湘教版初中数学八年级上学期期末复习专题5 三角形
一、单选题
1．（2021八上·河西期中）如图所示，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．25° B．30° C．40° D．60°
2．（2021八上·河西期中）下面图形中具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021八上·河西期中）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们首尾相连摆成一个三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm
4．（2021八上·河西期中）下面四个图形中，线段BE能表示三角形ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021八上·寿阳期中）下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（ ）
A．三条边的长度比为1：2：3 B．三个角的度数比为1：2：3
C．三条边满足关系 D．三个角满足关系∠B+∠C=∠A
6．（2021八上·日照期中）如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分别是△ABC的两外角的平分线，下列结论中：①CP⊥CD②∠P＝ ③BC＝CD④⑤PD//AC，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2021八上·日照期中）如图所示，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．35° C．25° D．20°
8．（2021八上·日照期中）如图，△ABC中BC边上的高是（ ）
A．BD B．AE C．BE D．CF
9．（2021八上·日照期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）.
A．2，3，5 B．3，3，6 C．2，5，8 D．4，5，6
10．（2021八上·即墨期中）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点 ， ， 都在格点上，若 是 的边 上的高，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021八上·河西期中）下图中的x的值为 ．
12．（2021八上·薛城期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线y＝﹣5x＋5与x轴、y轴分别交于点A，B，则△AOB的面积为 ．
13．（2021八上·潍坊期中）等腰三角形的周长为18，其中一条边的长为8，则底边长是 ．
14．（2021八上·乐陵期中）在三角形ABC中， ，则 的度数为 ．
15．（2021八上·吉林月考）如图，点C在BD上，∠B=∠D=40°，AB=CD，BC=DE，则∠ACE的度数是
16．（2021八上·吉林月考）一副常规三角板如图所示摆放，若∠1=80°．则∠2的度数是
三、解答题
17．（2021八上·临沭期中）如图， 中，CD平分 ， ， ．求 ， 的度数．
18．（2021八上·莒南期中）如图，在 中， ， 分别是 的高和角平分线，若 ， ，求 的度数．
19．（2021八上·台州期中）如图， ， 分别是 的高和角平分线，且 ， ，求 的度数．
四、综合题
20．（2021八上·日照期中）已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数；
（2）探索∠DAE与∠C－∠B的关系，并说明．
21．（2021八上·平邑期中）如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB=3 cm，AC=4cm，BC=5cm，∠BAC=90°.
试求：
（1）△ABE的面积；
（2）AD的长度；
22．（2021八上·莒南期中）如图，在 中， ， 分别是 ， 的角平分线.
（1）若 ， ，则 的度数是 ；
（2）探究 与 的数量关系，并证明你的结论.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： 在 中， ，
，
在 中， ，
四边形 的内角和为 ，
，
即 ，
解得 ，
故答案为：D．
【分析】根据题意，知 ∠A＝65°，∠B＝75°， 可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解即可。
2．【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：A、图形中的长方形不具有稳定性，则此项不符题意；
B、图形是由两个三角形组成，具有稳定性，则此项符合题意；
C、图形中的长方形不具有稳定性，则此项不符题意；
D、图形中的四边形不具有稳定性，则此项不符题意；
故答案为：B．
【分析】利用三角形的稳定性即可得到答案。
3．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
A、 ，不能摆成一个三角形；
B、 ，不能摆成一个三角形；
C、 ，不能摆成一个三角形；
D、 ，能摆成一个三角形；
故答案为：D．
【分析】利用三角形的三边的关系逐项判断即可。
4．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：由三角形的高的定义可知，只有选项B中的线段 能表示三角形 的高，
故答案为：B．
【分析】根据三角形高的定义逐项判断即可。
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A. 三条边的长度比为1：2：3，设最小的边为x，∵ ，不能构成三角形，又 ，这三条边不能构成直角三角形，故符合题意；
B. 三个角的比为1：2：3，设最小的角为x，则x+2x+3x=180°，x=30°，3x=90°，能判断一个三角形是直角三角形，故不符合题意；
