3.2.2双曲线的简单几何性质(第二课时)
一、【目标】——认清目标，这是你前进的方向！
1.会利用双曲线的渐近线求出双曲线的方程，离心率
2.会求双曲线的离心率
二、【生活中的数学】——数学来源于生活，对数学的探索，也就是对生活的探索
如果我是双曲线
你就是那渐近线
如果我是反比例函数
你就是那坐标轴
虽然我们有缘
能够生在同一个平面
然而我们又无缘
漫漫长路无交点
为何看不见
等式成立要条件
难到正如书上说的
无限接近不能达到……
——节选自王渊超《悲伤的双曲线》
王渊超于1995年读高中时创作了这首歌曲。创作灵感来源于一堂解析几何课，当时老师正在论证讲解“双曲线与渐近线只能无限接近不能达到”，而正是这点给王渊超带来了创作动机，并在笔记本上把歌词一挥而就。课后，他在家中，拨动着吉他，旋律顺着六弦琴的和弦转换畅然而出，《悲伤的双曲线》就此诞生。
这首歌曲很好的刻画了双曲线与渐近线的关系，永远接近但不能相交。渐近线也成了双曲线不能或缺的几何性质之一。如果我们一直双曲线的渐近线，我们可以求出什么呢？
三、【合作解疑】——努力，发挥你们的小宇宙吧！
（1）双曲线的离心率为__________，焦点到渐近线的距离为__________．
（2）双曲线到渐近线的距离为
（3）渐近线方程为，经过点，求双曲线的方程
（4）一个双曲线的渐近线的方程为: ,它的离心率为 .
（5）求与双曲线渐近线相同，且经过点(2,3)的双曲线的标准方程
总结：与双曲线共渐近线的双曲线方程可设为
（6）已知双曲线的虚轴长是实轴长的两倍，则双曲线的离心率（ ）
A. B. C. D. 2
四、【闯关训练】—— 一关接一关，打怪前进！
第一关 （1）已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为 ．
（2）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为__________．
你已经会利用双曲线的渐近线求双曲线的标准方程了！
第二关 （1）若双曲线的右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍，则双曲线的离心率为_____ __
（2）双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为
你已经会求双曲线的离心率了！
五、【巩固提高】—— 本节的内容真的吃透了吗？
1．已知双曲线的一条渐近线为，则_________．
2. 若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是__________.
3. 与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的方程为__________．
4.在平面直角坐标系中，已知点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为____．
5．若双曲线的一条渐近线过点，则此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6. 双曲线的一条渐近线与直线垂直，则这双曲线的离心率为__ __。
7. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
8. 设分别是双曲线的左右焦点，点，则双曲线的离心率为__________．
9. 已知双曲线的左、右端点分别为，点，若线段的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为__________．
10.已知双曲线的左右焦点分别为，双曲线上一点满足轴．若，则该双曲线的离心率为_________．
第 1 页3.2.2 双曲线的简单几何性质(第一课时)
一、【目标】——认清目标，这是你前进的方向！
1.通过“冷却塔”这一生活中出现的双曲线的例子，引入双曲线的几何性质，数形结合思想的贯彻，学生通过双曲线的标准方程，推导出这些性质
2.能根据双曲线的方程求出双曲线的几何性质
3.运用双曲线的几何性质求双曲线方程
二、【合作探究】——数学来源于生活，对数学的探索，也就是对生活的探索
冷却塔利用简单的烟囱效应带动空气来工作。其实无论什么形状，只要营造出一定垂直坡度的空间，就可以产生烟囱效应。那为什么要双曲面的设计呢？那是因为双曲线形的设计有助于提高冷却的效率，底部有最大的圆周，可以最大限度地进入冷空气，冷空气到达最细部位时，接触热水，这时首先由于管径变小，空气流速加快，可以尽快的带走热水中的热量，其次由于管径变小，冷空气的体积也受到压缩，故压力也有增加，而压力增加流体的含热能力会随之增加，于是在细腰部冷空气可以最大限度的吸收热水的热量从而使热水冷却。到了最上部，管径再次扩大，已携带了大量热量的空气由于速度减慢，压力减小，又将所含的热量释放出来形成白色的水蒸气。
另外，冷却塔的单叶双曲面是一种直纹曲面，这一点可以形象化地简单的理解为把一根直线绕着与它异面的一个轴旋转，这个直线划过的曲面就是一个单叶双曲面。这意味着一个建筑，如果有着单叶双曲面的造型，那么它的主体可以只由直的钢梁来建造。毕竟大型钢梁，生产直的会比生产弯的更方便。这样既可以减少风的阻力，又可以用最少的材料来维持结构的完整性。一个最典型的例子是广州塔“小蛮腰”。
双曲线在我们日常生活中的应用例子非常多，这是由双曲线的性质决定的，下面我们一起探究一下双曲线的性质
探究1：类比探究椭圆的几何性质，拿出你手上的双曲线纸板，你可以将它对折，使得两部分重合吗？这样的折痕有多少条？
由探究1可知，对折后，使得两部分重合的折痕有 条。按上一节我们建立的坐标系可知，双曲线的对称轴为 .它是一个 的图形。
探究2：（1）同样的，我们把双曲线与坐标轴的交点成为椭圆的顶点，请问这样的顶点有多少个？它们的坐标分别是什么？
由探究2可知.双曲线的顶点有 个，它们的坐标分别是 .
新知：我们图中把称为实轴，称为虚轴
反思 ：与椭圆比较，为什么不叫双曲线的顶点？为什么称为虚轴？
探究3：（1）请同学们在下面的矩形的长（6）和宽（4）为实轴，作出虚轴作双曲线
（2）你能写出你画出来的双曲线的标准方程及其，的取值范围吗？
（3）若双曲线的方程为，请写出其，的取值范围.
探究4：（1）探究3中画出的双曲线与矩形的对角线有什么关系？
（2）直线与双曲线又有什么关系呢？
（3）新知：我们把与双曲线无限接近但不相交的直线成为双曲线的渐近线，请问双曲线的渐近线是
探究5：类比椭圆，椭圆的离心率是描述椭圆的圆扁程度。那双曲线的离心率的大小对双曲线的影响是什么？
三、【归纳总结】——试一试总结两种双曲线的几何性质
标准方程
图形
范围
对称性
顶点坐标
离心率
渐近线
四、【闯关训练】—— 一关接一关，打怪前进！
第一关 （1）求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐
厉害了，你已经认识椭圆的几何性质有一个基本的认识！
第二关 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
第二关 (1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；(2) 离心率，经过点
(3)经过点A(3,-1)的等轴双曲线
厉害了，你会利用双曲线的几何性质求出双曲线的方程！
五、【巩固提高】—— 本节的内容真的吃透了吗？
1.求双曲线的实半轴长和虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程。
2.的实轴长为 ，虚轴长为 ，顶点坐标为 ，焦点坐标为 ，离心率为 。
3．双曲线的两条渐近线所成的锐角是__________________
4. 已知双曲线顶点间的距离是16，离心率，焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的标准方程，并且求出它的渐近线和焦点坐标。
5. 求以椭圆的顶点为顶点，离心率为的双曲线方程.
6．已知双曲线的两焦点是椭圆的两顶点，双曲线的两条准线恰好过这个椭圆的焦点，求双曲线的方程
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