2020－2021学年沪科版九年级数学上学期安徽省各地相似形复习题选编（word版含解析）

相似 复习题——2020－2021学年上学期安徽省各地九年级期末数学试题选编
一、单选题
1．（2021·安徽肥西·九年级期末）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　）
A． B． C． D．
2．（2021·安徽肥西·九年级期末）如图所示，在长为8 cm，宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是(　　)
A．2 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．16 cm2
3．（2021·安徽·利辛县纪王场乡普通初级中学九年级期末）如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（　　）
A．AC：BC＝AD：BD B．AC：BC＝AB：AD
C．AB2＝CD BC D．AB2＝BD BC
4．（2021·安徽宿松·九年级期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（ ）
A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C． D．
5．（2021·安徽阜南·九年级期末）如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（　　）
A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C． D．
6．（2021·安徽长丰·九年级期末）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（1，1） C．（，） D．（2，1）
7．（2021·安徽·铜陵市第十五中学九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD对角线的交点，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为（ ）
A．4 B． C． D．
8．（2021·安徽庐阳·九年级期末）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，连接BD、CE，若AC︰BC=3︰4，则BD︰CE为（　　）
A．5︰3 B．4︰3 C．︰2 D．2︰
9．（2021·安徽金安·九年级期末）下列各组线段中，成比例的是（　　）
A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，4cm，6cm，8cm
C．3cm，6cm，8cm，12cm D．1cm，3cm，5cm，15cm
10．（2021·安徽马鞍山·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90 ，AC = BC = 4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·安徽太和·九年级期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则AC的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
12．（2021·安徽庐阳·九年级期末）如图，下面图形及各个选项均是由边长为1的小方格组成的网格，三角形的顶点均在小方格的顶点上，下列四个选项中哪一个阴影部分的三角形与已知相似．（ ）
A． B． C． D．
13．（2021·安徽·利辛县纪王场乡普通初级中学九年级期末）如图，已知AB∥CD∥EF，AC=4，CE=1，BD=3，则DF的值为( )
A． B． C． D．1
14．（2021·安徽桐城·九年级期末）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2021·安徽安庆·九年级期末）如图，点分别在反比例函数的图象上．若，，则a的值为（ ）
A． B． C．4 D．2
16．（2021·安徽太湖·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则S△CDF：S四边形ABFE等于（　　）
A．1：3 B．2：5 C．3：5 D．4：9
二、填空题
17．（2021·安徽金安·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AC是矩形ABCD的对角线，并且AC平分∠DAE，AC＝12cm，AD＝9cm，动点P从点E出发，沿EA方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜6），则当t＝_____时，△PQA为等腰三角形．
18．（2021·安徽蜀山·九年级期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E 、F在边BC，CD上运动，且满足BE=CF，连接AE，BF交于点G，连接CG，则CG的最小值为 ________ ；当CG取最小值时，CE的长为 _________
19．（2021·安徽长丰·九年级期末）已知，则______．
20．（2021·安徽太湖·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E．若B′恰好落在射线CD上，则BE的长为_____．
21．（2021·安徽马鞍山·九年级期末）如图，在中，在边上，，是的中点，连接并延长交于点，若，则的长为____．
22．（2021·安徽蒙城·九年级期末）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P是AB边上一动点，把△ADP沿DP折叠得△，射线交直线AB于点Q点．
（1）当Q点和B点重合时，PQ长为___________；
（2）当△为等腰三角形时，DQ长为____________．
23．（2021·安徽砀山·九年级期末）如图，在平行四边形中，，相交于点，是的中点，连接并延长交于点．
（1）__________；
（2）若的面积为，则平行四边形的面积为__________．
24．（2021·安徽太湖·九年级期末）如图，已知线段AB＝a，C，C′是线段AB的两个黄金分割点，则CC′＝________．
25．（2021·安徽桐城·九年级期末）已知线段b是线段a、c的比例中项，如果，，那么______．
26．（2021·安徽蒙城·九年级期末）如图，若芭蕾舞者拍起的脚尖点C分线段AB近似于黄金分割(ACBC)，已知AB=160cm，BC的长约为_________cm．(结果精确到0.1cm)
27．（2021·安徽·利辛县纪王场乡普通初级中学九年级期末）如图，已知点D是边延长线上的一点，交边于点E，交边于点F，且，则长为_________．
28．（2021·安徽瑶海·九年级期末）如图，点Q是△ABC内一点，且满足∠QAB=∠QBC=∠QCA=∠a．
（1）如图1，当△ABC是等边三角形时，∠a=__________．
（2）如图2，当△ABC 是等腰直角三角形(其中 ∠ACB=90°)时，△QAC、△QBA、△QCB的面积之比是___________．
三、解答题
29．（2021·安徽太湖·九年级期末）（感知）（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=．
（探究）（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．
（拓展）（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．
30．（2021·安徽金安·九年级期末）如图，在与中，，且.