C. 三条边满足关系 ，能判断一个三角形是直角三角形，故不符合题意；
D. 三个角满足关系∠B+∠C=∠A，∠B+∠C+∠A=180°，即2∠A=180°，则∠A为90°，能判断一个三角形是直角三角形，故不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用三角形的勾股定理逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。
6．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；角平分线的定义；三角形的综合
【解析】【解答】解：∵∠BCA+∠BCF=180°，CP平分∠ACB，CD平分∠FCB，
∴∠PCB= ，∠DCB= ，
∴∠PCD=∠PCB+∠DCB = + ，
∴CP⊥CD；
故①符合题意；
延长CB到G，
∵BD平分∠CBE，
∴∠EBD=∠DBC，
∵∠EBD=∠PBA，∠CBD=∠PBG，
∴∠PBA =∠PBG，
∴∠ABG=2∠GBP，
∵∠ABG=∠A+∠ACB，即2∠PBG=∠A+2∠PCB，∠PBG=∠P+∠PCB，
∴∠PBG= ∠A+∠PCB，
∴∠P= ∠A，
故②符合题意；
∵CD平分∠BCF，
∴∠BCD= ，
∠DBC= ，
∴∠BCD+∠CBD= + ，
= ，
= ，
= ，
∴∠D=180°-（∠BCD+∠CBD）=180°- ，
故④符合题意；
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∵2∠DBC=∠EBC=∠A+∠ACB=2∠A，
∴∠DBC=∠A，
∴∠D=90° ，
∴2∠D+∠DBC=180°，
当∠A=60°时，∠D=∠DBC=60°，
∴BC=CD，
故③不符合题意，
∵∠DBC=∠A=∠ACB，
∴PD∥AC，
故⑤符合题意；
故正确的结论有4个．
故答案为：D．
【分析】根据角平分线的定义得出∠PCB= ，∠DCB= ，根据垂直的定义得出CP⊥CD，故①符合题意；延长CB到G，根据角平分线的定义和三角形外角的性质得出∠P= ∠A，故②符合题意；根据平行线的判定定理得出AB//CD，推出 △ ABC是等边三角形，得出∠DBC=∠A=∠ACB，故③不符合题意，根据角平分线的定义得出∠EBD=∠DBC，求出∠D= ，故④符合题意；根据三角形外角的性质得出∠BAC=∠ACB，∠DBC=∠A，故⑤符合题意。
7．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC＝AD，∠DAC＝80°，
∴∠ADC=∠C=50°，
∵AD＝BD，∠ADC＝∠B+∠BAD=50°，
∴∠B=25°，
故答案为：C．
【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求出∠ADC的度数，再发货等腰三角形的性质及三角形外角与内角的关系求出∠B的度数即可。
8．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】∵三角形高的定义是：从三角形的一个顶点向对边引垂线，从顶点到垂足之间的线段是三角形的高，据此可判断．∴BC边对应的顶点是A，所以AE是BC边上的高.
故答案为：B.
【分析】根据三角形高的定义逐项判断即可。
9．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】A、2+3=5，不能构成三角形，不符合题意；
B、3+3=6，不能构成三角形，不符合题意；
C、2+5＜8，不能构成三角形，不符合题意；
D、4+5＞6，能构成三角形，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据三角形三边的关系逐项判断即可。
10．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得：AC＝ ，
∵S△ABC＝3×3 ×1×2 ×1×3 ×2×3＝ ，
∴ AC BD＝ ，
∴ BD＝7，
∴BD＝ ．
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理计算出AC的长，利用面积差得出三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得出答案。
11．【答案】60
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由三角形的内角和定理得： ，
解得 ，
故答案为：60．
【分析】利用三角形的内角和可得求解即可。
12．【答案】2.5
【知识点】三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵当x＝0时，y＝﹣5x+5＝5，
当y＝0时，﹣5x+5＝0，解得x＝1，
∴A（1，0），B（0，5），
∴AO＝1，BO＝5，
因为△AOB是直角三角形，
∴S△AOB＝ AO×BO＝ ×1×5＝2.5，
故答案为：2.5．
【分析】将x=0和y=0分别代入一次函数解析式求出点A、B的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可。
13．【答案】8或2
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当腰长为8时，底长为：18-8×2=2；2+8＞8，能构成三角形；
当底长为8时，腰长为：（18-8）÷2=5；5+5＞8，能构成三角形．
故底边长是8或2．
故答案为：8或2．
【分析】根据三角形三边的关系及等腰三角形的性质分两种情况求解即可。
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由题意，可设 ，
由三角形的内角和定理得： ，即 ，
解得 ，
则 ，
故答案为： ．
【分析】利用三角形的内角和结合即可求出∠C的度数。
15．【答案】40
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：根据题意可得，△ABC≌△CDE
