC且HG ＝ AC.
∴EF ∥ HG且EF ＝ HG.
∴四边形EFGH为平行四边形.
E
F
G
H
A
B
C
D
如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M ，N ， P分别是AD ， BC，BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．
解：∵M,N,P分别是AD,BC,BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线.
∴PM= AB，PN= DC，PM∥AB，PN∥DC.
∵AB=CD，∴PM=PN.∴△PMN是等腰三角形.
∵PM∥AB，PN∥DC，
∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°.
十九.利用三角形的中位线求角度
∴∠MPN=∠MPD+(180° ∠NPB)=130°.
∴∠PMN=(180° 130°)÷ 2 =25°．
如图， ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，求△DOE的周长．
解：∵ ABCD的周长为36，
∴BC+CD=18．
∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE= CD，
∴OE= BC.
∴△DOE的周长为OD+OE+DE= （BD+BC+CD）=15.
如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.
证明：取AC的中点F，连接BF.
∵BD＝AB，
∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF.
∵E为AB的中点，AB＝AC，
∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.
∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB.
∴CE＝BF.
∴CD＝2CE.
F
如图，E,F,G,H分别为四边形ABCD四边之中点．
求证：四边形EFGH为平行四边形.
证明：如图，连接BD.
∵E,F,G,H分别为四边形ABCD四边之中点，
∴EH是△ABD的中位线， FG是△BCD的中位线，
∴EH∥BD且EH= BD， FG∥BD且FG= BD.
∴EH∥FG且EH=FG ，
∴四边形EFGH为平行四边形.
G
如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．
解：取BC边的中点G，连接EG ， FG．
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线.
又BD=12，AC=16，AC⊥BD，
∴EG=8，FG=6，EG⊥FG.
∴
∴EG∥AC,
FG∥BD,