求证：.
31．（2021·安徽天长·九年级期末）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，请按如下要求画图：
（1）以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转90°，得到，请画出；
（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为．
32．（2021·安徽肥西·九年级期末）如图，已知边长为10的正方形是边上一动点（与不重合），连结是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若．
（1）求证：；
（2）若，求的面积；
（3）请直接写出为何值时，的面积最大．
33．（2021·安徽太湖·九年级期末）如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好．此时，路灯的灯柱AB的高应该设计为多少米．(结果保留根号)
34．（2021·安徽太湖·九年级期末）已知：如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE=∠C．
（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）若CD=2，求BE的长．
35．（2021·安徽太湖·九年级期末）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是　 　；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是　 　．
36．（2021·安徽·利辛县纪王场乡普通初级中学九年级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，M为AD的中点，连接BM，交AC于E，在CB上取一点F，使得CF＝AE，连接AF，交BM于G，连接CG．
（1）求∠BGF的度数；
（2）求的值；
（3）求证：BG⊥CG．
37．（2021·安徽瑶海·九年级期末）如图，点E是正方形ABCD内部一点，△AEF、△BEG均为等腰直角三角形，∠EAF=∠EBG=90°，连接AG、FC．
（1）已知正方形的边长为5，E、F、G三点在同一条直线上(如图1)．
①若△AEF与△BEG的相似比为2：1，求△EAB的面积；
②求D、E两点之间距离的最小值．
（2）如图2，当E、F、G三点不在同一条直线上时，求证：AGCF．
38．（2021·安徽宿松·九年级期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1
和△A2B2C2：
(1)将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；
(2)以图中的点O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．
39．（2021·安徽砀山·九年级期末）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点P在BC的延长线上，AP与DE、CD分别交于点G、F.
（1）求证：.
（2）若，，求DG的长.
40．（2021·安徽太湖·九年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点（点P不与A、D重合），PE⊥BP，PE交DC于点E．
（1）求证：△ABP∽△DPE；
（2）设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由．
41．（2021·安徽阜南·九年级期末）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G， ．
（1）求证：△CAD∽△CBG；
（2）联结DG，求证：．
42．（2021·安徽马鞍山·九年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．
（1）求证：△AEB∽△CFB；
（2）求证：；
（3）若CE＝5，EF＝2，BD＝6．求AD的长．
43．（2021·安徽桐城·九年级期末）在中，，，点C在直线m上，，，其中点D、E分别在直线AC、m上，将绕点B旋转点D、E都不与点C重合．
当点D在边AC上时如图，设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
当为等腰三角形时，求CD的长．
44．（2021·安徽金安·九年级期末）在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾xm，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，求出x的最小值．
45．（2021·安徽天长·九年级期末）如图，在中点，，分别在，，边上，，．
（1）求证：；
（2）若，的面积是20，求的面积．
46．（2021·安徽安庆·九年级期末）已知，且，求的值．
(
2
)
参考答案
1．B
【详解】
根据勾股定理，AB==2，
BC==，
AC==，
所以△ABC的三边之比为：2：=1：2：，
A、三角形的三边分别为2，=，=3，三边之比为2：：3=：：3，故本选项错误；
B、三角形的三边分别为2，4，=2，三边之比为2：4：2=1：2：，故本选项正确；
C、三角形的三边分别为2，3，=，三边之比为2：3：，故本选项错误；
D、三角形的三边分别为=，=，4，三边之比为：：4，故本选项错误．
故选B．
2．C
【详解】
设留下矩形的宽为xcm，
∵留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，
∴，
解得
则留下矩形的面积为 .
故选C.
3．D
【分析】
根据相似三角形的对应边比例且夹角相等进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角．
【详解】
∵∠B＝∠B，
∴当时，
△ABC∽△DBA，
当AB2＝BD BC时，△ABC∽△DBA，
故选D．
【点睛】
此题主要考查的是相似三角形的判定，正确地判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键．
4．D
【分析】
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．根据此，分别进行判断即可．
【详解】
解：由题意得∠DAE=∠CAB，
A、当∠AED=∠B时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意；
B、当∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意；
C、当=时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意；
D、当=时，不能推断△ABC∽△AED，故本选项符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
5．C
【分析】
根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【详解】
解：∵∠1＝∠2
∴∠DAE＝∠BAC
∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
6．B
【详解】
∵∠OAB=∠OCD=90°，AO=AB，CO=CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为(1，0)，
∴BO=1，则AO=AB=2，
∴A(，)，
∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1:2，
∴点C的坐标为：(1，1).