∴∠A=∠ECD
∵∠B=∠D=40°
∴∠A+∠ACB=∠ECD+∠ACB=180°-∠B=140°
∴∠ACE=40°
【分析】根据题意，由全等三角形的判定和性质，结合三角形的外角的性质，求出角的度数即可。
16．【答案】95
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：
根据题意可得，∠F=60°
∵∠1=∠A+∠4，
∴∠4=∠1-∠A=80°-45°=35°
∵∠4和∠5位对顶角
∴∠4=∠5=35°
∴∠2=∠5+∠F=35°+60°=95°。
【分析】根据三角形外角的性质以及三角形的内角和定理，计算得到∠2的度数即可。
17．【答案】解：∵CD平分∠ACB，∠BCD＝30°，
∴∠ACB＝2∠BCD＝2×30°＝60°，
又∠A＝65°，
∴∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－65°－60°＝55°，
∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝55°+30°＝85°．
所以∠B，∠ADC的度数分别是55°，85°．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角平分线的性质可得∠ACB＝2∠BCD＝2×30°＝60°，再利用三角形的内角和求出∠B=180°－∠A－∠ACB，∠ADC=180°-∠A-∠ACD。
18．【答案】解：∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠ABC=30°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=180°-30°-60°=90°．
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE= ∠BAC=45°．
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，∠DAC=90°-∠C=30°，
∴∠DAE=∠BAE -∠DAC=45°-30°=15°．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据∠B+∠C+∠BAC=180°，∠ABC=30°，∠ACB=60°，得出∠BAC=180°-30°-60°=90°．再根据AE是△ABC的角平分线，得出∠CAE= ∠BAC=45°．推出∠ADC=90°，∠DAC=90°-∠C=30°，即可得出∠DAE的度数。
19．【答案】解：∵△ABC中已知∠B=36°，∠C=76，∴∠BAC=68°．
∴∠BAD=∠DAC=34o，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=70°，
∴∠DAF=20°．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质
【解析】【分析】根据角平分线的定义求∠BAD的度数，然后根据三角形外角的性质求∠ADC，则可根据直角三角形的性质求∠DAF即可.
20．【答案】（1）解：∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠CAB＝180° ∠B ∠C＝100°，
∵AE是△ABC角平分线，
∴∠CAE＝ ∠CAB＝50°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90° ∠C＝40°，
∴∠DAE＝∠CAE ∠CAD＝50° 40°＝10°．
（2）∠DAE＝ （∠C ∠B），
理由：∵∠CAB+∠B+∠C=180°，
∴∠CAB =180°-∠B-∠C，
∵AE是△ABC角平分线，
∴∠CAE＝ ∠CAB＝ ，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90° ∠C，
∴∠DAE＝∠CAE ∠CAD
= ．
＝
=
＝ （∠C ∠B）．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1） 根据AE是△ABC角平分线， 得出 ∠CAE＝ ∠CAB＝50°， 再根据AD是△ABC的高，得出 ∠CAD＝90° ∠C＝40°， 即可得出结论；
（2）因为 AE是△ABC角平分线， 得出 ∠CAE＝ ∠CAB＝ ， 再根据 AD是△ABC的高，得出∠CAD＝90° ∠C，即可得出答案。
21．【答案】（1）如图在△ABC中，∠BAC=90°，
∴ = =6，
又∵AE是△ABC的中线，
∴
（2）AD是△ABC的高，
∴ ，
又∵ =6，BC=5cm，
∴ =6，
∴AD=2.4cm.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据AE是△ABC的中线，可知，再利用三角形的面积公式求出三角形ABC的面积即可；
（2）利用等面积法，可得，再将数据代入计算即可。
22．【答案】（1）55°
（2）
∵ ， 分别是 ， 的角平分线，
， ，
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵ ， ，
∴ ，
∵ ， 分别是 ， 的角平分线，
∴ ， ，
∴ ，
【分析】（1）根据三角形内角和得出，根据角平分线的定义得出 ， ，根据三角形的内角和即可得出结论；
（2）根据角平分线的定义和三角形的内角和即可得出结论。
1 / 1湘教版初中数学八年级上学期期末复习专题5 三角形
一、单选题
1．（2021八上·河西期中）如图所示，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．25° B．30° C．40° D．60°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： 在 中， ，
，
在 中， ，
四边形 的内角和为 ，
，
即 ，
