高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册 《直线与圆的位置关系》教学设计

《直线与圆的位置关系》教学设计
一、教学目标
1、知识与技能：
①掌握判断直线与圆的位置关系的两种方法；
②解决与位置关系相关的问题，如，弦长、切线、方程、最值等问题。
2、过程与方法：
①体验几何问题代数化，代数结果几何化的过程。
②感受数形结合、设而不求的整体的思想方法。
3、情感态度与价值观：
①形成“数学是个相互联系、统一的整体”的数学观。
②激发学生学习数学的积极性与主动性，体验求知的乐趣。
二、教学方法
本节课以教师引导启发，学生探索、交流、讨论为主，并充分借助多媒体，增强直观性。完成从感性认识到理性思维的一个飞跃。
三、教学过程
1、知识引入（回顾旧知、形成系统网络结构、感受解析几何本质、创造“缺口”、激发兴趣）
位置关系：直线与直线→直线与曲线（圆）→曲线（圆）与曲线（圆）
学习方法：几何问题代数化，通过坐标系实现（点→坐标、线→方程、约束条件→数学化）
心理“缺口”：直线与圆的位置关系是否也能用代数的方法解决呢？
设计意图：新旧知识建立联系、便于保持、迁移；学会一种研究方法，定性的问题，定量来研究；获得一个正确的数学观——数学是统一、有联系的。
2、探究新知（教师引导、共同探索发现、利用多媒体、感受直观、形成理性思维）
几何问题→代数问题 代数结果→几何解释
法一 根据定义（公共点个数） 联立方程、消元、看判别式 △>0相交；△= 0相切；△<0相离
法二 d与r的大小关系 点到直线的距离，再作比较 dr相离
设计意图：师生结合图形一起探索获得新知，便于学生理解体会判断方法的来龙去脉。
3、例题讲解（强化新知、讲练结合、变式拓展）
两类例题：知道方程判断位置关系，并求相关量（如例1）。知道位置关系，求方程（如例2）。
例1已知：直线l1：3x+y-6=0、直线l2：x-y-3=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0。分别判断l1与圆C，l2与圆C的位置关系。
处理方式：对于l1和圆C的位置关系，由教师引导，学生讨论后，教师给出两种判断方法的详解。并进行方法点评，总结步骤。
方法点评：
法一（判别式法）：具有更广泛应用，更深层的价值，为后面学习直线与圆锥曲线的位置关系作铺垫。
法二：利用“弦心三角形”，根据勾股定理，可得到r2=d2+p2,其中d是弦心距，p是半弦长。该法更简捷。
直线l2与圆C的位置关系让学生做当堂练习。简要点评。
拓展1：求直线l1被圆C所截得的弦长。
先让学生自己试着做，用投影呈现学生的求解方法，点评方法。预设有三种方法。法1：求出交点坐标，用两点的距离公式求弦长。
法2：由“弦心三角形”， r2=d2+p2,求解弦长。
法3：利用韦达定理，设而不求，获得弦长公式（此法以△>0为前提）。
拓展2：求出圆Ｃ上的点到直线l2的最大、最小距离。
本题旨在体现直线与圆相离时问题的研究方向。采用“数形结合”进行简要分析，然后投影出正确解答。
例2 已知过点M（－3，－3）的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为，求直线l的方程。
处理方式：引导学生，欲求直线方程，已知定点，只需求斜率。根据条件已知弦长，由例1中的方法可以列出方程求解。并进行方法点评——涉及弦长，利用“弦心三角形”更为简捷。
思考 如果解出来只有一条直线，是否就真的只有一条？
拓展1 例2中去掉弦长，若M（－3，－3）为弦的中点，能否求直线l的方程？
即：已知直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦的中点为M（－3，－3），求直线l的方程。
4、小结：
直线与圆的位置关系的判断方法
几何法 代数法
(ⅰ) 确定圆心坐标和半径r (ⅰ)把直线方程代入圆的方程
(ⅱ) 计算圆心到直线的距离d (ⅱ) 得到一元二次方程
（ⅲ）判断d与r的大小关系 （ⅲ） 求出判别式△的值
已知直线与圆的位置关系，求解相关问题。
5、作业：
补充作业　　例1中，已知圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，①求切点为P1（1，3）的圆的切线方程；②求经过点P2(3,4)的圆的切线方程。
课本：P132 习题4.2 A组 1，2，5
思考题　　课本例１联立方程组后所得一元二次方程x2-3x+2=0中x有没取值范围？如果有是什么？对用判别式△判断实根有没影响？
四、教学反思
本节课充分地体现数形结合的思想，重在激发学生探求知识的求知欲，引导学生学会思考，学会探索，在思考中感受解析几何的魅力，体会数学的思想方法。
附：板书设计
直线与圆的位置关系
相交 <=> d △>0 例1 拓展1 例2
相切 <=> d=r <=> △=0
相离 <=> d>r <=> △<0 拓展2 拓展1
（符号“<=> ”读作“等价于”）
Ax+By+C=0
x2+y2+Dx+Ey+F=0
联立得△.