故选B.
【点睛】
此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键.
7．D
【详解】
解：当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图，
∵P是⊙D的切线，
∴DP垂直与切线，延长PD交AC于M，则DM⊥AC，
∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，
∴AC= =5，
∴OA= ，
∵∠AMD=∠ADC=90°，∠DAM=∠CAD，
∴△ADM∽△ACD，
∴，
∵AD=4，CD=3，AC=5，
∴DM= ，
∴PM=PD+DM=1+ = ，
∴△AOP的最大面积= OA PM= = ，故选D．
【点睛】
本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出P处于什么位置时面积最大．
8．A
【详解】
因为∠ACB=90°，AC︰BC=3︰4，则因为∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，得△ABC △ADE，得 ， ，则， .故选A.
9．D
【分析】
分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论．
【详解】
解：A、∵2×5≠3×4，∴选项A不成比例；
B、∵2×8≠4×6，∴选项B不成比例；
C、∵3×12≠6×8，∴选项C不成比例；
D、∵1×15＝3×5，∴选项D成比例．
故选：D
【点睛】
本题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．
10．C
【分析】
过点F作FH⊥AC于H，则△AFH∽△AEC，设FH为x，由已知条件可证明△CHF是等腰直角三角形，用x分别表示出FH、CH，利用FH=CH列方程即可求出x的值，利用DF=CD-CF即可求解．
【详解】
如图，过点F作FH⊥AC于H．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴AB= ，
∵CD⊥AB，
∴CD=AD= ，
∵FH∥EC，
∴，
∵EC=EB=2，
∴，
∴设FH=，则AH=，CH=4-，
∵∠FCH=45°
∴CH=FH
∴
解得
∴
∴
故选C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是做垂直，构造相似三角形．
11．C
【分析】
根据平行线分线段成比例定理，可得，解比例方程可求出EC，最后即可求出AC．
【详解】
∵DE∥BC，
∴，即，
解得：EC＝2，
∴AC＝AE+EC＝4+2＝6；
故选C．
【点睛】
此题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理及推论和比例的基本性质是解决此题的关键．
12．A
【分析】
本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．
【详解】
解：已知给出的三角形的各边分别为1、、，
只有选项A的各边为、2、与它的各边对应成比例．
故选：A．
【点睛】
本题考查三角形相似判定定理以及勾股定理，是基础知识要熟练掌握．
13．C
【分析】
根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．
【详解】
解：∵直线AB∥CD∥EF，AC=4，CE=1，BD=3，
∴ 即，解得DF=．
故选C．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．
14．B
【分析】
根据比的性质，可得a，b，c，代入代数式求值，可得答案．
【详解】
解：由a：b：c=2：4：5，
设a=2x，b=4x，c=5x．
∴==，
故选B．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用比的性质得出a=2x，b=4x，c=5x是解题的关键．
15．B
【分析】
分别过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，根据点A所在的图象可设点A的坐标为（x, ），根据相似三角形的判定证出△BDO∽△OCA，列出比例式即可求出点B的坐标，然后代入中即可求出a的值．
【详解】
解：分别过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，
∵点A在反比例函数上，
设点A的坐标为（x, ），则OC=x，AC=，
∴∠BDO=∠OCA=90°
∵OA⊥OB，
∴∠BOD＋∠AOC=180°－∠AOB=90°，∠OAC＋∠AOC=90°
∴∠BOD=∠OAC
∴△BDO∽△OCA
∴
解得：OD=2AC=，BD=2OC=2x，
∵点B在第二象限
∴点B的坐标为（，2x）
将点B坐标代入中，解得a=﹣4
故选B．
【点睛】
此题考查的是求反比例函数解析式相似三角形的判定及性质，掌握用待定系数法求反比例函数的解析式和构造相似三角形的方法是解决此题的关键．
16．B
【分析】
由△DEF∽△BCF，推出,由AE=DE，推出设△DEF的
面积为S．则△CDF的面积为2S，△BFC的面积为4S，△BCD的面积=△ABD的面积=6S，
推出四边形ABFE的面积为5S，由此即可解决问题；