解得 ，
故答案为：D．
【分析】根据题意，知 ∠A＝65°，∠B＝75°， 可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解即可。
2．（2021八上·河西期中）下面图形中具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：A、图形中的长方形不具有稳定性，则此项不符题意；
B、图形是由两个三角形组成，具有稳定性，则此项符合题意；
C、图形中的长方形不具有稳定性，则此项不符题意；
D、图形中的四边形不具有稳定性，则此项不符题意；
故答案为：B．
【分析】利用三角形的稳定性即可得到答案。
3．（2021八上·河西期中）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们首尾相连摆成一个三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
A、 ，不能摆成一个三角形；
B、 ，不能摆成一个三角形；
C、 ，不能摆成一个三角形；
D、 ，能摆成一个三角形；
故答案为：D．
【分析】利用三角形的三边的关系逐项判断即可。
4．（2021八上·河西期中）下面四个图形中，线段BE能表示三角形ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：由三角形的高的定义可知，只有选项B中的线段 能表示三角形 的高，
故答案为：B．
【分析】根据三角形高的定义逐项判断即可。
5．（2021八上·寿阳期中）下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（ ）
A．三条边的长度比为1：2：3 B．三个角的度数比为1：2：3
C．三条边满足关系 D．三个角满足关系∠B+∠C=∠A
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A. 三条边的长度比为1：2：3，设最小的边为x，∵ ，不能构成三角形，又 ，这三条边不能构成直角三角形，故符合题意；
B. 三个角的比为1：2：3，设最小的角为x，则x+2x+3x=180°，x=30°，3x=90°，能判断一个三角形是直角三角形，故不符合题意；
C. 三条边满足关系 ，能判断一个三角形是直角三角形，故不符合题意；
D. 三个角满足关系∠B+∠C=∠A，∠B+∠C+∠A=180°，即2∠A=180°，则∠A为90°，能判断一个三角形是直角三角形，故不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用三角形的勾股定理逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。
6．（2021八上·日照期中）如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分别是△ABC的两外角的平分线，下列结论中：①CP⊥CD②∠P＝ ③BC＝CD④⑤PD//AC，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；角平分线的定义；三角形的综合
【解析】【解答】解：∵∠BCA+∠BCF=180°，CP平分∠ACB，CD平分∠FCB，
∴∠PCB= ，∠DCB= ，
∴∠PCD=∠PCB+∠DCB = + ，
∴CP⊥CD；
故①符合题意；
延长CB到G，
∵BD平分∠CBE，
∴∠EBD=∠DBC，
∵∠EBD=∠PBA，∠CBD=∠PBG，
∴∠PBA =∠PBG，
∴∠ABG=2∠GBP，
∵∠ABG=∠A+∠ACB，即2∠PBG=∠A+2∠PCB，∠PBG=∠P+∠PCB，
∴∠PBG= ∠A+∠PCB，
∴∠P= ∠A，
故②符合题意；
∵CD平分∠BCF，
∴∠BCD= ，
∠DBC= ，
∴∠BCD+∠CBD= + ，
= ，
= ，
= ，
∴∠D=180°-（∠BCD+∠CBD）=180°- ，
故④符合题意；
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∵2∠DBC=∠EBC=∠A+∠ACB=2∠A，
∴∠DBC=∠A，
∴∠D=90° ，
∴2∠D+∠DBC=180°，
当∠A=60°时，∠D=∠DBC=60°，
∴BC=CD，
故③不符合题意，
∵∠DBC=∠A=∠ACB，
∴PD∥AC，
故⑤符合题意；
故正确的结论有4个．
故答案为：D．
【分析】根据角平分线的定义得出∠PCB= ，∠DCB= ，根据垂直的定义得出CP⊥CD，故①符合题意；延长CB到G，根据角平分线的定义和三角形外角的性质得出∠P= ∠A，故②符合题意；根据平行线的判定定理得出AB//CD，推出 △ ABC是等边三角形，得出∠DBC=∠A=∠ACB，故③不符合题意，根据角平分线的定义得出∠EBD=∠DBC，求出∠D= ，故④符合题意；根据三角形外角的性质得出∠BAC=∠ACB，∠DBC=∠A，故⑤符合题意。
7．（2021八上·日照期中）如图所示，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．35° C．25° D．20°
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC＝AD，∠DAC＝80°，
∴∠ADC=∠C=50°，
∵AD＝BD，∠ADC＝∠B+∠BAD=50°，
∴∠B=25°，
故答案为：C．
【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求出∠ADC的度数，再发货等腰三角形的性质及三角形外角与内角的关系求出∠B的度数即可。
8．（2021八上·日照期中）如图，△ABC中BC边上的高是（ ）
A．BD B．AE C．BE D．CF
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】∵三角形高的定义是：从三角形的一个顶点向对边引垂线，从顶点到垂足之间的线段是三角形的高，据此可判断．∴BC边对应的顶点是A，所以AE是BC边上的高.