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ED∥BC，BC=AD，
∴△DEF∽△BCF，
∴
∵AE=DE，
设△DEF的面积为S．则△CDF的面积为2S，△BFC的面积为4S，△BCD
的面积=△ABD的面积=6S，
∴四边形ABFE的面积为5S，
∴S△CDF：S四边形ABFE=2：5，
故选B．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会利用
参数解决问题，属于中考常考题型．
17．4或5
【分析】
先证明EA＝EC，设EA＝x，在Rt△ABE中，由勾股定理列出x的方程，求得x，再分三种情况：AP＝AQ；PA＝PQ；QA＝QP．借助比例线段列出t的方程，求得t便可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，AC＝12cm，AD＝9cm，
∴AD＝BC＝12cm，AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴AB＝，
∵AC平分∠DAE，
∴∠DAC＝∠CAE，
∵AD∥BC，
∴∠ACE＝∠DAC＝∠CAE．
∴EA＝EC，
设EA＝EC＝xcm，则BE＝9﹣x（cm），
∵AE2＝BE2＝AB2，
∴，
解得，x＝8，
∴AE＝EC＝8cm，
由题意知，PE＝tcm，CQ＝2tcm，则AP＝8﹣t（cm），AQ＝12﹣2t（cm），
当AP＝AQ时，有8﹣t＝12﹣2t，解得t＝4；
当PA＝PQ时，∠PAQ＝∠AQP＝∠ACB，
∴PQ∥CE，
∴，即，
解得，t＝0（舍去）；
当QP＝QA时，∠QPA＝∠QAP＝∠ECA，
∵∠PAQ＝∠CAE，
∴△APQ∽△ACE，
∴，即，
解得，t＝5．
综上，当t＝4秒或5秒时，△PQA为等腰三角形．
故答案为：4或5．
【点睛】
本题是矩形中的动点问题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质，方程思想，分类思想，关键是求出AE和分类列出t的方程．
18．2-2； ；
【分析】
在正方形中，易证，可得，则点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆弧，因此当、、在同一条直线上时，取最小值，根据勾股定理可得的最小值为，根据，则有可得，得到：，则，设，则，可得，又∵，，得，得到，解之得：，（不合题意，舍去），从而得到的长为．
【详解】
解：如图示：
在正方形中，
在和中，
，
，
∴
∵
∴
即有：
点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆弧，
因此当、、在同一条直线上时，取最小值，
∵,
∴
∴，
∴的最小值为，
∵
∴
∴
∴
∴,
设，则，
∴，
∴
又∵，，
∴
∴,
即：
解之得：，（不合题意，舍去），
∴，
故答案是：，．
【点睛】
本题考查了正方形的性质， 全等三角形的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
19．．
【分析】
根据两内项之积等于两外项之积解答即可．
【详解】
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了比例的性质，可根据比例的基本性质直接求解．
20．或15
【分析】
如图1，根据折叠的性质得到AB′＝AB＝5，B′E＝BE，根据勾股定理得到BE2＝（3﹣BE）2+12，于是得到BE＝，如图2，根据折叠的性质得到AB′＝AB＝5，求得AB＝BF＝5，根据勾股定理得到CF＝4根据相似三角形的性质列方程得到CE＝12，即可得到结论．
【详解】
解：如图1，∵将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E，
∴AB′＝AB＝5，B′E＝BE，∴CE＝3﹣BE，∵AD＝3，∴DB′＝4，∴B′C＝1，∵B′E2＝CE2+B′C2，
∴BE2＝（3﹣BE）2+12，
∴BE＝，
如图2，∵将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E，
∴AB′＝AB＝5，
∵CD∥AB，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∵AE垂直平分BB′，
∴AB＝BF＝5，
∴CF＝4，
∵CF∥AB，
∴△CEF∽△ABE，
即
综上所述：的长为：或
故答案为：或．
【点睛】
本题考查折叠的性质、垂直平分线的性质、勾股定理及A字型相似的综合运用，注意分类讨论，属于中考常考题型．
21．9
【分析】
过D点作DF∥CE交AE于F，如图，先由DF∥BE，根据平行线分线段成比例得到DF=BE=3，再由DF∥CE得到，然后利用比例的性质求CE的长．
【详解】
解：过D点作DF∥CE交AE于F，如图，
∵DF∥BE，
∴，
∵O是BD的中点，
∴OB=OD，
∴DF=BE=3，
∵DF∥CE，
∴，
∵AD：DC=1：2，
∴AD：AC=1：3，
∴，
∴CE=3DF=3×3=9．
故答案为9．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
22． 或
【分析】
（1）画出点Q与B重合时的图象，根据折叠的性质得到相等的边，设，则，在中利用勾股定理列式求出结果；
（2）分情况讨论，利用等腰三角形“三线合一”的性质，结合相似三角形的性质和判定，列式求出DQ的长．
【详解】
解：（1）如图，当点Q与B重合时，
∵，，，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，解得，
故答案是：；
（2）①如图，当A D=A C=8时，过点作于点M，
由等腰三角形“三线合一”的性质得DM=DC=3，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，则，解得；
②如图，当A C=DC=6时，过点C作于点N，
由等腰三角形“三线合一”的性质得DN=DA =4，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，则，解得；
③∵，，
∴，
故答案是：或．
【点睛】
本题考查折叠问题，解题的关键是掌握勾股定理，矩形的性质，折叠的性质，以及相似三角形的性质和判定．
23．2， 96
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到AE=CE，根据相似三角形的性质得到比例式，等量代换得到AF=AD，于是得到2；
（2）先得出，再利用E为AO的中点，AO=CO，得出，进而得出结果．
【详解】
解：（1）∵在 ABCD中，AO=AC，
∵点E是OA的中点，
∴AE=CE，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴，
∵AD=BC，
∴AF=AD，
∴2；
（2）由（1）得△AFE∽△CBE，且，的面积为，
∴ ，
∵E为AO的中点，AO=CO，
∴，
∴，
∴ ，
故答案为：2，96．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
24．
【分析】
根据黄金分割点的定义，知较短的线段=原线段的倍，可得BC的长，同理求得AC′的长，则CC′即可求得．
【详解】
∵线段AB＝a，C，C′是线段AB的两个黄金分割点，
∴较短线段AC′＝BC＝a，
则CC′＝AB－AC′－BC＝a－2×a＝(－2)a．
故答案是：(－2)a．
【点睛】
本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的倍，较长的线段=原线段的倍．
25．
【分析】
根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2=ac，即可求解．
【详解】
解：线段b是线段a、c的比例中项，
，
，，
（b=-舍去），
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．
26．98.9
【分析】
由点是线段的黄金分割点，可得可得计算后可得答案．
【详解】
解：∵C分线段AB近似于黄金分割，且AC故答案为：．
【点睛】
本题考查的是黄金分割的含义，掌握“点是线段的黄金分割点，可得”是解题的关键．
27．2
【分析】
过点C作CG∥AB交DF于G，于是得到△CDG∽△BDF，△CEG∽△AFE，根据相似三角形的性质得，，结合求得BF＝4CG，AF＝2CG，即可得到结论．
【详解】
解：过点C作CG∥AB交DF于G，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
28．30° 1：2：2
【分析】
（1）先证明 ACQ BAQ CBQ，从而得到∠QAB=∠QBC=∠QCA=∠QAC=∠QBA=∠QCB，进而即可求解；
（2）先证明 CAQ~ ABQ，从而得，设AQ=m，则BQ=，m2= CQ，CQ=，再证明∠BQC=90°，设AC=BC=a，由勾股定理得，然后分别表示出，，进而即可求解．
【详解】
（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠CAB=∠ABC=∠ACB=60°，
∵∠QAB=∠QBC=∠QCA=∠a，
∴∠QAC=∠QBA=∠QCB，
∴ ACQ BAQ CBQ，
∴QA=QB=QC，
∴∠QAB=∠QBC=∠QCA=∠QAC=∠QBA=∠QCB=30°，
故答案是：30°；
（2）∵∠QAB=∠QBC，△ABC 是等腰直角三角形(其中 ∠ACB=90°)，
∴∠QAC=∠QBA，
又∵∠QCA=∠QAB，
∴ CAQ~ ABQ，
∴，
设AQ=m，则BQ=，m2= CQ，
∴CQ=，
∵∠QCA+∠QCB=90°，∠QCA=∠QBC，
∴∠QCB+∠QBC=90°，即∠BQC=90°，
设AC=BC=a，
在Rt CQB中，，
∴，
∴，
∵ CAQ~ ABQ，
∴，
∵，
∴，
∴△QAC、△QBA、△QCB的面积之比是：1：2：2．
故答案是：1：2：2．
【点睛】
本题主要考查全等三角形得判定和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质， 是解题的关键．
29．（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析
【分析】
（1）证得∠BEC=∠EAD，证明Rt△AED∽Rt△EBC，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
（2）过点G作GM⊥CD于点M，由（1）可知，证得BC=GM，证明△BCH≌△GMH（AAS），可得出结论；