故答案为：B.
【分析】根据三角形高的定义逐项判断即可。
9．（2021八上·日照期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）.
A．2，3，5 B．3，3，6 C．2，5，8 D．4，5，6
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】A、2+3=5，不能构成三角形，不符合题意；
B、3+3=6，不能构成三角形，不符合题意；
C、2+5＜8，不能构成三角形，不符合题意；
D、4+5＞6，能构成三角形，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据三角形三边的关系逐项判断即可。
10．（2021八上·即墨期中）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点 ， ， 都在格点上，若 是 的边 上的高，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得：AC＝ ，
∵S△ABC＝3×3 ×1×2 ×1×3 ×2×3＝ ，
∴ AC BD＝ ，
∴ BD＝7，
∴BD＝ ．
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理计算出AC的长，利用面积差得出三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得出答案。
二、填空题
11．（2021八上·河西期中）下图中的x的值为 ．
【答案】60
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由三角形的内角和定理得： ，
解得 ，
故答案为：60．
【分析】利用三角形的内角和可得求解即可。
12．（2021八上·薛城期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线y＝﹣5x＋5与x轴、y轴分别交于点A，B，则△AOB的面积为 ．
【答案】2.5
【知识点】三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵当x＝0时，y＝﹣5x+5＝5，
当y＝0时，﹣5x+5＝0，解得x＝1，
∴A（1，0），B（0，5），
∴AO＝1，BO＝5，
因为△AOB是直角三角形，
∴S△AOB＝ AO×BO＝ ×1×5＝2.5，
故答案为：2.5．
【分析】将x=0和y=0分别代入一次函数解析式求出点A、B的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可。
13．（2021八上·潍坊期中）等腰三角形的周长为18，其中一条边的长为8，则底边长是 ．
【答案】8或2
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当腰长为8时，底长为：18-8×2=2；2+8＞8，能构成三角形；
当底长为8时，腰长为：（18-8）÷2=5；5+5＞8，能构成三角形．
故底边长是8或2．
故答案为：8或2．
【分析】根据三角形三边的关系及等腰三角形的性质分两种情况求解即可。
14．（2021八上·乐陵期中）在三角形ABC中， ，则 的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由题意，可设 ，
由三角形的内角和定理得： ，即 ，
解得 ，
则 ，
故答案为： ．
【分析】利用三角形的内角和结合即可求出∠C的度数。
15．（2021八上·吉林月考）如图，点C在BD上，∠B=∠D=40°，AB=CD，BC=DE，则∠ACE的度数是
【答案】40
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：根据题意可得，△ABC≌△CDE
∴∠A=∠ECD
∵∠B=∠D=40°
∴∠A+∠ACB=∠ECD+∠ACB=180°-∠B=140°
∴∠ACE=40°
【分析】根据题意，由全等三角形的判定和性质，结合三角形的外角的性质，求出角的度数即可。
16．（2021八上·吉林月考）一副常规三角板如图所示摆放，若∠1=80°．则∠2的度数是
【答案】95
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：
根据题意可得，∠F=60°
∵∠1=∠A+∠4，
∴∠4=∠1-∠A=80°-45°=35°
∵∠4和∠5位对顶角
∴∠4=∠5=35°
∴∠2=∠5+∠F=35°+60°=95°。
【分析】根据三角形外角的性质以及三角形的内角和定理，计算得到∠2的度数即可。
三、解答题
17．（2021八上·临沭期中）如图， 中，CD平分 ， ， ．求 ， 的度数．
【答案】解：∵CD平分∠ACB，∠BCD＝30°，
∴∠ACB＝2∠BCD＝2×30°＝60°，
又∠A＝65°，
∴∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－65°－60°＝55°，
∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝55°+30°＝85°．