（3）在EG上取点M，使∠BME=∠AFE，过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，证明△AEF∽△EBM，由相似三角形的性质得出，证明△DEF∽△ECN，则，得出，则BM=CN，证明△BGM≌△CGN（AAS），由全等三角形的性质可得出结论．
【详解】
（1）∵∠C=∠D=∠AEB=90°，
∴∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°，
∴∠BEC=∠EAD，
∴Rt△AED∽Rt△EBC，
∴；
（2）如图1，过点G作GM⊥CD于点M，
同（1）的理由可知：，
∵，，
∴，
∴CB=GM，
在△BCH和△GMH中，
，
∴△BCH≌△GMH（AAS），
∴BH=GH；
（3）证明：如图2，在EG上取点M，使∠BME=∠AFE，
过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，
∵∠EAF+∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠AEB+∠BEM=180°，∠EFA=∠AEB，
∴∠EAF=∠BEM，
∴△AEF∽△EBM，
∴，
∵∠AEB+∠DEC=180°，∠EFA+∠DFE=180°，
而∠EFA=∠AEB，
∴∠CED=∠EFD，
∵∠BMG+∠BME=180°，
∴∠N=∠EFD，
∵∠EFD+∠EDF+∠FED=∠FED+∠DEC+∠CEN=180°，
∴∠EDF=∠CEN，
∴△DEF∽△ECN，
∴，
又∵，
∴，
∴BM=CN，
在△BGM和△CGN中，
，
∴△BGM≌△CGN（AAS），
∴BG=CG．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
30．见解析
【分析】
先证得，利用有两条对应边的比相等，且其夹角相等，即可判定两个三角形相似．
【详解】
∵，
∴，
即，
又，
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两条对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似，熟记各种判定相似三角形的方法是解题关键．
31．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点O对称的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用位似的性质，找出点A2、B2、C2的位置，然后画出图形即可．
【详解】
解：（1）位置正确；用直尺画图；
（2）位置正确；用直尺画图．
【点睛】
本题考查了位似图形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握所学的性质正确的做出图形．
32．（1）见解析；（2）8；（3）5
【分析】
（1）先判断出CG=FG，再利用同角的余角相等，判断出∠BAE=∠FEG，进而得出△ABE∽△EGF，即可得出结论；
（2）先求出BE=8，进而表示出EG=2+FG，由△BAE∽△GEF，得出，求出FG，最后用三角形面积公式即可得出结论；
（3）同（2）的方法，即可得出S△ECF=，即可得出结论.
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCG=90°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCG=∠DCG=45°，
∵∠G=90°，
∴∠GCF=∠CFG=45°，
∴FG=CG，
∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，
∴∠B=∠G=∠AEF=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEG=90°，
∴∠BAE=∠FEG，
∵∠B=∠G=90°，
∴△BAE∽△GEF；
（2）∵AB=BC=10，CE=2，
∴BE=8，
∴FG=CG，
∴EG=CE+CG=2+FG，
由（1）知，△BAE∽△GEF，
∴，
∴，
∴FG=8，
∴S△ECF=CE FG=×2×8=8；
（3）设CE=x，则BE=10-x，
∴EG=CE+CG=x+FG，
由（1）知，△BAE∽△GEF，
∴，
∴，
∴FG=10-x，
∴S△ECF=×CE×FG=×x （10-x）=，
当x=5时，S△ECF最大=，
∴当EC=5时，的面积最大.
【点睛】
此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，判断出△BAE∽△GEF是解本题的关键．
33．(10－4)米
【分析】
延长OC，AB交于点P，△PCB∽△PAO，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可解题．
【详解】
解：如图，延长OC，AB交于点P．
∵∠ABC=120°，
∴∠PBC=60°，
∵∠OCB=∠A=90°，
∴∠P=30°，
∵AD=20米，
∴OA=AD=10米，
∵BC=2米，
∴在Rt△CPB中，PC=BC tan60°=米，PB=2BC=4米，
∵∠P=∠P，∠PCB=∠A=90°，
∴△PCB∽△PAO，
∴，
∴PA===米，
∴AB=PA﹣PB=（）米．
答：路灯的灯柱AB高应该设计为（）米．
34．（1）证明见解析；（2）2.4.
【分析】
（1）由题中条件可得∠B=∠C，所以由已知条件，求证∠BDE=∠CAD即可得△BDE∽△CA；（2）由（1）可得△BDE∽△CAD，进而由相似三角形的对应边成比例，即可求解线段的长．
【详解】
（1）∵ AB=AC，∴∠B=∠C．
∵∠ADE+∠BDE=∠ADB =∠C+∠CAD，且∠ADE=∠C，
∴∠BDE =∠CAD．
∴△BDE∽△CAD．
（2）由（1）△BDE∽△CAD得．
∵ AB=AC= 5，BC= 8，CD=2，
∴．
∴．
35．（1）画图见解析，(2,-2)；（2）画图见解析，（1,0）；
【分析】
（1）将△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，如图所示，找出所求点坐标即可；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，如图所示，找出所求点坐标即可．
【详解】
（1）如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，-2）；
（2）如图所示，以B为位似中心，画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是（1，0），
故答案为（1）（2，-2）；（2）（1，0）
【点睛】
此题考查了作图-位似变换与平移变换，熟练掌握位似变换与平移变换的性质是解本题的关键．
36．（1）60°；（2） ；（3）证明见解析
【分析】
（1）证明△BAE≌△ACF（SAS），推出∠ABE＝∠CAF可得结论．
（2）证明△BAG∽△BMA，推出，推出即可解决问题．
（3）想办法证明△CBG∽△MBC可得结论．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴△ABC，△ADC都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAE＝∠ACF＝60°，
∵AE＝CF，
∴△BAE≌△ACF（SAS），
∴∠ABE＝∠CAF，
∴∠BGF＝∠ABE+∠BAG＝∠CAF+∠BAG＝∠BAC＝60°．
（2）∵∠BAG+∠ABG＝∠ABG+∠CBM＝60°，
∴∠BAG＝∠CBM，
∵AD∥CB，
∴∠AMB＝∠CBM，
∴∠BAG＝∠BMA，
∵∠ABG＝∠ABM，
∴△BAG∽△BMA，
∴，
∴，
∵AM＝MD＝AD＝AB，
∴．
（3）设AM＝DM＝x，连接CM，
∵△ACD是等边三角形，
∴CM⊥AD，
∴CM＝AM＝，
∵AD∥CB，
∴CM⊥BC，
∴∠BCM＝90°，
∵AD＝BC＝2x，
∴BM＝，
∵△BAG∽△BMA，
∴，
∴，
∴BG＝，
∴，
∵∠CBG＝∠CBM，
∴△CBG∽△MBC，
∴∠BGC＝∠BCM＝90°，
∴BG⊥CG．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
37．（1）①5；②；（2）见解析
【分析】
（1）①由条件可证明△AEB是直角三角形；由△AEF与△BEG的相似比为2：1，可得AE:EB=2:1，继而由勾股定理可求得的值，于是可求△EAB的面积；
②由①中∠AEB=90°可知点E在以AB为直径的半圆上，O为圆心，连接OD交圆于点E，此时DE的长最小，据此可求；
（2）依次证明△CGB≌△AEB，△DFA≌△BEA，△FDC≌△ABG，于是可得AF=GC，FC=AG，可证四边形AFCG为平行四边形，所以AG∥FC．
【详解】
解：（1）①∵△AEF、△BEG均为等腰直角三角形，∠EAF=∠EBG=90°，
∴∠AEF=∠BEG=45°，
∵E、F、G三点在同一条直线上
∴∠AEB=180°-45°-45°=90°，
∴△AEB是直角三角形，
∵△AEF与△BEG的相似比为2:1，
∴AE:EB=2:1，
∴AE=2EB，
∴，
∴，
∴△EAB的面积=；
②如图3，
由①中∠AEB=90°可知点E在以AB为直径的半圆上，O为圆心，连接OD交圆于点E，此时DE的长最小，
∵ ，
∴；
（2）如图4，连接GC、DF，
∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∵BC=AB，EB=GB，
∴△CGB≌△AEB（SAS），
∴CG=AE，
∵△AFE是等腰直角三角形，
∴FA=EA=CG，
同理可证：△DFA≌△BEA，
∴DF=EB=BG，∠FDA=∠3，
∵∠CDA=∠CBA=90°
∴∠FDA+∠ADC=∠3+∠CBA，
即∠FDC=∠ABG，
又∵DC=AB，
∴△FDC≌△ABG，
∴FC=AG，
又∵AF=GC，
∴四边形AFCG为平行四边形，
∴AG∥FC．
【点睛】
本题考查了隐圆问题，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质，平行四边形的判定与性质，综合性较强，难度较大．
38．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）把A、B、C三点先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到A1，B1，C1，顺次连接得到的各点即可；
（2）延长OA1到A2，使0A2=20A1，同法得到其余各点，顺次连接即可．
【详解】
解：（1）如图；
（2）如图；
39．（1）见解析；（2）.
【分析】
（1）根据正方形的性质可得AD//BP,从而证出DAFCPF,即可得证．
（2）由⑴的结论和，得出AD=2CP=6,则CP=3,再根据点E是BC的中点，EC=3得出AD=EP=6,从而得出，得出，再利用勾股定理求得，从而得出DG的长．
【详解】
⑴在正方形ABCD中，
∵，
∴DAFCPF,
∴.
⑵由⑴知，
又∵，，∴，
∵点E是BC的中点，∴，∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
∵,
∴.