所以∠B，∠ADC的度数分别是55°，85°．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角平分线的性质可得∠ACB＝2∠BCD＝2×30°＝60°，再利用三角形的内角和求出∠B=180°－∠A－∠ACB，∠ADC=180°-∠A-∠ACD。
18．（2021八上·莒南期中）如图，在 中， ， 分别是 的高和角平分线，若 ， ，求 的度数．
【答案】解：∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠ABC=30°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=180°-30°-60°=90°．
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE= ∠BAC=45°．
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，∠DAC=90°-∠C=30°，
∴∠DAE=∠BAE -∠DAC=45°-30°=15°．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据∠B+∠C+∠BAC=180°，∠ABC=30°，∠ACB=60°，得出∠BAC=180°-30°-60°=90°．再根据AE是△ABC的角平分线，得出∠CAE= ∠BAC=45°．推出∠ADC=90°，∠DAC=90°-∠C=30°，即可得出∠DAE的度数。
19．（2021八上·台州期中）如图， ， 分别是 的高和角平分线，且 ， ，求 的度数．
【答案】解：∵△ABC中已知∠B=36°，∠C=76，∴∠BAC=68°．
∴∠BAD=∠DAC=34o，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=70°，
∴∠DAF=20°．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质
【解析】【分析】根据角平分线的定义求∠BAD的度数，然后根据三角形外角的性质求∠ADC，则可根据直角三角形的性质求∠DAF即可.
四、综合题
20．（2021八上·日照期中）已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数；
（2）探索∠DAE与∠C－∠B的关系，并说明．
【答案】（1）解：∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠CAB＝180° ∠B ∠C＝100°，
∵AE是△ABC角平分线，
∴∠CAE＝ ∠CAB＝50°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90° ∠C＝40°，
∴∠DAE＝∠CAE ∠CAD＝50° 40°＝10°．
（2）∠DAE＝ （∠C ∠B），
理由：∵∠CAB+∠B+∠C=180°，
∴∠CAB =180°-∠B-∠C，
∵AE是△ABC角平分线，
∴∠CAE＝ ∠CAB＝ ，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90° ∠C，
∴∠DAE＝∠CAE ∠CAD
= ．
＝
=
＝ （∠C ∠B）．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1） 根据AE是△ABC角平分线， 得出 ∠CAE＝ ∠CAB＝50°， 再根据AD是△ABC的高，得出 ∠CAD＝90° ∠C＝40°， 即可得出结论；
（2）因为 AE是△ABC角平分线， 得出 ∠CAE＝ ∠CAB＝ ， 再根据 AD是△ABC的高，得出∠CAD＝90° ∠C，即可得出答案。
21．（2021八上·平邑期中）如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB=3 cm，AC=4cm，BC=5cm，∠BAC=90°.
试求：
（1）△ABE的面积；
（2）AD的长度；
【答案】（1）如图在△ABC中，∠BAC=90°，
∴ = =6，
又∵AE是△ABC的中线，
∴
（2）AD是△ABC的高，
∴ ，
又∵ =6，BC=5cm，
∴ =6，
∴AD=2.4cm.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据AE是△ABC的中线，可知，再利用三角形的面积公式求出三角形ABC的面积即可；
（2）利用等面积法，可得，再将数据代入计算即可。
22．（2021八上·莒南期中）如图，在 中， ， 分别是 ， 的角平分线.
（1）若 ， ，则 的度数是 ；
（2）探究 与 的数量关系，并证明你的结论.
【答案】（1）55°
（2）
∵ ， 分别是 ， 的角平分线，
， ，
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵ ， ，
∴ ，
∵ ， 分别是 ， 的角平分线，
∴ ， ，
∴ ，
【分析】（1）根据三角形内角和得出，根据角平分线的定义得出 ， ，根据三角形的内角和即可得出结论；
（2）根据角平分线的定义和三角形的内角和即可得出结论。
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