【点睛】
本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
40．（1）见解析；（2）（x≠5）；（3）能，当或时，四边形能构成矩形．
【分析】
（1）根据同角的余角相等得到，根据相似三角形的判定定理证明结论；
（2）根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（3）根据矩形的判定定理、结合一元二次方程计算即可．
【详解】
（1）证明：，
，
，
，
，
，，
，
；
（2），
，即，
则，；
（3）当四边形为矩形时，，即，
则，
解得，，，
当或时，四边形能构成矩形．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，掌握相关的性质定理和判断定理是解题的关键，注意函数思想在解题中的灵活运用．
41．（1）见解析；（2）见解析；
【分析】
（1）由及∠AFG=∠EFA，证得△FAG∽△FEA，结合AE∥BC，证得∠EBC =∠FAG，从证得结论；
（2）由（1）的结论得到，证得△CDG ∽△CAB，结合AE∥BC，证得，继而证得结论.
【详解】
（1）∵，
∴．
又∵∠AFG=∠EFA，
∴△FAG∽△FEA．
∴∠FAG=∠E．
∵AE∥BC，
∴∠E=∠EBC．
∴∠EBC =∠FAG．
又∵∠ACD=∠BCG，
∴△CAD ∽△CBG．
（2）∵△CAD ∽△CBG，
∴．
又∵∠DCG=∠ACB，
∴△CDG ∽△CAB，
∴．
∵AE∥BC，
∴．
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，灵活运用比例的性质以及中间比是解题的关键.
42．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【分析】
（1）结合直角三角形两锐角互余、角平分线的性质，根据两角对应相等两三角形相似即可完成证明；
（2）首先证明CE＝CF，利用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）解直角三角形求出FH，CH，利用相似三角形的性质求出DF，再根据相似三角形的性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴△AEB∽△CFB．
（2）结合（1）的结论，得：∠ABE＝∠CBE，∠A＝∠BCD，
∴∠CFE＝∠BCD+∠CBE＝∠A+∠ABE，
∵∠CEF＝∠A+∠ABE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∵△AEB∽△CFB，
∴＝，
∴＝．
（3）如图，作CH⊥EF交EF于点H
∵CE＝CF，CH⊥EF，
∴EH=FH==，
∴CH＝＝＝2，
∵，
∴△BFD∽△CFH，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝3
∴CD＝CF+DF＝CE+DF＝5+3＝8，
∵∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝，
∴＝，
∴AD＝．
【点睛】
本题考查了直角三角形、相似三角形、角平分线、等腰三角形、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余、相似三角形、角平分线、三角形外角、等腰三角形、勾股定理的性质，从而完成求解．
43．（1）；（2）当为等腰三角形时，CD的长为2或或．
【分析】
(1)证明△ADB∽△CEB，通过比例式找到y与x的关系；
(2)分情况讨论，①当BE=CE时，C、D重合，不符合题意，舍去；
②当BC=BE时，如图1；③当BC=CE时，有两种图形(如图2、3).画出对应图形后，根据等腰三角形的性质，求出底角度数，再转化为边之间的关系即可求解．
【详解】
解：，．
．
，，
．
∽．
，即．
；
当时，C、D重合，不符合题意，舍去；
当时，如图1，，
，
．
则．
．
，
是等腰直角三角形．
，
；
当时，
Ⅰ如图2，，
．
．
．
，
．
；
Ⅱ如图3，则，
．
，
，
．
．
．
所以当为等腰三角形时，CD的长为2或或．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，还考查了分类讨论思想，解题的关键是画出对应图形进行求解．
44．x的最小值为10．
【分析】
先证明△OCD∽△OAB，再根据相似三角形的性质得到＝，从而求得x的最小值．
【详解】
如图，由题可得CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴＝，即＝，
解得x＝10，
∴x的最小值为10．
【点睛】
考查了相似三角形的应用，解题的关键是理解题意，将题意转化成相似三角形问题，再利用相似三角形的知识解决问题．
45．（1）见解析；（2）的面积为45
【分析】
（1）根据平行线的性质可得∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，进而可得结论；
（2）由已知条件可得＝，易证△EFC∽△BAC，再根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】
（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠FCE，
∵EF∥AB，
∴∠DBE＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
（2）解：∵，
∴＝，
∵EF∥AB，
∴△EFC∽△BAC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
46．10．
【分析】
巧用未知数表示比值，转化为方程求解即可．
【详解】
，
设，，，
∵，
，
解得，
，，，
．
【点睛】
本题考查了比例的性质，理解比例，合理引入未知数解题是解题的关键．
(
2
)
(
1
)